1、3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算目标定位重点难点1.了解空间向量的概念，掌握其表示方法2.掌握向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义重点：空间向量的加减运算及运算律难点：空间向量的加减运算的应用1空间向量的概念名称定 义空间向量 在空间中，具有_和_的量叫作空间向量，其大小叫作向量的_或_单位向量长度或模为_的向量零向量_的向量相等向量方向_且模_的向量相反向量_相反且_相等的向量大小方向长度模1长度为0相同相等方向模2空间向量的加法、减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如下图)：OB OA AB_；CAOA OC _.3空间向量加法的运算律(1)交
2、换律：ab_；(2)结合律：(ab)c_.ababbaa(bc)1在平行六面体 ABCDABCD中，用图中字母可以表示出的与向量AA 模相等的向量有()A0 个B3 个C7 个D9 个【答案】C【解析】与向量AA 模相等的向量有AA，BB，BB，CC，CC，DD，DD.2已知向量a，b是两个非零向量，a0，b0是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是()Aa0b0Ba0b0或a0b0Ca01D|a0|b0|【答案】D【解析】单位向量的模都为1.3化简PM PNMN 所得的结果是()A.PMBNPC0DMN【答案】C【解析】PM PNMN NM MN 0.4如下图，在三棱柱 ABC
3、ABC中，AC与AC是_向量，AB与BA是_向量【答案】相等 相反空间向量的概念【例 1】给出下列命题：两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若空间向量 a，b 满足|a|b|，则 ab；在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，必有ACA1C1；若空间向量 m，n，p 满足 mn，np，则 mp；空间中任意两个单位向量必相等其中不正确命题的个数是()A1B2C3D4【解题探究】结合空间向量的相关概念进行判断【答案】C【解析】当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，
4、而且方向还要相同，但中向量 a 与 b 的方向不一定相同，故错；根据正方体的性质，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，向量AC与A1C1 的方向相同，模也相等，应有ACA1C1，故正确；命题显然正确；对于命题，空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故错(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键1判断以下命题的真假(1)向量AB与BA的长度相等；(2)将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们
5、的终点构成一个球面；(3)空间向量就是空间中的一条有向线段；(4)不相等的两个空间向量的模必不相等【解析】(1)(2)是真命题；(3)空间向量可以用有向线段来表示，但不能说空间向量就是有向线段，如力F是向量，但不能说力F是有向线段，故(3)是假命题；(4)不相等的两个空间向量可能模相等但方向不同，故(4)是假命题空间向量的线性运算【例 2】在如图所示的三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是ABC 的重心，用基向量OA，OB，OC表示MG，OG.【解题探究】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则进行运算解：MG MA AG 12OA 23AN12OA 23(ON OA
6、)12OA2312OB OC OA 16OA 13OB 13OC.OG OM MG 12OA 16OA 13OB 13OC 13OA 13OB 13OC.用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立2在四面体 OABC 中，OA a，OB b，OC c，D 为BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE _(用 a，b，c 表示)【答案】12a1
7、4b14c【解析】如图所示，由三角形法则，得ABOB OA ba，BCOC OB cb，所以BD 12BC12cb，AD ABBD 12b12ca，故AE12AD 14b14c12a，所以OE OA AE12a14b14c.向量减法易出错【示例】在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，化简DA DBB1CB1B A1B1 A1B.【错解】DA DBB1C B1B A1B1 A1BABCBB1B DC DA B1BDB D1D D1B.【错因分析】对向量减法的三角形法则理解、记忆错误，差向量的方向没有确定准确【正解】DA DBB1C B1B A1B1 A1BBABCBB1 BDBB1BD DD1
8、 BD1.【警示】在进行向量的加减运算时，要牢记向量的运算法则，同起点的两个向量相减，所得结果是由减向量的终点指向被减向量终点的向量也可以利用相反向量，把向量减法转化为向量加法1在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形2向量等式的证明，可以由一端证到另一端，也可以两端同时证明至一“中间”向量表达式，从而达到证明等式的目的1下列命题是真命题的是()A方向相反的两个空间向量是相反向量B若空间向量a，b满足|a|b|且a，b同向，则abC不相等的两个空间向量的模必不相等D对于任何空间向量a，b，必有|ab|a|b|【答案】D【解析】对于选项A，长度相等且方向相反的两个空间向量是相反向
9、量，故选项A错；对于选项B，空间向量是不能比较大小的，故选项B错；对于选项C，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故选项C错；选项D正确2在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，化简ABAD AA1 可得()AAC1BCA1CBC1DCB1【答案】A【解析】如图所示，平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD AA1(ABAD)CC1 ACCC1 AC1.故选 A3如果非零向量AB，AC，BC满足|AB|AC|BC|，那么()AABACBC BABACBCCAC与BC同向DAC与CB同向【答案】D【解析】由|AB|AC|BC|，知 C 在线段 AB 上，AC与CB同向故选 D.4在四边形 ABCD 中，ABCD BCDA _.【答案】0【解析】ABCD BCDA(ABBC)(CD DA)ACCA0.4在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若CAa，CBb，CC1 c，则A1B _.【答案】abc【解析】A1B A1C1 C1C CBCACC1 CBacb.点击进入WORD链接
