1、章末综合测评(一)空间向量与立体几何(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知a(3，2，5)，b(1，5，1)，则a(a3b)()A(0，34，10) B(3，19，7)C44D23Ca3b(3，2，5)3(1，5，1)(0，17，2)，则a(a3b)(3，2，5)(0，17，2)03410442已知向量a(2，1，3)，b(1，2，1)，若a(ab)，则实数的值为()A2BCD2Da(ab)，a(ab)|a|2ab0，|a|2ab，14(223)7，解得2故选D3若A，B，C，D为空间不同的四点
2、，则下列各式为零向量的是()22；2233；ABCDC中，原式2，不符合题意；中，原式2()()0；中，原式，不符合题意；中，原式()()0故选C4在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为()A30B45C60D90A以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中过C作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则B，C1(0，0，)，平面ACC1A1的法向量n(0，1，0)，设BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为，则sin ，30，BC1与侧面ACC1A1所成角的大小为30，故选A5已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(
3、7，5，)若a，b，c三向量共面，则实数等于()ABCDD由题意得ctab(2t，t4，3t2)，6如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则等于()ABCDCM，G分别是BC，CD的中点，7直三棱柱ABCA1B1C1的底面是等腰直角三角形，ABAC，BCBB1，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为()ABCDA因为直三棱柱ABCA1B1C1的底面是等腰直角三角形，ABAC，故以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB1，则BB1，B(1，0，0)，B1(1，0，)，C1(0，1，)，(1，0，)，(1，1，)，cos，直线A
4、B1与BC1所成角的余弦值为8在三棱锥PABC中，PC底面ABC，BAC90，ABAC4，PBC60，则点C到平面PAB的距离是()ABCDB在三棱锥PABC中，PC底面ABC，BAC90，ABAC4，PBC60，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，4，0)，P(0，4，4)，A(0，0，0)，B(4，0，0)，(0，4，0)，(4，0，0)，(0，4，4)，设平面PAB的法向量n(x，y，z)，则取z1，得n(0，1)，点C到平面PAB的距离d故选B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目
5、要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9在以下命题中，不正确的命题有()A|a|b|ab|是a，b共线的充要条件B若ab，则存在唯一的实数，使abC对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P，A，B，C四点共面D若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底ABCA|a|b|ab|a与b共线，但a与b共线时|a|b|ab|不一定成立，故不正确；Bb需为非零向量，故不正确；C因为2211，由共面向量定理知，不正确；D由基底的定义知正确10已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)对于结论：APA
6、B；APAD；是平面ABCD的法向量；其中正确的是()ABCDABC0，0，ABAP，ADAP，则A，B正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则C正确由于(2，3，4)，(1，2，1)，与不平行，故D错误11如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将ADE，CDF，BEF分别沿DE，DF，EF翻折，使A，B，C重合于点P，则下列结论正确的是()APDEFB平面PDE平面PDFC二面角PEFD的余弦值为D点P在平面DEF上的投影是DEF的外心ABC如图，取EF的中点H，连接PH，DH，由题意知PEF和DEF为等腰三角形，故PHEF，DHEF，所以EF平面PDH，所以PDEF，故
7、A正确根据折起前后，可知PE，PF，PD两两垂直，于是可证平面PDE平面PDF，故B正确根据A选项可知PHD为二面角PEFD的平面角设正方形的边长为2，则PEPF1，PH，DH，PD2，所以PH2PD2DH2，所以PHPD，所以cosPHD，故C正确过点P作PGDH于点G，则点G为点P在平面DEF上的投影，PG，DG，HG，连接FG，则FG，因为FGDG，所以点G不是DEF的外心，故D错误12直线a的方向向量为a，平面，的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是()A若an，则直线a平面B若an，则直线a平面C若cosa，n，则直线a与平面所成角的大小为D若cosm，n，则平面，的夹角为BC
8、D若an，则直线a平面或在平面内，故选项A不正确；若an，则a也是平面的一个法向量，所以直线a平面，故选项B正确；直线与平面夹角的正弦值等于直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若cosa，n，则直线a与平面所成角的大小为，故选项C正确；两个平面夹角与他们法向量所成的不大于90的角相等，故选项D正确故选BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13已知向量(2，4，5)，(3，x，y)，若，则xy_45，存在实数k使得k则xy4514已知A(2，5，1)，B(2，4，2)，C(1，4，1)，则与的夹角为_60由题意得(0，1，1)，(1，1，0)，cos，所以
9、与的夹角为6015如图，在四面体ABCD中，ABC为正三角形，四面体的高AH3，若二面角ABCD的大小为，则ABC的面积为_4由H向BC作垂线，垂足为E，连接AE，由三垂线定理的逆定理知AEBC，AEH为二面角ABCD的平面角，即AEHAH3，AE2设正ABC的边长为a，则a2，a4ABC的面积S42416在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为_，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为_(本题第一空2分，第二空3分)取AC中点E，连接BE，则BEAC，如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz，则A，D(0，0，1)，C，设平
