1、三十七极大值与极小值(15分钟30分)1下列关于函数的极值的说法正确的是()A导数值为0的点一定是函数的极值点B函数的极小值一定小于它的极大值C函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数【解析】选D.由极值的概念可知只有D正确2设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【解析
2、】选D.由图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数在x2处取得极大值，在x2处取得极小值【补偿训练】函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是()A为f(x)的极大值点B2为f(x)的极大值点C2为f(x)的极大值点D为f(x)的极小值点【解析】选A.对于A选项，当2x时，f(x)0，当x2时，f(x)0，为f(x)的极大值点，A选项正确；对于B选项，当x2时，f(x)0，当2x时，f(x)0，2为f(x)的极小值点，B选项错误；对于C选项，当x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，2为f(x)的
3、极小值点，C选项错误；对于D选项，由于函数yf(x)为可导函数，且f0，所以不是f(x)的极值点，D选项错误3已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2，3)B(3，)C(2，)D(，3)【解析】选B.因为f(x)6x22ax36，且在x2处有极值，所以f(2)0，即244a360，a15，所以f(x)6x230x366(x2)(x3)，由f(x)0得x2或x3.4已知函数f(x)2ef(e)ln x，则函数f(x)的极大值为_.【解析】f(x)，故f(e)，解得f(e)，所以f(x)2ln x，f(x).由f(x)0得0x2e，由f(x)0得x2
4、e.所以函数f(x)在(0，2e)单调递增，在(2e，)单调递减，故f(x)的极大值为f(2e)2ln 2e22ln 2.答案：2ln 25已知函数f(x)x33ax22bx在x1处有极小值1.(1)求a，b的值；(2)求出函数f(x)的单调区间【解析】(1)因为f(x)3x26ax2b，函数f(x)x33ax22bx在x1处有极小值1，所以f(1)1，f(1)0，所以13a2b1，36a2b0，解得a，b，所以f(x)x3x2x.(2)因为f(x)3x22x1，所以由f(x)3x22x10，得x或(1，)，由f(x)3x22x10得x，所以函数f(x)的单调增区间为，(1，)，减区间为.【补
5、偿训练】已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值【解析】(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，f(0)ab44，又f(0)b4，由可得ab4.(2)f(x)ex(4x4)x24x，则f(x)ex(4x8)2x44ex(x2)2(x2)(x2)(4ex2).令f(x)0，得x12，x2ln 2，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表：f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极
6、大值为f(2)4(1e2). (30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1(2021盐城高二检测)已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图，若f(x)在xx0处有极值，则x0的值为()A3 B0 C3 D7【解析】选B.从f(x)的图象可以看出f(x)在(5，0)上单调递增，在(0，7)上单调递减，所以f(x)在x0处有极大值2已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为()A B2C2或 D不存在【解析】选A.因为f(x)3x22axb且f(x)在x1处取得极大值10，所以f(1)32ab0，f(1)1aba27a10，所以a28a120，所以a2，b1
7、或a6，b9.当a2，b1时，f(x)3x24x1(3x1)(x1).当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，所以f(x)在x1处取得极小值，与题意不符当a6，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)；当x1时，f(x)0，当1x3时，f(x)0，所以f(x)在x1处取得极大值，符合题意；所以.3已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1，1，则f(m)f(n)的最小值是()A13 B15 C10 D15【解析】选A.对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，所以a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3
8、x26x，易知f(x)在1，0)上单调递减，在(0，1上单调递增，所以当m1，1时，f(m)minf(0)4.又因为f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，所以当n1，1时，f(n)minf(1)9，故f(m)f(n)的最小值为13.【补偿训练】函数f(x)x2(a1)xa ln x没有极值，则()Aa1 Ba0Ca1 D1a0【解析】选A.f(x)(x1)，x0，当a0时，10，令f(x)0，得0x1；令f(x)0，得x1.f(x)在x1处取极小值当a0时，方程10必有一个正数解xa，若a1，此正数解为x1，此时f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，无极值若a1，此正数解为x1
