1、第一章 三角函数 4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4 单位圆的对称性与诱导公式学习目标重点难点1.能根据单位圆理解正弦函数、余弦函数的基本性质2.会求一些简单的函数的性质3.了解特殊角的终边的对称关系4.能借助单位圆直观地探索正弦函数、余弦函数的诱导公式5.会利用诱导公式求任意角的正弦函数值、余弦函数值.1.重点是用单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质，特殊角的终边的对称关系及正弦函数、余弦函数的诱导公式2.难点是正弦函数、余弦函数的基本性质及诱导公式的灵活应用.1正弦函数、余弦函数的基本性质根据正弦函数ysin x和余弦函数ycos x
2、的定义，我们不难从单位圆看出函数ysin x，ycos x有以下性质：(1)定义域是_；(2)最大值是_，最小值是_，值域是_；(3)它们是_，其周期都是_，最小正周期为_；R111,1 周期函数2 2k(kZ，k0)(4)正弦函数ysin x在区间_上是增加的，在区间_上是减少的；余弦函数ycos x在区间_上是增加的，在区间_上是减少的2k2，2k2(kZ)2k2，2k32(kZ)2k，2k(kZ)2k，2k(kZ)2思考：是否任意函数都存在周期？ysin x(xR)与ycos x(xR)是周期函数吗？若无特殊说明，我们所说的“周期”有无特别规定呢？提示：不是任意函数都存在周期ysin x
3、(xR)与ycosx(xR)是周期函数若无特殊说明，我们所说的“周期”一般是指最小正周期3特殊角的终边的对称关系(1)角的终边与角的终边关于_对称；(2)角的终边与角的终边关于_对称；(3)角的终边与角的终边关于_对称；4正弦函数、余弦函数的诱导公式对任意角，有下列关系式成立：sin(2k)_，cos(2k)cos.(1.8)sin()sin，cos()_.(1.9)x轴原点y轴sin cos sin(2)_，cos(2)cos.(1.10)sin()sin，cos()_.(1.11)sin()_，cos()cos.(1.12)sin2 cos，cos2 _.(1.13)sin2 _，cos2
4、 sin.(1.14)公式 1.81.14 叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式sin cos sin sin cos 5思考：诱导公式的记忆方法是什么？提示：任意角可归纳为 k2 的形式，则诱导公式可概括为“奇变偶不变，符号看象限”“变”与“不变”是指互余的两个角的三角函数名改变“奇”“偶”是对 k2 中的整数 k 来讲的“象限”指 k2 中，将 看作锐角时，k2 所在象限，再根据“一全正，二正弦，三全负，四余弦”的符号规律确定原函数值符号探究一 正弦函数、余弦函数基本性质的应用已知函数 y3sin x1.(1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间；(2)求函数在区间6，23 上的最值思路点拨：
5、可模仿函数ysin x的有关性质来研究函数y3sin x1的相关性质解：(1)由 ysin x 的性质可得 y3sin x1 的性质如下定义域：R.值域：2,4周期性：周期为 2.单调性：由 ysin x 在区间2k2，2k2(kZ)上是增加的，在2k2，2k32(kZ)上是减少的，知 y3sin x1 在区间2k2，2k2(kZ)上是减少的，在区间2k2，2k32(kZ)上是增加的(2)由于函数 ysin x 在6，2 上是增加的，在2，23 上是减少的，且 sin6 12，sin 23 32，题后点评：牢记正弦函数、余弦函数的基本性质，并会灵活地转化是解题的关键所以 ysin x 在 x6
6、时取最小值12，在 x2时取最大值 1.故 y3sin x1 在6，23 上的最大值是312 152；最小值是3112.1求 y2sin x 3的定义域解：由 2sin x 30 得 sin x 32.作直线 y 32 交单位圆于 A，B 两点，连接 OA，OB，则 OA 与 OB 围成的区域(如图阴影部分)即为角 x 终边的范围由 sin 3 sin 23 32 知，符 合 条 件 的 角 x 的 集 合 为x2k3x2k23，kZ.即 原 函 数 的 定 义 域 为2k3，2k23，kZ.探究二 正弦函数、余弦函数的诱导公式的应用(1)求下列三角函数值：cos 945；sin 356；co
