1、分层抽样【概念认知】1分层抽样(1)分层抽样的定义一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样(2)分层抽样的步骤将总体按一定标准分层；计算各层的个体数与总体的个数的比；按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).2两种抽样方法的特点及适用范围(1)随机样本为了使样本相对总体具有很好的代表性，就必须使得总体中的每个个体被抽到的概率相等，如果一个样本是按照这种规则抽取的，那么称这个样本为随机样本(2)两种抽样方法的特点及适用范围类
2、别特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取总体中的个体数相对较少抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同分层抽样将总体分成几层，按各层的个体数之比抽取各层抽样时，可以采用简单随机抽样总体由差异明显的几部分组成【自我小测】1下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()A从10名同学中抽取3人参加座谈会B一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90110分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况C从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D从生产流水线上，抽取样本检查产品质量【解析】选B.A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个
3、体无明显差异且个数较多，不适于用分层抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样2经调查，在某商场扫码支付的老年人，中年人，青年人的比例为235，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为9，则n()A30 B40 C60 D80【解析】选A.因为老年人，中年人，青年人的比例为235，又中年人为9人，所以老年人为6人，青年人为15人，所以n691530.3(教材练习改编)某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为()A8 B11 C162
4、 D10【解析】选A.若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为300，所以有x3003 500，解得x1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为 8.4在距离2016年央视春晚直播不到20天的时候，某节目被取消，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数据：网民态度支持反对无所谓人数(单位：人)8 0006 00010 000若采用分层抽样的方法从中抽取48人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为_【解析】由分层抽样的方法，得持“支持”态度的网民抽取的人数为484816.答案：165某县共有320个自然村，其中山区32个，丘陵地区240个，平
5、原地区48个为调查村民收入状况，要从中抽出20个村进行调查，试设计一种比较合理的抽样方案，并简述抽样过程【解析】由于各地区自然条件的限制，各地区村民的经济收入有较大差异，故采用分层抽样法较为合理因为，所以按的比例抽取，应在山区抽取322(个)，丘陵地区抽取24015(个)，平原地区抽取483(个).具体实施过程：对于山区和平原地区，由于自然村数量较少，可采用抽签法，具体实施过程略对于丘陵地区，自然村个数较多且差异不大，可采取随机数表法首先将240个村按001，002，240编号，然后用随机数表法抽取15个这样便得到了一个容量为20的样本【基础全面练】一、单选题1某学校为了了解三年级、六年级、九
6、年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A抽签法 B简单随机抽样C分层抽样 D随机数表法【解析】选C.根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样2下列试验中最适合用分层抽样方法抽样的是()A从一箱3 000个零件中抽取5个入样B从一箱3 000个零件中抽取600个入样C从一箱30个零件中抽取5个入样D从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样【解析】选D.D中总体有明显差异，故用分层抽样3我国古代数学名著九章算术中有如下问题，“今有北乡8 758人，西乡有7 236人，南乡有8 356人，
7、现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡征集多少人”在上述问题中，需从南乡征集的人数大约是()A112 B128 C145 D167【解析】选D.从南乡征集的人数大约是8 356167(人).4甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A30人，30人，30人 B30人，45人，15人C20人，30人，40人 D30人，50人，10人【解析】选B.先求抽样比，然后各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 60030(人)，乙校抽取5 40045(人)，丙校抽取1 8
8、0015(人).5某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，普通职员90人，现采用分层抽样的方法抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为()A5，10，15 B3，9，18C3，10，17 D5，9，16【解析】选B.分层抽样是按比例抽取的，设抽取的高级职称的职工、中级职称的职工、普通职员的人数分别为a，b，c，则，解得a3，b9，c18.6交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取
9、驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A101 B808C1 212 D2 012【解析】选B.因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为，所以驾驶员的总人数为(12212543)808(人).二、多选题7某高校大一新生中，来自东部地区的学生有2 400人、中部地区学生有1 600人、西部地区学生有1 000人从中选取100人为样本调研饮食习惯，为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有()用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；用简单随机抽样的方法从新生中选出
10、100人；西部地区学生小刘被选中的概率为；中部地区学生小张被选中的概率为.A B C D【解析】选AC.A.由分层抽样的概念可知，取东部地区学生10048人、中部地区学生10032人、西部地区学生10020人，题中的说法正确；B新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误；C.西部地区学生小刘被选中的概率为，题中的说法正确；D.中部地区学生小张被选中的概率为，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是AC.8为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，下列说法不正确的是()A每层的个体数必须一样多B每层抽取的个体数相等C每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取nin(i1，