9、，f(x)0必有2个不同的正数解，如图，则f(x)存在2个极值综上，a1.4函数f(x)x33bx3b在(0，1)内有且只有一个极小值，则()A0b1 Bb0 Db【解析】选A.f(x)3x23b，要使f(x)在(0，1)内有极小值，则即解得0b1.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5函数f(x)的定义域为R，它的导函数yf(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是()A在(1，2)上函数f(x)为增函数B在(3，4)上函数f(x)为减函数C在(1，3)上函数f(x)有极大值Dx3是函数f(x)在区间1，5上的极小值点【解析】选ABC.由图
10、可知，当1x2时，f(x)0，当2x4时，f(x)0，当4x5时，f(x)0，所以x2是函数f(x)的极大值点，x4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误6对于函数f(x)x33x2，给出选项中正确的是()Af(x)是增函数，无极值Bf(x)是减函数，无极值Cf(x)的单调递增区间为(，0)，(2，)，单调递减区间为(0，2)Df(0)0是极大值，f(2)4是极小值【解析】选CD.f(x)3x26x.令f(x)3x26x0，得x2或x0；令f(x)3x26x0，得0x2，所以函数f(x)在区间(，0)和(2，)上单调递增，在区间(0，2)上单调递减当x0和x2时，函数分别取得极大值
11、0和极小值4.三、填空题(每小题5分，共10分)7已知曲线f(x)x3ax2bx1在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x是yf(x)的极值点，则ab_【解析】因为f(x)3x22axb，即解得a2，b4，所以ab242.答案：28已知a为常数，函数f(x)x ln xax2x有两个极值点，则实数a的取值范围为_【解析】f(x)ln x22ax，函数f(x)有两个极值点，则f(x)有两个零点，即函数yln x与函数y2ax2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数yln x求导(ln x)，则有解得要使函数图象有两个交点，则02ae即0a.答案：0a四、解答题(每小
12、题10分，共20分)9函数yx3ax2bxc的图象如图所示，且与y0在原点相切，若函数的极小值为4.(1)求a，b，c的值；(2)求函数的单调递减区间【解析】(1)因为函数的图象经过点(0，0)，易得c0.又图象与x轴相切于点(0，0)，且y3x22axb，故03022a0b，解得b0.所以yx3ax2，则y3x22ax.令y0，解得x0或xa，即x0和xa是极值点由图象知函数在x0处取极大值，故在xa处取极小值当xa时，函数有极小值4，所以a4，整理得a327，解得a3.故a3，b0，c0.(2)由(1)得yx33x2，则y3x26x，令y0，即3x26x0，解得0x0.(1)当m1时，求曲
13、线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值【解析】(1)当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1.(2)f(x)x22xm21.令f(x)0，解得x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：所以函数f(x)的单调递减区间为(，1m)，(1m，)，单调递增区间为(1m，1m).函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)m3m2.函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)m3m2.1若x2是函数f(x)x(xm)2的
14、极大值点，求函数f(x)的极大值【解析】因为f(x)(xm)(3xm)，且f(2)0，所以(2m)(6m)0，即m2或m6.(1)当m2时，f(x)(x2)(3x2)，由f(x)0得x或x2；由f(x)0得x2.所以x2是f(x)的极小值点，不合题意，故m2舍去(2)当m6时，f(x)(x6)(3x6)，由f(x)0得x2或x6；由f(x)0得2x6.所以x2是f(x)的极大值，所以f(2)2(26)232.即函数f(x)的极大值为32.2(2021盐城高二检测)已知函数f(x)ex(x2axa23a1)在xx1和xx2时取极值，且x1x2.(1)已知x12，求x2的值；(2)已知x1x20，
15、求f(x1)f(x2)的取值范围【解析】(1)因为f(x)ex(x2axa23a1)，所以f(x)exx2(2a)xa24a1，因为f(x)在xx1和xx2时取极值，所以f(x1)f(x2)0，所以x1，x2是x2(2a)xa24a10的两个不等实根，所以x1x22x2a2 ，x1x22x2a24a1，解得x21，经检验，符合题意(2)由(1)知x1x2a2，x1x2a24a1，所以f(x1)f(x2)ex1(xax1a23a1)ex2(xax2a23a1)，因为x1，x2是x2(2a)xa24a10的两个不等实根，所以x(2a)x1a24a10，x(2a)x2a24a10，所以xax1a23
16、a1a2x1，xax2a23a1a2x2，所以f(x1)f(x2)ex1x2(a2x1)(a2x2)ex1x24x1x22a(x1x2)a2ea24(a24a1)2a(a2)a2ea2(3a212a4)，设g(a)ea2(3a212a4)，因为x1x20，所以a20，得0a4，由知a(0，2)，而g(a)ea2(3a26a8)，设h(a)3a26a8，则h(0)0，h(2)0，由二次函数的性质可知h(a)3a26a80在(0，2)上恒成立，则g(a)0在(0，2)上恒成立，则g(a)ea2(3a212a4)在(0，2)上单调递减，而g(0)，g(2)8，故f(x1)f(x2)的取值范围为(8，).
