1、福建省四地市 2022 届高中毕业班第一次质量检测 数学试卷参考答案与评分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1-4：B C A D 5-8：B C D B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。9.BC 10.ABC 11.ABD 12.AC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.1 14.7 15.23 16.3 2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.17.（10 分）解：选：因为12a=，数列2nnaa为常数列，所以12221222nnaaaa=，解得2na=或1na=，又因为数列 na的任意相邻两项均不
2、相等，且12a=，-2 分所以数列 na为 2,1,2,1,2,1，-5 分所以()112,nnaannN+=，即()112nnaan+=，所以()111222nnaan=，又113022a=，所以12na是以 32 为首项，公比为 1 的等比数列，所以()113122nna=，即()113122nna=+；-7 分所以()()()1111133321142214nnnSnn+=+.-10 分法 2：分奇偶表示通项，分奇偶讨论求和.选：因为()()112nnSannN=+，易知32a=，()()1111 122nnSann=+，所以两式相减可得1111222nnnaaa=+，即()112nna
3、an+=，-5 分以下过程与相同；选：由121nnSS +=，可得112(1)nnSS+=+，-2 分又111Sa=，故1nS+是以112S+=为首项，2 为公比的等比数列，-4 分故112 2nnS+=，即21nnS=.-6 分当2n 时，112nnnnaSS=，-9 分又11a=也满足上式.综上所述：12nna=，21nnS=.-10 分18.（12 分）解:（）由已知条件()cos23cos1BAC=+，22cos3cos20BB+=,-2 分解得1cos2B=或cos2B=(舍),-4 分故3B=.-6 分（）1sin5 32SacB=，由10a=，得2c=.-8 分由余弦定理2222
4、cos84bacacB=+=-10 分由正弦定理 sinsinsinabcABC=，可得：225sinsinsin28acACBb=.-12 分19.（12 分）（）证明：在三棱柱111ABCA B C中，1BB 平面 ABC，因为 BC 平面 ABC，故1BBBC，同理111BBA B.因为112AACABC=，故四边形11B BCC 为菱形，故11BCB C.-2 分因为 ABBC，故1111A BB C，1111BBB CB=，11A B 平面11BCC B，1BC 平面11BCC B，111A BBC，-5 分1111A BB CB=，1BC 平面11A B C.-6 分（）解：由 M
5、N 平面11A ACC，MN 平面11BAC，平面11BAC平面11A ACC11AC=，故 MN 11AC，又 M 为1BC 中点，故 N 为1BA 中点.-7 分以 B 为坐标原点，1,BC BA BB 的方向为正方向建立空间直角坐标系.则(0,1,1)N,1(2,0,2)C,(0,0,0)B,1(0,2,2)A,(2,0,0)C-8 分(2,0,0)BC=,1(0,2,2)BA=,设平面1A BC 的法向量(,)mx y z=，由100BC mBA m=，得 20220 xyz=+=，取011xyz=，(0,1,1)m=.-10 分又1(2,1,1)NC=,设直线1NC 与平面1A BC
6、 所成的角大小为，则111|23sin|cos,|3|62NC mNC mNCm=.即直线1NC 与平面1A BC 所成角的正弦值为33.-12 分20.（12 分）解：（）（i）X 可能取值为 2，3，222(2)(1)221P Xpppp=+=+；2(3)2(1)22P Xpppp=+-2 分故2222(221)3(22)222EXpppppp=+=+-3 分即2152()22EXp=+，则当12p=时，EX 取得最大值.-4 分(ii)结合实际，当12p=时双方实力最接近，比赛越激烈，则一天中进行比赛的盘数会更多.-5 分（）当12p=时，双方前两天的比分为 2：0 或 0：2 的概率均
7、为 111=224；比分为 2：1 或 1：2 的概率均为11112=2224.-7 分5Y 则4Y=或=5Y.4Y=即获胜方两天均为 2：0 获胜，故111(4)2448P Y=；-9 分5Y=即获胜方前两天的比分为 2：0 和 2：1 或者 2：0 和 0：2 再加附加赛，故111113(5)2(22)444428P Y=+=-11 分所以131(5)(4)(5)=+=882P YP YP Y=+=-12 分21.（12 分）解：（）由题意，点 P 到点 F 的距离等于到直线1x=的距离，所以点 P 的轨迹是以(1,0)F为焦点，直线1x=为准线的抛物线，曲线 E 的方程是24yx=.-3
8、 分（）显然，直线 AB 不与 x 轴重合，设直线 AB 的方程为1xmy=+，与 E 联立得：2440ymy=设1122(,),(,)A x yB xy，则121244yymy y+=，则1222yym+=，2121212yymm+=+，-5 分即 AB 中点 C 坐标为2(21,2)mm+，21212|(1)(1)()444ABxxm yym=+=+=+.-7 分由题意，NCAB，过 C 作与 AB 垂直的直线，其方程为2(21)2ym xmm=+，令0 x=，得323ymm=+，故点 N 坐标为3(0,23)mm+又21|222NCABm=+，-9 分故2221(21)22mmm+=+，
9、-10 分令21mt+=，则22(21)2ttt=，由1t ，解得132t+=，即21312m+=，解得232m=.-11 分又直线 MN 的方程为3123yxmmm=+，令0y=，得到点 M 横坐标为423(13)232Mxmm+=.-12 分22.（12 分）解：（）0 x=时，2()(2)22xf xexx=2()(2)22xxfxexex=+，-1 分(1)2(2)232feee=+，(1)2fe=，故所求切线方程为(32)(1)2yexe=+，整理得：(32)20exye+=.-4 分（）由题意，(1)(2)(1)0fek=+，解得：1k，(0)20fk=，解得：2k，故必须满足12
10、k，-6 分下面证明充分性：若12k，当 1ln 2x 时，此时20 xe，22()(2)(1)22(2)(1)2(1)xxf xexxexx=+此时20 xe，210 x ，2(1)0 x+，故2(2)(1)2(1)0 xexx+，满足()0f x.-8 分当ln 2x 时，此时20 xe，2()(2)(2)222(2)22xxf xexxex，令()2(2)22222xxg xexex=+，-9 分则()22xg xe=，令()0g x=，得0 x=，故ln 20 x时，()0g x，()g x 单调递增；0 x 时，()0g x，()g x 单调递减；所以，()(0)0g xg=，满足()0f x.-11 分综上所述，12k.-12 分