7、s32 3；sin1003.(2)化简：f()sin3cos2sin32cossin；sinkcosk1sink1cosk(kZ)思路点拨：(1)根据所给的角的特点选择恰当的诱导公式求值(2)可直接运用诱导公式化简；对k分奇数和偶数分别进行化简或利用角之间的关系整体求解解：(1)cos 945cos(2360225)cos 225cos(18045)cos 45 22.sin 356 sin4116 sin 116 sin26 sin 612.cos32 3 cos23 cos23 sin 3 32.sin1003sin3243 sin 43 sin3 sin 3 32.(2)f()sin3c
8、oscos cossinsin cos cos cos sin cos.方法一 当 k 为偶数时，设 k2m(mZ)，则原式sin2mcos2m1sin 2m1cos2msincossincos sin cos sin cos 1；当 k 为奇数时，可设 k2m1(mZ)，仿上同理可得，原式1.故不论 k 为奇数还是偶数，原式1.方法二 由(k)(k)2k，(k1)(k1)2k，得 sin(k)sin(k)，cos(k1)cos(k1)cos(k)，sin(k1)sin(k)故原式sinkcosksinkcosk1.题后点评：(1)运用诱导公式求任意角的三角函数值的关键是做到两个熟记一是熟记诱
9、导公式，尤其是诱导公式的符号；二是熟记特殊角的三角函数值(2)事实上，诱导公式1.81.12可综合概括为sin(k)(1)ksin，cos(k)(1)kcos，sin(k)(1)k1sin，cos(k)(1)kcos.2化简：(1)sin32 cos2cos10sin11cos52 sin；(2)cos3k13 cos3k13(kZ)解：(1)原式cos sin cos sin sin sin sin sin 0.(2)当 k2n，nZ 时，原式cosk3 cosk3cos2n3 cos2n3cos3 cos3cos3 cos3 2cos3；当 k2n1，nZ 时，原式cos2n13 cos2
10、n13cos3 cos3cos3 cos3 2cos3.探究三 诱导公式在三角形中的应用在ABC 中，若 sin ABC2sin ABC2，试判断ABC 的形状思路点拨：充分利用三角形内角和定理以及诱导公式，寻求两内角之间的关系，从而确定三角形形状解：ABC，ABC2C，ABC2B.又 sin ABC2sin ABC2，sin 2C2sin 2B2.sin2C sin2B，即 cos Ccos B.又B，C为ABC的内角，CB.ABC为等腰三角形题后点评：在三角形中，不同的角对应的余弦值不同，因此，当cos Ccos B时，一定有CB.其实在ABC中，若sin Csin B，也一样能得到CB.
11、3在ABC 中，求证：(1)sin(2ABC)sin A；(2)sin AB2cos C2.证明：(1)由于 ABC，所以 sin(2ABC)sin(A)sin A，原式成立(2)由于 ABC，所以AB2C22.于是 sin AB2sin2C2 cos C2.1正弦函数、余弦函数的性质要熟记函数ysin x，ycos x的基本性质，在此基础上可研究其他相关函数的性质，例如，定义域、值域、最值、周期性、单调性等2利用诱导公式求值(1)求任意角的三角函数值时，先把负角转化为正角，然后再利用诱导公式把角转化到090之间的角进行计算，应用公式时没有固定格式，关键在于正确熟练应用(2)给值求值时，观察已
12、知角和未知角的关系，运用诱导公式将不同名的三角函数化为同名的三角函数，将不同的角化为相同的角3应用诱导公式求三角函数值的过程上述过程可称为“负化正，大化小，化至锐角再求值”，充分体现了化未知为已知的数学思想4利用诱导公式化简三角函数式(1)应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：用“”公式化为正角的三角函数；用“2k”公式化为0,2)范围内角的三角函数；用“”“2”或“2”公式化为锐角三角函数(2)利用诱导公式将任意角的正弦函数、余弦函数转化为锐角的正弦函数、余弦函数，有时要对角中的字母进行讨论，结果化成最简，能求出值的，求出具体值5在ABC 中，有 ABC，ABC22，因此在解决三角形中的三角函数问题时，要注意充分利用诱导公式点击进入WORD链接点击进入WORD链接活页作业(五)谢谢观看！
