1、银川一中2021届高三年级第三次月考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则的子集个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D【解析】【分析】先求出集合元素个数，再根据求子集的公式求得子集个数【详解】因为集合，所以所以子集个数为 个故选：D2. 下列命题中错误的是（ ）A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“”为真命题B. 命题“若，则或”为真命题C. 命题“若，则或”的否命题为“若，则且”D. 命题，则为，【答案】C【解析】【分析】根据含有逻辑联结词命题真假性，判断A选项是否正确.根
2、据原命题的逆否命题的真假性，判断B选项是否正确.根据否命题的知识判断C选项是否正确.根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断D选项是否正确.【详解】对于A选项，由于为假命题，所以为真命题，所以“”为真命题，故A选项正确.对于B选项，原命题的逆否命题是“若且，则”为真命题，原命题也是真命题，故B选项正确.对于C选项，命题“若,则或”的否命题为“若,则且”，故C选项错误.对于D选项，根据含有一个量词的命题的否定，易得D选项正确故选：C3. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美给出定义：能够将圆(为
3、坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”给出下列命题：对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；函数可以是某个圆的“优美函数”；正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.【详解】对，中心对称图形有无数个，正确对，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.错误对，正弦函数关于原点成中心对称图形，正确.对，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，错误故选D【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到
4、中心对称图形，即可判断各项正误.4. 已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除，求模，化简运算，求出的坐标得出答案.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限故选:A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除求模运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.5. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数平移法则得到答案.【详解】函数的图象向左平移个单位，再向上平移
5、1个单位，所得图象的函数解析式是：.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数平移，属于简单题.6. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线 在点处切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由曲线在点处的切线方程为可求出，由此可求出，根据点斜式即可求出.【详解】由切线方程为切线方程为可知，切线为，即.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.7. 设向量，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. 与的夹角为D. 在方向上的投影为【答案】C【解析】【分析】利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影坐标公式对各个选项进行检验即可.【详解】A.，即两个向量不满足平行的坐
6、标公式，故错误；B.，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；C.，所以夹角为，正确；D.在方向上的投影为，故错误.故选：C【点睛】本题考查两个向量平行，垂直以及两个向量的夹角坐标公式，考查向量投影的计算方法，属于基础题.8. 已知正项数列满足：，则使成立的的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 24D. 25【答案】C【解析】【分析】由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列，可求得，所以，带入不等式即可求解【详解】由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列所以，所以，又，所以，即解得，又，所以，故选C【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式，及一元一次不等式解法，突破点在于根据等
7、差数列的定义，得到为等差数列，再进行求解而不是直接求，属基础题9. 已知函数若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. 1，0）B. 0，+）C. 1，+）D. 1，+）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点
8、，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为4B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 函数的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】【详解】根据函数，的部分图象，再根据五点法作图可得，故它的周期为，故
9、不对令，的值不是最值，故不对令，的值为零，故函数的图象关于点，对称，故正确把函数的图象向左平移2个单位，可得的图象，显然所得函数不是偶函数，故错误，故选：故选C.11. 已知函数在定义域上的值不全为零，若函数的图象关于对称，函数的图象关于直线对称，则下列式子中错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题设条件可得函数的图象关于对称，且关于直线对称，从而得到为偶函数且为周期函数，从而可判断各项的正误.【详解】函数的图象关于对称，函数图象关于对称，令，即， 令，其图象关于直线对称，即， 由得， ，由得,；A对；由，得，即，B对；由得，又，C对；若，则，由得，又，即，与题意矛
10、盾，D错.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的对称性、奇偶性、周期性，注意图象的对称性与函数解析式满足的等式关系之间的对应性，本题属于中档题.12. 若函数，则满足恒成立的实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断是上的奇函数，利用导函数可判断是上的增函数，恒成立等价于，分离得，令，则，经过分析知是上的偶函数，只需求在上的最大值，进而求得的取值范围.【详解】因为，所以是上的奇函数，所以是上的增函数，等价于所以，所以，令，则，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可.当时，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即，故选：A
