1、模块素养检测(二)(120分钟150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4 B2 C4 D2【解析】选D.由题意得f(x)3x212，令f(x)0，得x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增；当x(2，2)时，f(x)0，即h(3)a0，所以a的取值范围是(0，).6已知各项不为0的等差数列an满足a42a3a80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b3b8b10()A1 B8 C4 D2【解析】选B.设an的公差为d，则由条件式可得，(a73
2、d)2a3(a7d)0，解得a72或a70(舍去).所以b3b8b10ba8.7已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a1a6a113，b1b6b117，则tan 的值是()A1 B C D【解析】选D.an是等比数列，bn是等差数列，且a1a6a113，b1b6b117，所以a()33b67，所以a6，b6，所以tan tan tan tan tan tan .8已知f(x)a ln xx2(a0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围为()A(0，1 B(1，)C(0，1) D1，)【解析】选D.对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则当x
3、0时，f(x)2恒成立，f(x)x2在(0，)上恒成立，则a(2xx2)max1.二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9数列an的前n项和为Sn，若数列an的各项按如下规律排列：，以下运算和结论正确的是()Aa24B数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，是等比数列C数列a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，的前n项和为TnD若存在正整数k，使Sk10，Sk110，则ak【解析】选ACD.以2到7为分母的数共有123621个，故a22，a23，a24，故A正
4、确；为等差数列，B错误；数列的前n项和为Tn，C正确；可得T610.5，即S2110.510；S2010，此时a20，D正确10定义在(0，)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x1)f(x)f(x)x22x对x(0，)恒成立下列结论正确的是()A2f(2)3f(1)5B若f(1)2，x1，则f(x)x2xCf(3)2f(1)7D若f(1)2，0x1，则f(x)x2x【解析】选CD.设函数g(x)，则g(x)，因为(x1)f(x)f(x)x22x，所以g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递减，从而g(1)g(2)g(3)，整理得2f(2)3f(1)5，f(3)2f(1)7，故A错误，C正
5、确当0x1时，若f(1)2，因为g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)g(1)，即，即f(x)x2x.故D正确，从而B不正确11将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3nan1an2an3ann该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m0).已知a112，a13a611，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有()Am3Ba671737Caij3(i1)3j1DSn(3n1)(3n1)【解析】选ACD.由题意，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差
6、数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，且a112，a13a611，可得a13a11m22m2，a61a115d25m，所以2m225m1，解得m3或m(舍去)，所以选项A是正确的；又由a67a61m6(253)361736，所以选项B不正确；又由aijai1mj1(a11(i1)mmj12(i1)33j1(3i1)3j1，所以选项C是正确的；又由这n2个数的和为S，则S(a11a12a1n)(a21a22a2n)(an1an2ann)(3n1)n(3n1)(3n1)，所以选项D是正确的12设函数f(x)，则下列说法正确的是()Af(x)定义域是(0，)Bx(0，1)时，f(x)
7、图象位于x轴下方Cf(x)存在单调递增区间Df(x)在区间(1，2)上有最大值【解析】选BC.由题意，函数f(x)满足解得x0且x1，所以函数f(x)的定义域为(0，1)(1，)，所以A不正确；因为f(x)，当x(0，1)时，ln x0，所以f(x)0，所以f(x)在(0，1)上的图象都在x轴的下方，所以B正确；因为f(x)，所以f(x)0在定义域上有解，所以函数f(x)存在单调递增区间，所以C是正确的；由g(x)ln x，得g(x)(x0)，所以g(x)0，函数g(x)单调递增，且g(1)10，g(2)ln 20，所以函数f(x)在(1，2)上先减后增，没有最大值，所以D不正确三、填空题(本
8、大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13函数y的导数是_.【解析】f(x).答案：14设曲线yxn1(nN*)在(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 015x1log2 015x2log2 015x2 014的值为_【解析】因为y|x1n1，所以切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn.所以log2 015x1log2 015x2log2 015x2 014log2 015(x1x2x2 014)log2 015log2 0151.答案：115已知等比数列an的前n项和为Sn，且Sna3n，则_.【解析】等比数列an的前n项和为Snqn(
9、q1)，由已知Sna3n，可知q3，a；则1q328.答案：2816函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN*.若a116，则a1a3a5的值是_【解析】因为y2x，所以过点(ak，a)处的切线方程为ya2ak(xak)，又该切线与x轴的交点为(ak1，0)，所以ak1ak，即数列ak是等比数列，首项a116，其公比q，所以a34，a51，所以a1a3a521.答案：21四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)在数列an中，a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，求a1a2a51
10、的值【解析】利用分组求和法求解当n为正奇数时，an2an0，又a11，则所有奇数项都是1；当n为正偶数时，an2an2，又a22，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a1a2a51(a1a3a51)(a2a4a50)26a125a22676.18(12分)设函数f(x)2x33(a1)x26ax8，其中aR.已知f(x)在x3处取得极值(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1，16)处的切线方程【解析】(1)f(x)6x26(a1)x6a.因为f(x)在x3处取得极值，所以f(3)696(a1)36a0，解得a3.所以f(x)2x312x218x8.(2)A点在f(x)上
11、，由(1)可知f(x)6x224x18，f(1)624180，所以切线方程为y16.19(12分)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a4117，a2a522.(1)求数列an的通项公式an；(2)若数列bn是等差数列，且bn，求非零常数c.【解析】(1)an为等差数列，因为a3a4a2a522，又a3a4117，所以a3，a4是方程x222x1170的两个根又公差d0，所以a30.(1)若f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围【解题指南】解答本题，应先正确求出函数f(x)的导数f(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解【解析】(1)f(x)，因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)0，即a12a20，解得a1.(2)f(x)，因为x0，a0，所以ax10.当a2时，在区间0，)上，f(x)0，所以f(x)的单调增区间为0，).当0a0，解得x.由f(x)0，解得x.所以f(x)的单调减区间为，单调增区间为.(3)当a2时，由(2)知，f(x)的最小值为f(0)1；当0a2，由(2)知，f(x)在x处取得最小值，且ff(0)1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是2，).
