1、2016-2017学年河北省唐山市曹妃甸一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1已知直线xy2=0，则该直线的倾斜角为（）A30B60C120D1502已知直线l1、l2，平面，l1l2，l1，那么l2与平面的关系是（）Al1Bl2Cl2或l2Dl2与相交3“a0”是“|a|0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为（）A +=1B +=1C +=1D +=15以点（2，1）为圆心且与直线3x4y+
2、5=0相切的圆的方程为（）A（x2）2+（y+1）2=3B（x+2）2+（y1）2=3C（x2）2+（y+1）2=9D（x+2）2+（y1）2=96如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）ABCD7已知直线l1：（k3）x+（4k）y+1=0与l2：2（k3）x2y+3=0平行，则k的值是（）A1或3B1或5C3或5D1或28某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A8B8C82D9已知ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）AB6CD12
3、10如果一个正四面体的体积为dm3，则其表面积S的值为（）A16dm2B18 dm2C dm2D dm211已知A、B、C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为（）A12B16C18D12已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，1）B（0，C（0，）D，1）二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线y=x，则l的方程是14如图，在棱长为2的正方体中，直线AC1和B1C的夹角是15椭圆2x2+3y2=1的焦距为16若直线
4、y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点，则实数m的取值范围三、解答题（本大题共6个题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程18如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，点D是AB的中点求证：（1）ACBC1；（2）AC1平面B1CD19已知p：2x10；q：x22x+1m2（m0）； 若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围20已知过点P（3，2）的圆C的圆心在y轴的负半轴上，且圆C截直线l：2xy+3=0所得弦长为4，求圆C的标准方程21在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，且
5、AC=BC=5，SB=（如图所示）（1）证明：平面SBC平面SAC；（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（3）求三棱锥的体积VSABC22如图，椭圆E： +=1（ab0）经过点A（0，1），且离心率为（）求椭圆E的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为22016-2017学年河北省唐山市曹妃甸一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1已知直线xy2=0，则该直线的倾斜角为（）A30B60C
6、120D150【考点】直线的倾斜角【分析】设该直线的倾斜角为，利用斜率与倾斜角的关系k=tan即可得出【解答】解：设该直线的倾斜角为，由直线xy2=0，变形为，0，180），=30故选：A2已知直线l1、l2，平面，l1l2，l1，那么l2与平面的关系是（）Al1Bl2Cl2或l2Dl2与相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】以正方体为载体，列举出所有情况，能求出结果【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，取AB=l1，CD=l2，当取面CDD1C1为平面时，满足l1l2，l1，此时l2；当取面B1A1D1C1为平面时，满足l1l2，l1，此时l2当直线l1、l2，平面，l
7、1l2，l1时，l2与平面的关系是l2或l2故选：C3“a0”是“|a|0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件【分析】本题主要是命题关系的理解，结合|a|0就是a|a0，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断【解答】解：a0|a|0，|a|0a0或a0即|a|0不能推出a0，a0”是“|a|0”的充分不必要条件故选A4已知焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为（）A +=1B +=1C +=1D +=1【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆方程为+=1（ab0），由题意可得a+b=10，2c=4，a2b2=c2，解方程可得
8、a，b，即可得到椭圆方程【解答】解：设椭圆方程为+=1（ab0），由题意可得a+b=10，2c=4，a2b2=c2，解方程可得a=6，b=4即有椭圆方程为+=1故选A5以点（2，1）为圆心且与直线3x4y+5=0相切的圆的方程为（）A（x2）2+（y+1）2=3B（x+2）2+（y1）2=3C（x2）2+（y+1）2=9D（x+2）2+（y1）2=9【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出半径即可求得圆的方程【解答】解：r=3，所求圆的方程为（x2）2+（y+1）2=9故选C6如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）
9、ABCD【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由题意连接A1C1，则AC1A1为所求的角，在AC1A1计算【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A平面A1B1C1D1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角在AC1A1中，sinAC1A1=故选D7已知直线l1：（k3）x+（4k）y+1=0与l2：2（k3）x2y+3=0平行，则k的值是（）A1或3B1或5C3或5D1或2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】当k3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k30时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值【解答】解：由两直线平
10、行得，当k3=0时，两直线的方程分别为 y=1 和 y=，显然两直线平行当k30时，由 =，可得 k=5综上，k的值是 3或5，故选 C8某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A8B8C82D【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=122=，则该几何体的体积为V=8，故选A9已知ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦
11、点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）AB6CD12【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得ABC的周长【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得ABC的周长为4a=，故选C10如果一个正四面体的体积为dm3，则其表面积S的值为（）A16dm2B18 dm2C dm2D dm2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】根据棱长为a的正四面体的体积V=a3，求出棱长，再由棱长为a的正四面体的表面积S=a2，可得答案【解答】解：如果一个正四面体的棱长为a则体积V=a3
