1、考点规范练37空间直线、平面的垂直一、基础巩固1.若平面平面,平面平面=直线l,则()A.垂直于平面的平面一定平行于平面B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面C.垂直于平面的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直答案:D解析:对于A,垂直于平面的平面与平面平行或相交,故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面垂直、斜交、平行或在平面内,故B错;对于C,垂直于平面的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确.2.(2021广东珠海一模)已知,是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列条件中,可以得到l的是()A.lm,ln,m,nB.lm,mC.,lD.lm,m答案:D
2、解析:由,是两个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,知:对于A,lm,ln,m,n,则l与相交、平行或l,故A不可以;对于B,lm,m,则l与相交、平行或l,故B不可以;对于C,l,则l与相交、平行或l,故C不可以;对于D,lm,m,则l,故D可以.3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE答案:C解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BEAC.同理有DEAC,于是AC平面BDE.因为AC
3、在平面ABC内,所以平面ABC平面BDE.又因为AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE,故选C.4.(2021山东肥城三模)如图,AB为圆锥底面直径,C是底面圆O上异于A,B的动点.已知OA=3,圆锥侧面展开图是圆心角为3的扇形,则当PB与BC所成角为3时,PB与AC所成角为()A.3B.6C.4D.56答案:C解析:设圆锥母线长为l,则l3=23,解得l=2.PB=PC,且PB与BC所成的角PBC=3,BC=2.又OA=3,在RtABC中,AC=22.如图,作BDAC与圆O交于点D,连接AD,则四边形ACBD为平行四边形,BD=AC=22,连接PD,则PBD为PB与AC所成角.在PBD中,
4、PD=PB=2,BD=22,可得PDPB,PBD=4.5.已知l,m,n是三条不同的直线,是不同的平面,则的一个充分条件是()A.l,m,且lmB.l,m,n,且lm,lnC.m,n,mn,且lmD.l,lm,且m答案:D解析:m,lm,l.又l,故选D.6.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.ABC内部答案:A解析:连接AC1,由BC1AC,BAAC,得AC平面ABC1,所以平面ABC平面ABC1,所以C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA
5、底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案:DMPC(或BMPC)解析:连接AC.PC在底面ABCD上的射影为AC,且ACBD,BDPC.当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.8.如图,在棱长为2a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AC的中点,则平面MBC1与平面CBC1的夹角的正切值为.答案:2解析:连接MD,则M是BD的中点,连接DC1,取BC1的中点E,连接CE,DE,如图.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,则BD=DC1=BC
6、1=22a,CC1=BC=2a,又E是BC1的中点,DEBC1,CEBC1.DEC或其补角就是平面DBC1与平面CBC1的夹角,即平面MBC1与平面CBC1的夹角.又DC平面CBC1,DCCE.在RtDCE中,DC=2a,CE=2a,tanDEC=2.故平面MBC1与平面CBC1的夹角的正切值为2.9.设,是空间两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同直线.从“mn;n;m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:.(用序号表示)答案:(或)解析:逐一判断.若成立,则m与的位置关系不确定,故错误;同理也错误;与均正确.10.如图,在平面五边形ABCDE中,ABCE,且
7、AE=2,AEC=60,CD=ED=7,cosEDC=57.将CDE沿CE折起,使点D到点P的位置,且AP=3,得到如图所示的四棱锥P-ABCE.(1)求证:AP平面ABCE;(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,判断直线AB与l的位置关系,并说明理由.(1)证明:在CDE中,CD=ED=7,cosEDC=57,由余弦定理得CE=2.连接AC,如图所示,CE=AE=2,AEC=60,AC=2.又AP=3,在PAE中,PA2+AE2=PE2,即APAE.同理,APAC.ACAE=A,AC平面ABCE,AE平面ABCE,AP平面ABCE.(2)解:ABl.理由如下:ABCE,且CE平面PCE
8、,AB平面PCE,AB平面PCE.又平面PAB平面PCE=l,AB平面PAB,ABl.11.已知三棱锥P-ABC,PA=PB=AB=3,BC=4,AC=5,D为AB的中点.(1)若PC=3,求异面直线PD与BC所成的角的余弦值;(2)若二面角P-AB-C为30,求AC与平面PAB所成的角的正弦值.解:(1)如图,取AC的中点E,连接DE,PE.D为AB的中点,DE为ABC的中位线,DEBC.PDE或其补角为PD与BC所成的角.由已知可得PE=112,DE=2,PD=332,cosPDE=PD2+DE2-PE22PDDE=274+4-11423322=439.PD与BC所成角的余弦值为439.(
9、2)如图,在PDE中,过点E作EHPD于点H,连接AH.PA=PB,D为AB的中点,PDAB.AB=3,BC=4,AC=5,ABC=90.又DEBC,ABDE,PDE为二面角P-AB-C的平面角,即PDE=30.AB平面PDE,EH平面PDE,EHAB.又EHPD,PDAB=D,EH平面PAB.HAE为AC与平面PAB所成的角.在RtAHE中,EH=1,AE=52,sinHAE=25.AC与平面PAB所成角的正弦值为25.二、综合应用12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA平面ABC,ABC是边长为2的等边三角形,若球O的体积为823,则直线PC与平面PAB所成的角的正切值为
