1、3.2均值不等式(二)自主学习 知识梳理1设x，y为正实数(1)若xys(和s为定值)，则当_时，积xy有最_值为_(2)若xyp(积p为定值)，则当_时，和xy有最_值为_2利用均值不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：(1)x，y必须是_；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为_；求和xy的最小值时，应看积xy是否为_(3)等号成立的条件是否满足利用均值不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等” 自主探究请探究函数yx(a0)在x(0，)上的单调性并利用该类函数的单调性求函数ysin x，x(0，)的最小值对点讲练知识点一利用均值不等式求函数
2、的最值例1已知x，则f(x)有()A最大值 B最小值 C最大值1 D最小值1总结本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件变式训练1已知x0，y0，且1，求xy的最小值总结利用均值不等式求代数式的最值时，经常要对代数式进行变形，配凑出均值不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件变式训练2已知正数a，b满足abab3.求ab的最小值知识点三均值不等式的实际应用例3如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼
3、面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？总结涉及不等式的应用时，要首先建立函数关系式，适时巧用均值不等式求其最值变式训练3甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？1利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值2使用均值不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解3解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实
4、际含义. 课时作业一、选择题1函数ylog2 (x1)的最小值为()A3 B3 C4 D42已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x4y的最小值为()A2 B4 C16 D不存在3若xy是正数，则22的最小值是()A3 B. C4 D.4若关于x的不等式(1k2)xk44的解集是M，则对任意实常数k，总有()A2M,0M B2M,0MC2M,0M D2M,0M二、填空题5建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为_元6函数yloga(x3)1 (a0，a1)的图象恒过点A，若点A在
5、直线mxny10上，其中mn0，则的最小值为_7周长为1的直角三角形面积的最大值为_8某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨三、解答题9求下列函数的最小值(1)设x，y都是正数，且3，求2xy的最小值；(2)设x1，求y的最小值10某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?3.2均值不等式(二)知识
6、梳理1(1)xy大(2)xy小22(1)正数(2)定值定值自主探究证明当x(0，)时，设x10，即y1y2；当x1、x2(，)时，y1y20，即y1y2.y在(0，)上是减函数，在(，)上是增函数若求ysin x，x(0，)的最小值可令tsin x(0，1，则yt在t(0,1上是减函数y5，当t1，即sin x1，x时取“”对点讲练例1Df(x)1.当且仅当x2，即x3时等号成立变式训练1解因为x0，所以f(x)4x2323231当54x，即x1时，f(x)max1.例2解方法一1，xy(xy)10.x0，y0，26.当且仅当，即y3x时，取等号又1，x4，y12.当x4，y12时，xy取最小
7、值16.方法二由1，得x，x0，y0，y9.xyyyy1(y9)10.y9，y90，y91021016，当且仅当y9，即y12时取等号又1，则x4，当x4，y12时，xy取最小值16.变式训练2解方法一ab3ab，设abt，t0，则t24t12.解得：t6 (t2舍去)，(ab)min6.方法二abab3，b0，a1.abaa1(a1)2226.当且仅当a1，即a3时，取等号例3解(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知：4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.方法一由于2x3y22，218，得xy，即S，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m，
8、宽为3 m时，可使面积最大方法二由2x3y18，得x9y.x0，0y6，Sxyy(6y)y.0y0，S2.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.方法一2x3y2224，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小方法二由xy24，得x.l4x6y6y66248.当且仅当y，即y4时，等号成立，此时x6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小变式训练3解设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，t甲sv1v2t乙，1.t甲t乙，当且仅当v1v2
9、时“”成立由实际情况知v1v2，t甲t乙乙先到教室课时作业1B2B点P(x，y)在直线AB上，x2y3.2x4y224.3C22x2y21124.当且仅当xy或xy时取等号4A(1k2)xk44，x.(1k2)222.x22，Mx|x22，2M,0M.51 760解析设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m那么y120428048032048032021 760(元)当x2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元68解析A(2，1)在直线mxny10上，2mn10，即2mn1，mn0，m0，n0.22428.当且仅当，即m，n
10、时等号成立故的最小值为8.7.解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则1ab2，解得ab，当且仅当ab时取“”，所以直角三角形面积S，即S的最大值为.820解析设一年的总运费与总存储费用之和为y万元，则y44x4160万元，当且仅当x，即x20时取到最小9解(1)2xy(2xy)(24).当且仅当时取“”，即y24x2，y2x.又3，求出x，y.2xy的最小值为.(2)x1，x10，设x1t0，则xt1，于是有yt5259，当且仅当t，即t2时取等号，此时x1.当x1时，函数y取得最小值为9.10解设使用x年的年平均费用为y万元由已知，得y，即y1(xN*)由均值不等式知y12 3，当且仅当，即x10时取等号因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元