11、2，k)个个体，其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层所包含的个体数，N是总体容量D只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制【解析】选ABD.每层的个体数不一定都一样多，所以选项A不正确；又因为由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体，从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了，所以选项B不正确；对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，所以选项C正确；每层抽取的个体数是有限制的，所以选项D不正确三、填空题9我校高一、高二、高三共有学生2 400名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层随机
12、抽样的方法，从这2 400名学生中抽取一个容量为48的样本若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高二年级的学生人数为_【解析】设从高一年级抽取的学生人数为2x，则从高二、高三年级抽取的人数分别为2x2，2x4.由题意可得2x(2x2)(2x4)48，所以x7.故高二年级抽取16人，设我校高二年级的学生人数为N，再根据，求得N800.答案：80010某高中各年级男、女生人数统计如表：高一高二高三男生592563520女生528517a按年级分层随机抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a_【解析】由题意可得，求得a480.答案：480四、解答题11某校
13、高一年级500名学生中，血型为O型的有200人，血型为A型的有125人，血型为B型的有125人，血型为AB型的有50人为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，每种血型各有多少人？【解析】因为40500，所以应用分层抽样抽取血型为O型的20016(人)，A型的12510(人)，B型的12510(人)，AB型的504(人).12为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).高校相关人数抽取人数Ax1B36yC543(1)求x，y；(2)若从高校B相关人员中选2人作专题发言，应采用什么抽样方法，请写出
14、合理的抽样过程【解析】(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有x18，y2.故x18，y2.(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，36；第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次不放回地抽取2个号码，并记录上面的编号；第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本【综合突破练】一、选择题1某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从810岁，1112岁，1314岁，1516岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份因调查需要
15、，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在1112岁学生问卷中抽取60份，则在1516岁学生中抽取的问卷份数为()A60 B80 C120 D180【解析】选C.从1112岁的学生中回收180份问卷，从中抽取60份，则抽样比为.因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，所以从810岁，1112岁，1314岁，1516岁四个年龄段回收的问卷总数为900(份)，则1516岁回收问卷份数为x900120180240360(份).所以在1516岁学生中抽取的问卷份数为360120(份).2当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题已知甲、乙、丙三个社区现分
16、别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为()A40 B30 C20 D36【解析】选A.抽样比为，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为36040.3(多选)某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如表，用分层抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查，若抽到3位老年人，则下列说法正确的为()类别人数老年人15中年人？青年人40A.抽到8位青年人 B抽到6位中年人C中年人有6人 D中年人有30人【解析】选ABD.设该单位的中年人的人数为x，则由题表
17、可知，解得x30.因此在抽取的17人中，中年人的人数为306.由抽样比可知抽到的青年人为8人二、填空题4某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件【解析】应从丙种型号的产品中抽取6018件答案：185一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加44方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是_【解析】设一班被抽取的人数是x，则，解得x9，所以一班被抽取的人数是9，二班被抽取的人数是1697.答案：9，7
18、6某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆轿车进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为_【解析】设三种型号的轿车依次应抽取x辆，y辆，z辆，则有解得答案：6，30，10三、解答题7一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，用分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本请利用分层抽样的方法抽取，写出抽样过程【解析】第一步，确定抽样比，因为1006040200，所以；第二步，确定各层抽取的样本数，一级品：10010，二级品：606，三级品：404；第三步，采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽
19、取样本；第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本8为了对某课题进行研究，从A，B，C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0m72n).(1)若A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，求m，n.(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数【解析】(1)因为0m72n，A，B两所高校中共抽取3名教授，B，C两所高校中共抽取5名教授，所以高校B中抽取2人，所以高校A中抽取1人，高校C中抽取3人，所以，解得m36，n108.(2)因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，所以(mn)72，解得mn108，所以三所高校的教授的总人数为mn72180.
