1、考点规范练38空间向量及其运算一、基础巩固1.若向量c垂直于不共线的向量a和b,d=a+b(,R,且0),则()A.cdB.cdC.c不平行于d,c也不垂直于dD.以上三种情况均有可能2.(多选)已知点P是ABC所在的平面外一点,若AB=(-2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),则()A.APABB.APBPC.BC=53D.APBC3.已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足ABAC=0,ACAD=0,ABAD=0,M为BC的中点,则AMD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=(1,2,0),A
2、D=(2,1,0),CC1=(0,1,5),则对角线AC1的边长为()A.42B.43C.52D.125.在空间四边形ABCD中,ABCD+ACDB+ADBC的值为()A.-1B.0C.1D.26.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是()A.相交B.垂直C.不垂直D.成60角7.若a=(-1,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120,则的值为.8.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动.当QAQB最小时,点Q的坐
3、标是.9.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,点N是AB的中点,点M是B1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出点D,N,M的坐标;(2)求线段MD,MN的长度;(3)判断直线DN与直线MN是否互相垂直,并说明理由.10.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为BC1D的重心,求证:(1)A1,G,C三点共线;(2)A1C平面BC1D.二、综合应用11.如图,在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E为BC延长线上一点,BC=2CE,则D1E=()A.AB+AD+AA1B.AB+12AD-
4、AA1C.AB+AD-AA1D.AB+13AD-AA112.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AEAF的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.34a213.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求BN的模;(2)求cos的值;(3)求证:A1BC1M.14.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都等于1,BAA1=CAA1=60.(1)设AA1=a,AB=b,AC=c,用向量a,b,c表示BC1,并求出BC1的长度;(2)求异面直线A
5、B1与BC1所成角的余弦值.三、探究创新15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADDC,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)证明:BEPD;(2)若F为棱PC上一点,满足BFAC,求线段PF的长.考点规范练38空间向量及其运算1.B由题意,得c垂直于由a,b确定的平面.d=a+b,d与a,b共面.cd.2.AC因为APAB=0,故A正确;BP=(3,-3,-3),APBP=3+6-3=60,故B不正确;BC=(6,1,-4),|BC|=62+12+(-4)2=53,故C正确;AP=(1,-2,1),BC=(6,1,-4),各个对应分量的比例不同,
6、故D不正确.3.CM为BC的中点,AM=12(AB+AC).AMAD=12(AB+AC)AD=12ABAD+12ACAD=0.AMAD,即AMD为直角三角形.4.CAC1=AA1+A1B1+B1C1=CC1+AB+AD=(0,1,5)+(1,2,0)+(2,1,0)=(3,4,5),所以|AC1|=32+42+52=52.5.B如图,令AB=a,AC=b,AD=c,则ABCD+ACDB+ADBC=AB(AD-AC)+AC(AB-AD)+AD(AC-AB)=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a)=ac-ab+ba-bc+cb-ca=0.6.B因为ABAP=2(-1)+(-1)2+(-4)(-1
7、)=0,所以ABAP,即ABAP.因为ADAP=4(-1)+22+0(-1)=0,所以ADAP,即ADAP.又ABAD=A,所以AP底面ABCD.7.17或-1由已知ab=-2-2=-4,|a|=1+2+4=5+2,|b|=4+1+1=6,cos120=ab|a|b|=-45+26=-12,解得=17或=-1.8.43,43,83设OQ=OP=(,2),则QA=(1-,2-,3-2),QB=(2-,1-,2-2).故QAQB=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6-432-23.所以当=43时,QAQB取得最小值-23,此时OQ=43,43,83.所以点
8、Q的坐标是43,43,83.9.解(1)D为坐标原点,点D的坐标为(0,0,0).由|AB|=|BC|=2,|D1D|=3,得点A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3),点N是AB的中点,点M是B1C1的中点,点N(2,1,0),M(1,2,3).(2)|MD|=(1-0)2+(2-0)2+(3-0)2=14,|MN|=(2-1)2+(1-2)2+(0-3)2=11.(3)直线DN与直线MN不垂直.理由:由(1)中各点坐标得DN=(2,1,0),MN=(1,-1,-3),DNMN=(2,1,0)(1,-1,-3)=10,DN与MN不垂直,直线
9、DN与直线MN不垂直.10.证明(1)CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1,可以证明CG=13(CB+CD+CC1)=13CA1,CGCA1,即A1,G,C三点共线.(2)设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a,且ab=bc=ca=0,CA1=a+b+c,BC1=c-a,CA1BC1=(a+b+c)(c-a)=c2-a2=0.CA1BC1,即CA1BC1.同理CA1BD,又BDBC1=B,A1C平面BC1D.11.B如图所示,取BC的中点F,连接A1F,则A1D1FE,且A1D1=FE,四边形A1D1EF是平行四边形,A1FD1E,且A1F=D1E.A1F=D
10、1E.又A1F=A1A+AB+BF=-AA1+AB+12AD,D1E=AB+12AD-AA1.12.C如图,设AB=a,AC=b,AD=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三个向量两两的夹角为60.AE=12(a+b),AF=12c,故AEAF=12(a+b)12c=14(ac+bc)=14(a2cos60+a2cos60)=14a2.13.解如图,建立空间直角坐标系Oxyz.(1)依题意得点B(0,1,0),N(1,0,1),|BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3.(2)依题意得点A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),BA1=(
11、1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1CB1=3,|BA1|=6,|CB1|=5.cos=BA1CB1|BA1|CB1|=3010.(3)证明:依题意,得点C1(0,0,2),M12,12,2,A1B=(-1,1,-2),C1M=12,12,0,A1BC1M=-12+12+0=0.A1BC1M,A1BC1M.14.解(1)BC1=BB1+B1C1=BB1+A1C1-A1B1=AA1+AC-AB=a+c-b.又ab=|a|b|cosBAA1=11cos60=12,同理可得ac=bc=12,所以|BC1|=(a+c-b)2=a2+c2+b2+2ac-2ab-2cb=1+1+1+1-1-1=
12、2.(2)因为AB1=a+b,所以|AB1|=(a+b)2=a2+b2+2ab=1+1+1=3,因为AB1BC1=(a+b)(a+c-b)=a2+ac-ab+ba+cb-b2=1+12-12+12+12-1=1,所以cos=AB1BC1|AB1|BC1|=132=66.所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为66.15.解PA底面ABCD,ADAB,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.由题意得点B(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(1,1,1),D(0,2,0).(1)证明:BE=(0,1,1),PD=(0,2,-2),BEPD=0,BEPD.(2)BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),由点F在棱PC上,设CF=CP=(-2,-2,2),01,BF=BC+CF=(1-2,2-2,2).BFAC,BFAC=2(1-2)+2(2-2)=0,解得=34,|PF|=1-34|PC|=144+4+4=32,即线段PF的长为32.
