1、2020-2021学年广东省韶关市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1已知全集UR，集合Ax|x（x1）0，Bx|1x1，那么（UA）B（）A（1，1）B（0，1）C0，1D（，1）2设i是虚数单位，若复数z（1+i）i，则|z|（）ABC1D3“是三角形的内角”是“sin0”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4如图，在直角三角形AOB中，OA1，C为边AB上一点，且AB4AC，则（）ABCD5已知是第一象限，满足，则cos2（）ABCD6已知等比数列an的前n项和是Sn，若3a1+2a24，9S38S6，则S5（
2、）A或5B或5CD7已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x0时，y的值表示2021年年初的种群数量若t（tN*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（）（参考值：ln20.693）A6B7C8D98已知函数f（x）ax1在R上恰有三个零点，则实数a的取值范围为（）ABCD二、多项选择题：木题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9某学校为研究高三800名学生的考试成绩，在高三的第一次模拟考试中随机抽取100名高三学生的化学成绩绘制成频率分布直方图（如图所示）
3、，把频率看作概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（）A估计该校本次测试化学分数在区间70，80）的人数为360B估计该校本次测试化学平均分为71C估计该校本次测试化学成绩的中位数是D从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在80，90）内的概率为10已知函数f（x）的最小正周期为，则（）A函数f（x+）为奇函数B函数f（x）在，上单调递增C函数f（x）的图象关于直线x对称D函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数ycos3x的图象11如图1，在等腰梯形ABCD中，ABCD，DAABBC，ADC，E为CD中点，将DAE沿AE折起，使D点到达P的位置
4、（点P不在平面ABCE内），连结PB，PC（如图2），则在翻折过程中，下列说法正确的是（）ABC平面PAEBPBAEC存在某个位置，使PC平面PAEDPB与平面ABCE所成角的最大值为12已知M（1，3），过抛物线C：y24x焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，P为C上任意一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A过M与抛物线C有且只有一个公共点的直线有两条B|PM|与P到抛物线C的准线距离之和的最小值为3C若|AF|，|OM|，|BF|成等比数列，则|AB|10D抛物线C在A、B两点处的切线互相垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13二项式的展开式中常数项的值为 14已知
5、C（m，0），若以C为圆心的圆C与直线3x+y10相切于点T（1，n），则圆C的标准方程是 15已知函数yloga（x1）+1（a0，且a1）的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ，若点A在椭圆2（m0，n0）上，则m+n的最小值为 16已知三棱锥PABC中，ACBC，ACBC4，平面PAC平面ABC、若三棱锥PABC的外接球面积为68，则三棱锥PABC的体积最大值为 四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知数列an，若 _（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn从下列个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解a1+a2+a3+
6、ann2；a11，a47，2anan1+an+1（nN*，n2）；a11，点A（n，an），B（n+1，an+1）在斜率是2的直线上18已知ABC中，ABAC4，sinA，内角A为锐角，点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD（1）求边BC的长；（2）求BDC的面积19已知几何体ABCDEF中，平面ABCD平面CDEF，ABCD是边长为4的菱形，BCD60，CDEF是直角梯形，EFCD，EDCD，且EFED2（1）求证：ACBE；（2）求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值20某校为了提升学生的科学素养、本学期初开始动员学生利用课外时间阅读科普读物、为了了解学生平均每周课外阅读科普读物所花的时