10、()A.31111B.21111C.31010D.1010答案:A解析:如图,设ABC的中心为E,M为AB的中点,过点O作ODPA,则D为PA的中点.由题意可得CM平面PAB,CPM是直线PC与平面PAB所成的角.ABC是边长为2的等边三角形,OD=AE=23CM=233,43OP3=823,OP=2,PA=2PD=2OP2-OD2=263.PM=PA2+AM2=333.tanCPM=CMPM=31111.13.如图,直线PA垂直于O所在的平面,ABC内接于O,且AB为O的直径,点M为线段PB的中点.给出下列结论:BCPC;OM平面APC;点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是(
11、)A.B.C.D.答案:B解析:对于,PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.AB为O的直径,BCAC.又PAAC=A,BC平面PAC.又PC平面PAC,BCPC;对于,点M为线段PB的中点,AB为O的直径,OMPA.PA平面PAC,OM平面PAC,OM平面PAC;对于,由知BC平面PAC,线段BC的长即是点B到平面PAC的距离.故都正确.14.(多选)如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,给出下列结论正确的是()A.PBAEB.平面PAE平面PDEC.异面直线PD与BC所成角为30D.直线PD与平面PAB所成角的余弦值为104答案:ABD解析:
12、连接BD,根据正六边形性质得ABAE,因为PA平面ABC,AE平面ABC,所以PAAE.因为PA,AB为平面PAB内两相交直线,所以AE平面PAB.因为PB平面PAB,所以PBAE,故A正确;根据正六边形性质得DEAE,因为PA平面ABC,DE平面ABC,所以PADE.因为PA,AE为平面PAE内两相交直线,所以DE平面PAE.因为DE平面PDE,所以平面PAE平面PDE,故B正确;根据正六边形性质得ADBC,所以PDA为异面直线PD与BC所成角,因为PA=2AB=AD,所以PDA=4,即异面直线PD与BC所成角为45,故C错误;因为AE平面PAB,BDAE,所以BD平面PAB,所以DPB为直
13、线PD与平面PAB所成角,因为PA=2AB,所以可得PD=2PA,PB=52PA,所以cosDPB=PBPD=522=104,故D正确.15.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分别为线段CD,AB上的点,且BFBA=CECD=13,现将ADE沿AE翻折成四棱锥P-ABCE,且二面角P-AE-B的大小为23.(1)证明:AEPF;(2)求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.(1)证明:连接DF交AE于点M,连接EF,如图.在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,BFBA=CECD=13,四边形ADEF为边长为2的正方形.AEDF,且DM=MF=2.在四棱锥P-ABCE中,AEPM,
14、AEMF,PMMF=M,AE平面PMF.又PF平面PMF,AEPF.(2)解:设点F到平面PAE的距离为d1,点B到平面PAE的距离为d,由(1)知PMF是二面角P-AE-B的平面角,PMF=23.AE平面PMF,AE平面PAE,平面PMF平面PAE.过点F作FHPM于点H,平面PMF平面PAE=PM,FH平面PAE.由(1)知在PMF中,PM=MF=2,FPM=6,PF=6,d1=FH=12PF=62.AFAB=23,d=32d1=364.在RtAPM中,可得PA=2,在PAF中,有PF2=PA2+FA2-2PAFAcosPAF,在PAB中,有PB2=PA2+AB2-2PAABcosPAF,
15、解得PB=10.sin=dPB=31520,直线PB与平面PAE所成角的正弦值为31520.16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,BAC=90,且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60,设AA1=a,(1)求a的值;(2)求直线B1C1到平面A1BC的距离.解:(1)BCB1C1,A1BC或其补角就是异面直线A1B与B1C1所成的角.如图,连接A1C,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,A1BAA1CA,A1B=A1C.A1BC为锐角,即A1BC=60.A1BC为等边三角形.AB=AC=1,BAC=90,BC=2,A1B=1+a2=2,a=1.(2)易知B1C
16、1平面A1BC,此时有直线B1C1上的任意一点到平面A1BC的距离等于点B1到平面A1BC的距离,设其为d.连接B1C,CAA1A,CAAB,AA1AB=A,CA平面A1B1B,并且AC=1.A1B1B的面积:SA1B1B=1211=12,A1BC的面积:SA1BC=1222sin60=32.VB1-A1BC=VC-A1B1B,13SA1B1BAC=13SA1BCd,d=SA1B1BACSA1BC=33,直线B1C1到平面A1BC的距离为33.三、探究创新17.如图,在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=25,BC=4.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使得平
17、面A1DE平面BCED,F为A1C的中点,如图.(1)求证:EF平面A1BD;(2)求证:平面A1OB平面A1OC;(3)在线段OC上是否存在点G,使得OC平面EFG?说明理由.(1)证明:如图,取线段A1B的中点H,连接HD,HF.因为在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,所以DEBC,DE=12BC.因为H,F分别为A1B,A1C的中点,所以HFBC,HF=12BC,所以HFDE,HF=DE,所以四边形DEFH为平行四边形,所以EFHD.因为EF平面A1BD,HD平面A1BD,所以EF平面A1BD.(2)证明:在ABC中,因为D,E分别为AB,AC的中点,AB=AC,所以AD=AE.所
18、以A1D=A1E.又O为DE的中点,所以A1ODE.因为平面A1DE平面BCED,且A1O平面A1DE,平面A1DE平面BCED=DE,所以A1O平面BCED.因为CO平面BCED,所以COA1O.在ABC中,由已知条件易得OB=OC=22,在OBC中,BC=4,所以COBO.因为A1OBO=O,所以CO平面A1OB.因为CO平面A1OC,所以平面A1OB平面A1OC.(3)解:在线段OC上不存在点G,使得OC平面EFG.假设在线段OC上存在点G,使得OC平面EFG.如图,连接GE,GF,则必有OCGF,且OCGE.在RtA1OC中,由F为A1C的中点,OCGF,得G为OC的中点.在EOC中,因为OCGE,所以EO=EC,这显然与EO=1,EC=5矛盾.所以在线段OC上不存在点G,使得OC平面EFG.
