1、高考资源网() 您身边的高考专家题组层级快练(七十一)1设a0为常数,动点M(x,y)(y0)分别与两定点F1(a,0),F2(a,0)的连线的斜率之积为定值,若点M的轨迹是离心率为的双曲线,则的值为()A2B2C3 D.答案A解析轨迹方程为,整理,得1(0),c2a2(1),13,2,故选A.2(2015山东青岛一模)如图,从点M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛物线y28x的对称轴方向射向此抛物线上的点P,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点Q,再经抛物线反射后射向直线l:xy100上的点N,经直线反射后又回到点M,则x0等于()A5 B6C7 D8答案B解析由题意可知,p4,F(2,
2、0),P(2,4),Q(2,4),QN:y4,直线QN,MN关于l:xy100对称,即直线l平分直线QN,MN的夹角,所以直线MN垂直于x轴,解得N(6,4),故x0等于6.故选B.3(2014江苏南通一模)在平面直角坐标系xOy中,已知定点F(1,0),点P在y轴上运动,点M在x轴上,点N为平面内的动点,且满足0,0.(1)求动点N的轨迹C的方程;(2)设点Q是直线l:x1上任意一点,过点Q作轨迹C的两条切线QS,QT,切点分别为S,T,设切线QS,QT的斜率分别为k1,k2,直线QF的斜率为k0,求证:k1k22k0.答案(1)y24x(2)略解析(1)设点N(x,y),M(a,0),P(
3、0,b)由0可知,点P是MN的中点所以即所以点M(x,0),P(0,)所以(x,),(1,)由0,可得x0,即y24x.所以动点N的轨迹C的方程为y24x.(2)设点Q(1,t),由于过点Q的直线ytk(x1)与轨迹C:y24x相切,联立方程整理,得k2x22(k2kt2)x(kt)20.则4(k2kt2)24k2(kt)20,化简得k2tk10.显然,k1,k2是关于k的方程k2tk10的两个根,所以k1k2t.又k0,故k1k22k0.所以命题得证4(2015北京海淀二模)已知椭圆G的离心率为,其短轴两端点为A(0,1),B(0,1)(1)求椭圆G的方程;(2)若C,D是椭圆G上关于y轴对
4、称的两个不同点,直线AC,BD与x轴分别交于点M,N.判断以MN为直径的圆是否过点A,并说明理由答案(1)y21(2)不过点A解析(1)由已知可设椭圆G的方程为1(a1)由e,可得e2,解得a22.所以椭圆的标准方程为y21.(2)方法一:设C(x0,y0),且x00,则D(x0,y0)因为A(0,1),B(0,1),所以直线AC的方程为yx1.令y0,得xM,所以M(,0)同理,直线BD的方程为yx1,求得N(,0)(,1),(,1),所以1.由C(x0,y0)在椭圆G:y21上,所以x2(1y)所以10,所以MAN90.所以以线段MN为直径的圆不过点A.方法二:因为C,D关于y轴对称,且B
5、在y轴上,所以CBADBA.因为N在x轴上,又A(0,1),B(0,1)关于x轴对称,所以NABNBACBA.所以BCAN,所以NAC180ACB.设C(x0,y0),且x00,则x2(1y)因为(x0,1y0)(x0,1y0)x(y1)x0,所以ACBb0)与双曲线1(1v4)有公共焦点,过椭圆C的右顶点B任意作直线l,设直线l交抛物线y22x于P,Q两点,且OPOQ.(1)求椭圆C的方程;(2)在椭圆C上,是否存在点R(m,n),使得直线l:mxny1与圆O:x2y21相交于不同的两点M,N,且OMN的面积最大?若存在,求出点R的坐标及对应的OMN的面积;若不存在,请说明理由答案(1)y2
6、1(2)(,)或(,),SOMN解析(1)1v4,双曲线的焦点在x轴上设F(c,0),则c24vv13.由椭圆C与双曲线共焦点,知a2b23.设直线l的方程为xtya,代入y22x并整理,得y22ty2a0.则y1y22t,y1y22a.x1x2y1y2(ty1a)(ty2a)y1y2(t21)y1y2at(y1y2)a2(t21)(2a)2at2a2a22a0.解得a2,b1.故椭圆C的方程为y21.(2)方法一:假设存在点R(m,n)满足题意,则n21,即m244n2.设圆心到直线l的距离为d,则d1,且d.又|MN|2,SOMN|MN|d2dd.当且仅当d,即d时,SOMN取得最大值.由d,得m2n22.联立得故存在点R满足题意,坐标为(,)或(,)或(,)或(,),此时OMN的面积为.方法二:SOMN|OM|ON|sinMON,当MON90时,SMON取最大值.此时O到l的距离d,m2n22.又n21,解得m2,n2.故存在点R的坐标为(,)或(,)或(,)或(,),此时OMN的面积为.- 5 - 版权所有高考资源网