7、间、学期末该校通过简单随机抽样的方法收集了20名学生平均每周课外阅读的时间（分钟）的数据、得到如表统计表（设x表示阅读时间，单位：分钟）组别时间分组频数男生人数女生人数130x60211260x901046390x1204314120x1502115150x180220（1）完成下面的22列联表、并回答能有90%的把认为“平均每周至少阅读120分钟与性别有关”？平均每周阅读时间不少于120分钟平均每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：P（K2k0）0.1500.1000.0500.0100.0050.001k02.0722.7063.8416.6357.87910.828（2）为了选出1名
8、选手代表学校参加全市中小学生科普知识比赛，学校组织了考组对选手人选进行考核，经过层层筛选，甲、乙两名学生成为进入最后阶段的备选选手考核组设计了最终确定人选的方案：请甲、乙两名学生从6道试题中随机抽取3道试题作答，已知这6道试题中，甲可正确回答其中的4道题目，而乙能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两名学生对每题的回答都是相互独立，互不影响的若从数学期望和方差的角度进行分析，请问：甲、乙中哪位学生最终入选的可能性更大？21已知函数f（x）alnx2x，g（x）f（x）+x2（1）若a2e，求函数f（x）的最大值；（2）当a0时，若函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），且不等式g（x1）
9、x2恒成立，试求实数的取值范围参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1已知全集UR，集合Ax|x（x1）0，Bx|1x1，那么（UA）B（）A（1，1）B（0，1）C0，1D（，1）解：全集UR，集合Ax|x（x1）0x|x0或x1，Bx|1x1，UAx|0x1，（UA）Bx|0x10，1故选：C2设i是虚数单位，若复数z（1+i）i，则|z|（）ABC1D解：复数z（1+i）i，z+i，则|z|故选：B3“是三角形的内角”是“sin0”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：若是三角形的内角，则（0，180），sin0，故充分性成立
10、，若sin0，可得0+k360180+k360，（kZ），故必要性不成立，综上所述，p是条件q的充分不必要条件故选：A4如图，在直角三角形AOB中，OA1，C为边AB上一点，且AB4AC，则（）ABCD解：OA1，AB4AC，且OAOB，故选：D5已知是第一象限，满足，则cos2（）ABCD解：，cos（），是第一象限，是第二象限角，则sin（），cos2sin（2+）2sin（+）cos（+）2故选：B6已知等比数列an的前n项和是Sn，若3a1+2a24，9S38S6，则S5（）A或5B或5CD解：等比数列an的前n项和是Sn，3a1+2a24，9S38S6，当公比q1时，无解，当公比q1
11、时，解得a11，q，S5故选：C7已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当x0时，y的值表示2021年年初的种群数量若t（tN*）年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为（）（参考值：ln20.693）A6B7C8D9解：由题意可知，即k ，即故选：B8已知函数f（x）ax1在R上恰有三个零点，则实数a的取值范围为（）ABCD解：函数f（x）ax1在R上恰有三个零点，即方程有三个根，也就是函数y与yax+1的图象有三个交点，如图，当x0时，y，y，设直线yax+1与切于（），则曲线y在切点处的切线方程为y（xx0），把（0，1）代入，可得，解得x04，
12、则直线yax+1与y相切时的切线的斜率为a结合图象及对称性可知，要使函数f（x）ax1在R上恰有三个零点，则实数a的取值范围为故选：A二、多项选择题：木题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9某学校为研究高三800名学生的考试成绩，在高三的第一次模拟考试中随机抽取100名高三学生的化学成绩绘制成频率分布直方图（如图所示），把频率看作概率，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（）A估计该校本次测试化学分数在区间70，80）的人数为360B估计该校本次测试化学平均分为7
13、1C估计该校本次测试化学成绩的中位数是D从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在80，90）内的概率为解：对于A，本次测试化学分数在区间70，80）的频率为：1（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）100.3，估计该校本次测试化学分数在区间70，80）的人数为8000.3240人，故A错误；对于B，估计该校本次测试化学平均分为：450.1+550.15+650.15+750.3+850.25+950.0571，故B正确；对于C，40，70）的频率为：（0.010+0.015+0.015）100.4，70，80）的频率为：0.3，估计该校本次测试化学成绩的中位数是：70+