10、面ACD的法向量为n(x，y，z)，令x2，z3，y0，n(2，0，3)，又为平面ABC的法向量，(0，0，1)，cosn平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，BEAC，BE平面AA1C1C，为平面AA1C1C的一个法向量，又，cos，设AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin |cos，|四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知a(x，1，3)，b(1，2，1)，c(1，0，1)，c(2ab)(1)求实数x的值；(2)若(ab)(ab)，求实数的值解(1)2ab2(
11、x，1，3)(1，2，1)(2x1，0，5)c(2ab)，设c(2ab)(0)，(1，0，1)(2x1)，0，5)，即x的值为2(2)ab(2，1，3)(1，2，1)(1，3，4)，ab(2，1，3)(1，2，1)(21，2，31)(ab)(ab)，213(2)4(31)0，18(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC，D是棱AC的中点，且ABBCBB12(1)求证：AB1平面BC1D；(2)求异面直线AB1与BC1所成的角解(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD因为O为B1C的中点，D为AC的中点，所以ODAB1因为AB1平面BC1D，OD平面BC1D，
12、所以AB1平面BC1D(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C1(2，0，2)，B1(0，0，2)，因此(0，2，2)，(2，0，2)所以cos，设异面直线AB1与BC1所成的角为，则cos ，由于，故19(本小题满分12分)如图，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是平行四边形，且ABBC1，MD1，MD平面ABCD，H是MB的中点，在下面两个条件中任选一个，并作答：二面角AMDC的大小是；BAD若_，求CH与平面MCD所成角的正弦值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解若选：因为MD平面ABCD，所以ADMD，CDMD，所以ADC就是二面
13、角AMDC的平面角，所以ADC过D作x轴DC，以D为坐标原点，以DC，DM所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则C(0，1，0)，H所以取平面MCD的一个法向量n(1，0，0)设CH与平面MCD所成角为，则sin 所以CH与平面MCD所成角的正弦值是若选：因为MD平面ABCD，BAD，所以DA，DC，DM两两垂直以D为坐标原点，以DA，DC，DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，1，0)，H所以取平面MCD的一个法向量n(1，0，0)设CH与平面MCD所成角为，则sin 所以CH与平面MCD所成角的正弦值是20(本小题满分12分)如图，在直三棱柱
14、ABCA1B1C1中，点D在棱A1B1上，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，AA1ABAC2(1)证明：DFAE；(2)当D为A1B1的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值解(1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，有AA1A1B1，又因为AEA1B1，所以A1B1平面AA1C1C，因为A1C1平面AA1C1C，所以A1B1A1C1所以ABAC，ABAA1，ACAA1，如图，分别以AC，AA1，AB所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系Axyz，则C(2，0，0)，B(0，0，2)，A(0，0，0)，A1(0，2，0)，F(1，0，1)，E(2，1，0)设D(0
15、，2，t)(0t2)，则(1，2，t1)，(2，1，0)，(1，2，t1)(2，1，0)0，所以DFAE(2)当D为A1B1的中点时，D(0，2，1)，(1，1，1)，(1，2，0)，设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得n(2，1，3)，容易知平面ABC的法向量为n0(0，1，0)，所以cosn，n0，即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为21(本小题满分12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆孤所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值解(1)由题设知
16、，平面CMD平面ABCD，平面CMD平面ABCDCD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM又BCCMC，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC(2)以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，(2，1，1)，(0，2，0)，(2，0，0)设n(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即取x1，得n(1，0，2)是平面MAB的一个法
17、向量易知是平面MCD的法向量，因此cosn，sinn，所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是22(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，动点P在线段EF(包含端点E，F)上，M，N分别为AB，BC的中点，AB2DE2(1)若P为EF的中点，求点N到平面PDM的距离；(2)设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为，求cos 的最大值并求出此时点P的位置解以A点为坐标原点，以，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(1)由图可得D(0，2，0)，N(2，1，0)，M(1，0，0)，P(0，1，1)，则(1，1，1)，(0，1，1)，(1，1，0)设平面PDM的一个法向量为n1(1，y1，z1)，由可得n设点N到平面PDM的距离为d，则d(2)因为动点P在线段EF(包含端点E，F)上，可设P(0，t，1)(0t2)，则(1，t，1)，(1，2，0)设平面PDM的一个法向量为n2(1，y2，z2)，由可得n平面ABCD的一个法向量n0(0，0，1)，cos (0t2)当t0时，cos 取得最大值，此时P点与F点重合