11、【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，考查导数研究函数单调性、最值以及恒成立问题，属于较难题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若函数在 上单调递减， 则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：由已知可得在上恒成立在 上恒成立.考点：1、导数及其应用；2、函数与不等式.【方法点晴】本题考查导数及其应用、函数与不等式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题,在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数
12、研究新函数的单调性和最值来解决.由已知可得在上恒成立在上恒成立.14. 在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则_.【答案】【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则得，根据三角形相似可得，代入可得，结合已知，根据平面向量基本定理可得，即可求解【详解】因为在正方形中，E为CD中点，所以，又为，所以，所以，所以，又已知，根据平面向量基本定理可得，所以，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用，证得，进而，可以求出，难度属于基础题15. 已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为_【答案】3【解析】【分析】根据等比数列前项和公式和通项公式化简已知式，可得，解出，进而根据求得结
13、果.【详解】由得： 由得：则 则本题正确结果：【点睛】本题考查等比数列通项公式和前项和公式求解基本量的问题，关键是能够将已知关系式化成关于和的形式，构成方程组，解方程组求得结果.16. 在中，角、所对的边分别为、，若，则当角取最大值时，的周长为_.【答案】【解析】【分析】先利用已知条件化简整理得，再根据化简，结合基本不等式和取最值的条件得到三角，最后求边长即得周长.【详解】因为，所以，即是钝角， 是锐角，即得，故 ，因为，所以，当且仅当时，即时最大，为，故角取最大值，故，又由，故，即周长为.故答案为：.【点睛】本题解题关键在于灵活运用两角和与差的正弦公式，由弦化切得到，结合展开，利用基本不等式
14、求解.三角形中常用的诱导公式有：，等等.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知函数的图像过点，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数的解析式；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据图象关于原点对称得图象过点和，再用待定系数即可求解；（2）将化为，再用分离参数法求解即可.【详解】（1）依题意，函数的图象过点和.所以，故.（2）不等式可化为.即对一切的恒成立.因为，当且仅当时等号成立，所以实数的取值范围为.【点睛】
15、本题考查待定系数法求解析式，不等式恒成立问题，是中档题.根据不等式恒成立求解参数范围的两种方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值分类讨论参数的取值是否满足要求；（2）参变分离法：将参数从不等式中分离出来，通过函数或者不等式确定最值，由此得到参数范围.18. 在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角， （1）求的值； （2）求边的长.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由，分别求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出【详解】(1)因为角 为钝角， ，所以 ，又 ，所以 ，且 ，所以 .(2)因为 ，且 ，所以 ，又 ，则 ，所以 .19. 已知
16、数列满足，（，），（1）证明数列为等比数列，求出通项公式；（2）数列的前项和为，求证：对任意，.【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由l两边同时除以得到有，再构造等比数列得解 （2）放缩，再利用等比数列求和得解.【详解】（1）由有，数列是首项为，公比为2的等比数列.， （2）， ，.【点睛】本题考查利用递推关系证明等比数列及求通项，并用放缩法证明不等式，属于基础题.20. 已知函数，在上的最大值为3（1）求的值及函数的周期与单调递增区间；（2）若锐角中，角，所对的边分别为，且，求的取值范围【答案】（1），周期为，单调递增区间为，（2）【解析】【分析】（1）化简得
17、，根据最大值求出p的值，再求出函数的周期和单调递增区间；（2）根据得到，,化简得，再求范围得解.【详解】（1）依题意，的最大值为3，其中，其周期为因为，时，单调递增，解得的单调递增区间为，（2），且为锐角，又，为锐角，所以，其中，【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21. 设函数（1）当时，求函数的最大值；（2）当，方程有唯一实数解，求正数的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先写解析式，利用导数判断函数函数单调性并求最值即可；（2）先写解析式代入方程，把方程有解问题转化成构造函数的零点问题，研究其导数、最值情
18、况，构建关系求解参数即可.【详解】解：（1）依题意，知的定义域为，当时，令，解得（），当时，此时单调递增；当时，此时单调递减所以的极大值为，此即为最大值；（2）由，得因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则，令，即因为，所以（舍去），当时，在上单调递减，当时，在单调递增，当时，取最小值因为有唯一解，所以，则，即所以，因为，所以 （*）设函数，易见当时，是增函数，所以至多有一解因为，所以方程（*）解为，即，解得【点睛】本题考查了函数导数与函数的单调性、最值和零点问题，属于中档题.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于
19、点，点满足，设倾斜角为的直线经过点（1）求曲线的直角坐标方程及直线的参数方程；（2）直线与曲线交于、两点，当为何值时，最大？求出此最大值【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的参数方程为，其中为参数（2）当时，取得最大值【解析】【分析】（1）直接代极坐标化直角坐标的公式求出曲线的直角坐标方程为，求出点的直角坐标为，再写出直线的参数方程；（2）设交点，所对应的参数分别为，求出，再求出最大值得解.【详解】（1），曲线的直角坐标方程为点的极径为，又，点的极径为，点的直角坐标为，直线的参数方程为，其中为参数（2）将的参数方程代入，得，设交点，所对应的参数分别为，则，当即时取等【点睛】本题主要考查极坐
20、标和直角坐标互化，考查直线参数方程中t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）由已知，可按不等中两个绝对值式的零点将实数集分为三部分进行分段求解，然后再综合其所得解，从而求出所求不等式的解集；（）由题意，可将的值分为和进行分类讨论，当时，函数不过原点，且最小值为，此时满足题意；当时，函数，再由函数的单调性及值域，求出实数的范围，最后综合两种情况，从而得出实数的范围.试题解析：（）由题意知，原不等式等价于或或，解得或或，综上所述，不等式的解集为.（）当时，则 ，此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意：当时， ，则函数在上单调递减，在上单调递增.要使函数的图象与轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数的取值范围为.