14、，故C正确；对于D，成绩在80，90）内的频率为0.25，从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在80，90）内的概率为：P，故D错误故选：BC10已知函数f（x）的最小正周期为，则（）A函数f（x+）为奇函数B函数f（x）在，上单调递增C函数f（x）的图象关于直线x对称D函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数ycos3x的图象解：函数f（x）的最小正周期为 ，3，f（x）sin（3x）故函数f（x+）sin3x为奇函数，故A正确；在，上，3x0，函数f（x）没有单调性，故B错误；令x，求得f（x）1，为最大值，故f（x）的图象关于直线x对称，故C正确；函数f（x）的图象向右平移个单位长
15、度，得到函数ysin（3x）sinx的图象，故D错误，故选：AC11如图1，在等腰梯形ABCD中，ABCD，DAABBC，ADC，E为CD中点，将DAE沿AE折起，使D点到达P的位置（点P不在平面ABCE内），连结PB，PC（如图2），则在翻折过程中，下列说法正确的是（）ABC平面PAEBPBAEC存在某个位置，使PC平面PAEDPB与平面ABCE所成角的最大值为解：ABCD，E为CD中点，ABCE，ABCE，所以四边形ABCE为平行四边形，所以BCAE，因为BC平面PAE，AE平面PAE，所以BC平面PAE，故A正确；连接BE，取AE中点O，连接PO，BO，由POAE，BOAE，POBOO，
16、PO，BO平面POB，AE平面POB，PB平面POB，AEPB，故B正确；若PC平面PAE，则PCPE，在RtPEC中，必有ECPE，与ECPE矛盾，故C错误；PBO为直线PB与平面ABCE所成的角，显然PBO（0，），故D错误；故选：AB12已知M（1，3），过抛物线C：y24x焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，P为C上任意一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A过M与抛物线C有且只有一个公共点的直线有两条B|PM|与P到抛物线C的准线距离之和的最小值为3C若|AF|，|OM|，|BF|成等比数列，则|AB|10D抛物线C在A、B两点处的切线互相垂直解：过M与抛物线C相切的直线由两条
17、，y3与抛物线C相交且有一个公共点，共3条，故A错误；F（1，0），|PM|与P到抛物线C的准线距离之和等于|PM|+|PF|MF|3，故B正确；设A（x1，y1），B（x2，y2），直线BA的方程为xmy+1，代入抛物线的方程可得y24my40，所以y1y24，x1x21，因为|AF|BF|（x1+1）（x21）x1x2+x1+x2+1x1+x2+2|OM|210，所以|AB|AF|+|BF|x1+x2+210，故C正确；不妨设y20y1，由y2得y，由y2得y，所以抛物线C在A处的切线的斜率为，在B处的切线的斜率为，因为（）1，所以两条切线相互垂直，故D正确故选：BCD三、填空题：本题共4
18、小题，每小题5分，共20分。13二项式的展开式中常数项的值为20解：展开式的通项为Tr+1C6rx62r令62r0得r3故展开式的常数项为T4C6320故答案为2014已知C（m，0），若以C为圆心的圆C与直线3x+y10相切于点T（1，n），则圆C的标准方程是 （x7）2+y240解：根据题意，圆C与直线3x+y10相切于点T（1，n），则T（1，n）在直线3x+y10上，则有3+n10，解可得n2，又由圆心C的坐标为（m，0），直线3x+y10的斜率为3，则有，解可得m7，圆的半径r|TC|，故圆C的标准方程是（x7）2+y240；故答案为：（x7）2+y24015已知函数yloga（x1
19、）+1（a0，且a1）的图象恒过定点A，则点A的坐标为 （2，1），若点A在椭圆2（m0，n0）上，则m+n的最小值为 解：对于函数yloga（x1）+1（a0，且a1）的图象，令x11，求得x2，y1，可得它的图象恒过定点A（2，1）若点A（2，1）在椭圆2（m0，n0）上，则+2，即 +1，则m+n（m+n）（ + ）+2，当且仅当mn时，等号成立，故m+n的最小值为，故答案为：（2，1）； 16已知三棱锥PABC中，ACBC，ACBC4，平面PAC平面ABC、若三棱锥PABC的外接球面积为68，则三棱锥PABC的体积最大值为 解：如图，分别取AB、AC的中点M、E，连接PE，则M为三角形
20、ABC的外心，当P到平面ABC的距离最大时，三棱锥PABC的体积最大，此时PEAC，即PAPC，由平面PAC平面ABC，得PE平面ABC，设D为PAC的外心，O为三棱锥PABC的外接球的球心，由球的性质可知OD平面ABC，OM平面ABC，则四边形OMED为矩形，由三棱锥PABC的外接球面积为68，得OBOP，PD，OMDE，又PEPD+DE4，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知数列an，若 _（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn从下列个条件中任选一个补充在上面的横线上，然后对题目进行求解a1+a2+a3+ann2；a