12、=dm3，故a=4dm，则其表面积S=a2=dm2，故选：D11已知A、B、C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为（）A12B16C18D【考点】球的体积和表面积【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积【解答】解：设球的半径为r，O是ABC的外心，外接圆半径为R=，球心O到平面ABC的距离等于球半径的，得r2r2=3，得r2=球的表面积S=4r2=4=故选：D12已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，1）B（0，C（0，）D，1）【考点】椭圆的
13、应用【分析】由=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点总在椭圆内部，cb，c2b2=a2c2由此能够推导出椭圆离心率的取值范围【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，=0，M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即cb，c2b2=a2c2e2=，0e故选：C二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线上）13已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线y=x，则l的方程是y=2x+1【考点】直线的斜截式方程【分析】要求的直线垂直于直线y=x，可得要求直线的斜率为2，利用斜截式即可得出【解答】解：要求的直线垂
14、直于直线y=x，要求直线的斜率为2，由斜截式可求得l的方程为：y=2x+1故答案为：y=2x+114如图，在棱长为2的正方体中，直线AC1和B1C的夹角是90【考点】异面直线及其所成的角【分析】先根据条件得到侧面BCC1B1是正方形，进而得到对角线垂直，再结合ABB1C；得到B1C平面ABC1，进而得到结论【解答】解：连接BC1，因为棱长为2的正方体，所以侧面BCC1B1是正方形；所以：BC1B1C；又ABB1C；且ABBC1=B；B1C平面ABC1，AC1B1C即异面直线AC1和B1C所成的角是90故答案为：9015椭圆2x2+3y2=1的焦距为【考点】椭圆的简单性质【分析】直接利用椭圆的标
15、准方程化简求解即可【解答】解：椭圆2x2+3y2=1，可得a2=，b2=，则c=椭圆2x2+3y2=1的焦距为：故答案为：16若直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点，则实数m的取值范围【考点】直线与圆的位置关系【分析】曲线y=表示一个半圆，当直线y=x+m与半圆相切时，求得m的值；当直线y=x+m过点（2，0）时，求得m的值；当直线y=x+m过点（2，0）时，求得m的值，数形结合可得m的范围【解答】解：曲线y=即 x2+y2=4 （y0），表示以原点为圆心，半径等于2的半圆，如图当直线y=x+m与半圆相切时，由2=，可得 m=2，或m=2（舍去）当直线y=x+m过点（2，0），把点（2，
16、0）代入直线y=x+m可得0=2+m，故m=2当直线y=x+m过点（2，0），把点（2，0）代入直线y=x+m可得，0=2+m，故m=2数形结合可得，当直线y=x+m与曲线y=有且只有一个公共点时，则m的取值范围是：，故答案为：三、解答题（本大题共6个题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程【考点】直线的截距式方程【分析】设所求直线的方程为y=x+b，由此求出纵截距y=b，横截距x=b，由已知得|=6，由此能求出直线方程【解答】解：设所求直线的方程为y=x+b，令x=0，得y=b，令y=0，得x=b，
17、由已知，得|=6，即b2=6，解得b=3故所求的直线方程是y=x3，即3x4y12=018如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，点D是AB的中点求证：（1）ACBC1；（2）AC1平面B1CD【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，即可证得ACBC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，ODAC1，而AC1平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证【解答】证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，CC1AC，又ACBC
18、，BCCC1=C，AC平面BCC1B1ACBC1（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，OD是三角形ABC1的中位线，ODAC1，又AC1平面B1CD，OD平面B1CD，AC1平面B1CD19已知p：2x10；q：x22x+1m2（m0）； 若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由命题p成立得x的范围为A，由命题q成立求得x的范围为B，由题意可得AB，可得关于m的不等关系式，由此求得实数m的取值范围【解答】解：由p：2x10，记A=x|p=x|2x10由q：x22x+1m2
19、即x22x+（1m2）0（m0），得 1mx1+m记B=x|1mx1+m，m0，p是q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件，即 pq，且 q不能推出 p，AB要使AB，又m0，则只需 ，m9，故所求实数m的取值范围是9，+） 20已知过点P（3，2）的圆C的圆心在y轴的负半轴上，且圆C截直线l：2xy+3=0所得弦长为4，求圆C的标准方程【考点】圆的标准方程【分析】设圆心C（0，b），b0，则半径r=CP=，再由条件利用弦长公式、点到直线的距离公式求出b的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程【解答】解：设圆心C（0，b），b0，则半径r=CP=，再根据圆C截直线l：2xy+3=0所
20、得弦长为4，可得弦心距d=，即 =，求得b=2，可得圆心为（0，2），半径为 5，故要求的圆的方程为 x2+（y+2）2=2521在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，且AC=BC=5，SB=（如图所示）（1）证明：平面SBC平面SAC；（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（3）求三棱锥的体积VSABC【考点】二面角的平面角及求法；由三视图求面积、体积；平面与平面垂直的判定【分析】（1）首先根据已知条件证明SA平面ABC，得到SABC，从而利用线面垂直判断证明BC平面SAC；（2）SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角利用数量关系即可求得二面角；（3）三棱锥S
21、ABC以SA为高，ABC为底面，利用体积公式直接可求出体积；【解答】（1）证明：SAB=SAC=90，SAAB，SAAC又ABAC=A，SA平面ABCBC平面ABCSABC；由于ACB=90，即BCAC，SA，AC在平面SAC内相交于A点，BC平面SACBC平面SBC平面SBC平面SAC；（2）解：BCAC，SCBCSCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角在RtSCB中，BC=5，SB=5，得SC=10在RtSAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，SCA=60，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60（3）解：在RtSAC中，SA=，SABC=ACBC=55=，VSABC
22、=SACBSA=22如图，椭圆E： +=1（ab0）经过点A（0，1），且离心率为（）求椭圆E的方程；（）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（）由题意设直线PQ的方程为y=k（x1）+1（k0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论【解答】解：（）由题设知， =，b=1，结合a2=b2+c2，解得a=，所以+y2=1；（）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x1）+1（k0），代入椭圆方程+y2=1，可得（1+2k2）x24k（k1）x+2k（k2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x20，则x1+x2=，x1x2=，且=16k2（k1）28k（k2）（1+2k2）0，解得k0或k2则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=+=+=2k+（2k）（+）=2k+（2k）=2k+（2k）=2k2（k1）=2即有直线AP与AQ斜率之和为22016年12月10日
