1、考点规范练 26 等差数列及其前 n 项和 一、基础巩固 1.(2021 山西临汾三模)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 4+a1=a2+a5,则 S11=()A.28 B.34 C.40 D.44 答案:D 解析:由 a6+a1=a2+a5,4+a1=a2+a5,可得 a6=4,所以 S11=11a6=44.2.已知等差数列an的前 4 项和为 30,前 8 项和为 100,则它的前 12 项和为()A.110 B.200 C.210 D.260 答案:C 解析:设等差数列an的前 n 项和为 Sn.由于在等差数列an中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,又 S4=30,S8
2、=100,所以 30,70,S12-100 成等差数列,即 270=30+S12-100,解得 S12=210.3.已知数列an是等差数列,且 a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,数列an的前 n 项和为 Sn,则使得 Sn最大的 n 是()A.18 B.19 C.20 D.21 答案:C 解析:根据题意可知,由 a1+a3+a5=105,得 a3=35,由 a2+a4+a6=99,得 a4=33,则等差数列an的公差 d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当 Sn取得最大值时,n=20.4.(多选)已知等差数列an的公差为 d,前 n 项和为
3、Sn,当首项 a1和 d 变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各选项中也一定为定值的有()A.a7 B.a8 C.S15 D.S16 答案:BC 解析:由等差中项的性质可得 a3+a8+a13=3a8为定值,则 a8为定值,S15=15a8为定值,但S16=8(a8+a9)不一定为定值.5.设 Sn为等差数列an的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sn+2-Sn=36,则 n 等于()A.5 B.6 C.7 D.8 答案:D 解析:(方法一)由题意得 Sn=na1+-d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由 Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=3
4、6,故 n=8.(方法二)Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得 n=8.6.(多选)设 Sn是等差数列an的前 n 项和,且 S5S8,则下列结论正确的是()A.d0 B.a7=0 C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值 答案:BD 解析:根据题意,设等差数列an的公差为 d.由于 S6=S7,则 S7-S6=a7=0,故 B 选项正确;由 S50,则 d=a7-a6S5,则 a6+a7+a8+a90,可得 2(a7+a8)0,又由 a7=0,且 d0,得 a80,即 a7+a80,矛盾,故 C 选项错误;因为 S5S8,所以 S
5、6与 S7均为 Sn的最大值,故 D 选项正确.7.已知等差数列an的前 3 项依次是-1,a-1,1,则 a=;通项 an=.答案:1 n-2 解析:因为-1,a-1,1 构成等差数列,所以 2(a-1)=-1+1=0,解得 a=1.因为首项 a1=-1,公差 d=1,所以 an=n-2.8.(2021 河南名校联盟 4 月联考)在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项,从而形成一个新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次扩充.如数列 1,9,扩充一次后得到 1,5,9,扩充两次后得到 1,3,5,7,9,以此类推.设数列 1,3,t(t 为常数),扩充 n 次后所得所有项的和记
6、为 Sn,则 Sn=.答案:(2n+1)-3 解析:扩充 n 次后所得数列为 ,3,3 ,t,因此从 1 到 3 是等差数列,项数为 2n+1,且中间项为 2;从 3 到 t 也是等差数列,项数为 2n+1,且中间项为3 根据等差数列的性质可得 Sn=2(2n+1)+3 (2n+1)-3=(2n+1)-3.9.已知数列an满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令 bn=-(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明:由题意可知,an1.由 -3,得 bn+1-bn=3,故bn是公差 d=3的等差数列.(2)解:由(1)及 b1=-=1,得
7、bn=3n+3,即 an-1=3 ,故 an=二、综合应用 10.(多选)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1+5a3=S8,则下列结论一定正确的是()A.a10=0 B.当 n=9 或 10 时,Sn取最大值 C.|a9|0 时,a10,S210,所以 a1+a200,则 a10+a110.同理由 S210 可得 a1+a210,即 a110,从而等差数列an的公差 d0,a3a4,a3=9,a4=13,3 3,解得 ,an=4n-3.(2)由(1)知 a1=1,d=4,则 Sn=na1+-d=2n2-n=2(-)故当 n=1 时,Sn最小,最小值为 S1=a1=1.(3)由(2
8、)知 Sn=2n2-n,即 bn=-,则 b1=,b2=,b3=3 数列bn是等差数列,2b2=b1+b3,即 2=3 ,2c2+c=0,c=-或 c=0(舍去).三、探究创新 14.下表数阵的特点是每行、每列都成等差数列,记第 i 行第 j 列的数为 aij,则(1)ann=(nN*);(2)表中的数 52 共出现 次.2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 4 7 10 13 16 19 5 9 13 17 21 25 6 11 16 21 26 31 7 13 19 25 31 37 答案:(1)n2+1(2)4 解析:(1)根据题意得,第 i 行的等差数列的公差为 i,第
9、j 列等差数列的公差为 j,所以第一行数组的数列 a1j是以 2 为首项,公差为 1 的等差数列,可得 a1j=2+(j-1)1=j+1,又因为第 j 列数组成的数列 aij是以 a1j为首项,公差为 j 的等差数列,所以 aij=a1j+(i-1)j=(j+1)+(i-1)j=ij+1.因为 aij=ij+1,所以 ann=nn+1=n2+1;(2)由于 aij=ij+1=52,则 ij=51,得 i=1 且 j=51 或 i=51 且 j=1 或 i=3 且 j=17 或 i=17 且 j=3,故表中的数 52 出现了 4 次.15.(2021 广东珠海二模)已知等差数列an满足 a1=-1,a4=2a2+a3.(1)求数列an的通项公式;(2)若 bn=cos ,求数列bn的前 40 项和 S40.解:(1)设等差数列an的公差为 d.由 a1=-1,a4=2a2+a3,即 a1+3d=3a1+4d,得 d=2,所以 an=2n-3.(2)因为 bn=cos ,所以,当 n 为奇数时,bn=0;当 n 为偶数,n=4k+2,kN 时,bn=-,n=4k+4,kN 时,bn=所以 S40=()+()+()+(3 3 )+(3 )=2d(a2+a4+a6+a8+a40)=4(20a2+2d)=3120.