21、11，a47，2anan1+an+1（nN*，n2）；a11，点A（n，an），B（n+1，an+1）在斜率是2的直线上解：若选，则（1）由a1+a2+a3+ann2，所以n2，a1+a2+a3+an1（n1）2，两式相减可得：n2，ann2（n1）22n1，而在a1+a2+a3+ann2中令n1可得：a11，符合上式，故an2n1（2）由（1）知：，所以Tn（1）+（）+若选，则（1）由2anan1+an+1（nN*，n2）可得：数列an为等差数列，又因为a11，a47，所以a4a13d，即d2，所以an1+（n1）22n1（2）同上若选，则（1）由点A（n，an），B（n+1，an+1）在
22、斜率是2的直线上得：，即an+1an2，所以数列an为等差数列且an1+（n1）22n1（2）同上18已知ABC中，ABAC4，sinA，内角A为锐角，点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD（1）求边BC的长；（2）求BDC的面积解：（1）因为sinA，内角A为锐角，所以cosA，所以BC2AB2+AC22ABACcosA42+422444，可得BC2（2）因为，即，所以sinABC，所以sinCBDsin（ABC），故SBDC2219已知几何体ABCDEF中，平面ABCD平面CDEF，ABCD是边长为4的菱形，BCD60，CDEF是直角梯形，EFCD，EDCD，且EFED2（1）求证：AC
23、BE；（2）求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，四边形ABCD是菱形，ACBD，平面ABCD平面CDEF，平面ABCD平面CDEFCD，EDCD，ED平面ABCD，AC平面ABCD，EDAC，又BDEDD，BD、ED平面BDE，AC平面BDE，BE平面BDE，ACBE（2）解：取AB的中点M，连接DM，ABCD是边长为4的菱形，BCD60，DMAB，DMAC，以D为原点，DM，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），F（0，2，2），（2，2，0），（0，2，2），设
24、平面BCF的法向量为（x，y，z），则，即，令y，则x1，z，（1，），同理可得，平面ADE的一个法向量为（1，0），cos，由图知，平面ADE与平面BCF所成角为锐角，故平面ADE与平面BCF所成角的余弦值为20某校为了提升学生的科学素养、本学期初开始动员学生利用课外时间阅读科普读物、为了了解学生平均每周课外阅读科普读物所花的时间、学期末该校通过简单随机抽样的方法收集了20名学生平均每周课外阅读的时间（分钟）的数据、得到如表统计表（设x表示阅读时间，单位：分钟）组别时间分组频数男生人数女生人数130x60211260x901046390x1204314120x1502115150x18022
25、0（1）完成下面的22列联表、并回答能有90%的把认为“平均每周至少阅读120分钟与性别有关”？平均每周阅读时间不少于120分钟平均每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：P（K2k0）0.1500.1000.0500.0100.0050.001k02.0722.7063.8416.6357.87910.828（2）为了选出1名选手代表学校参加全市中小学生科普知识比赛，学校组织了考组对选手人选进行考核，经过层层筛选，甲、乙两名学生成为进入最后阶段的备选选手考核组设计了最终确定人选的方案：请甲、乙两名学生从6道试题中随机抽取3道试题作答，已知这6道试题中，甲可正确回答其中的4道题目，而乙能正确
26、回答每道题目的概率均为，甲、乙两名学生对每题的回答都是相互独立，互不影响的若从数学期望和方差的角度进行分析，请问：甲、乙中哪位学生最终入选的可能性更大？解：（1）由频数分布表，可推得22列联表： 每周阅读时间不少于120分钟 每周阅读时间少于120分钟 总计 男 3 8 11 女 1 8 9 总计 4 1620，没有90%的把握认为“平均每周至少阅读120分钟与性别有关”（2）设甲学生正确作答的题数为X，则X的取值分别为1，2，3，P（X1），P（X2），P（X3），故X的分布列为：X 1 2 3 P E（X），D（X），设乙学生正确作答的题数为Y，YB（3，）则E（Y）3，D（Y）3，E（X
27、）E（Y），D（X）D（Y），甲学生入选的可能性更大21已知函数f（x）alnx2x，g（x）f（x）+x2（1）若a2e，求函数f（x）的最大值；（2）当a0时，若函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），且不等式g（x1）x2恒成立，试求实数的取值范围解：（1）当a2e时，f（x）2elnx2x，所以f（x）2，x（0，+），令f（x）0，得xe，当0xe时，f（x）0，f（x）单调递增；当xe时，f（x）0，f（x）单调递减，所以当xe时，f（x）有最大值为f（e）2e2e0（2）因为g（x）x22x+alnx的定义域为（0，+），g（x）2x2+，令g（x）02x2x+a0，又因为函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），所以2x2x+a0有两个不等实数根x1，x2（x1x2），所以00a，且x1+x21，a2x12x1，从而0x1x21，由不等式g（x1）x2恒成立，所以恒成立，又（1x1）+2x1lnx1，令h（t）1t+2tlnt（0t），所以h（t）1+2lnt0，当0t时恒成立，所以函数h（t）在（0，）上单调递减，所以h（t）h（）ln2，故实数的取值范围是（，ln2
