1、第一讲 坐标系 二 极坐标系1理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性(难点、易错点)2掌握极坐标与直角坐标的互化(重点)3掌握极坐标系的简单应用(难点)1极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做_；再选定一个_、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系极轴长度单位(2)极坐标系内一点极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的_，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的_，记为.有序数对_叫做点M的极坐标，记为_一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意
2、实数特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，)，可以取任意实数极角(，)M(，)极径(3)点 与 极 坐 标 的 关 系：一 般 地，极 坐 标(，)与_表示同一个点特别地，极点O的坐标为(0，)(R)和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示(，2k)(kZ)极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？提示：建立极坐标系后，给定(，)，就可以在平面内唯一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯一的所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别1在极坐标系中，点 M2，6 的位置，可按如下规则确定的是
3、()A作射线 OP，使xOP6，再在射线 OP 上取点 M，使|OM|2B作射线 OP，使xOP76，再在射线 OP 上取点 M，使|OM|2解析：由极坐标的概念知B正确答案：BC作射线 OP，使xOP76，再在射线 OP 的反向延长线上取点 M，使|OM|2D作射线 OP，使xOP6，再在射线 OP 上取点 M，使|OM|22点的极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为_，x轴的正半轴作为_，并在两种坐标系中取相同的_，如图所示(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：极点极轴长度单位点
4、M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式x_，y_2_，tan yx(x0)在一般情况下，由 tan 确定角时，可根据点 M 所在的象限取最小正角cos sin x2y22极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限解析：因为 3，32，所以 xcos 0，y sin 0.所以极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的第二象限答案：B1极坐标系的概念极坐标系的建立有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向四者缺一不可极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置2点的极坐标每一个有序实数对(，)确定一个点的位置其中，是点M的极径，是点M的极角平面上给定
5、一点，可以写出这个点的无数多个极坐标根据点的极坐标(，)的定义，对于给定的点(，)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(，2k)(kZ)，另一类为(，2k)(kZ)在极坐标(，)中，一般限定0.当0时，就与极点重合，此时不确定给定点的极坐标(，)，就唯一地确定了平面上的一个点但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系这是极坐标与直角坐标的不同之处如果限定0,02，那么除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系3联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的
6、纽带事实上，若 0,则 sin y，cos x，所以 xcos，ysin，2|OM|2x2y2，tan yx.写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(0,02)，最内层圆的半径为1，且各圆半径相差1.求点的极坐标思路点拨确定极径、极角即可解：对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为 A7，6，B4，34，C5，76，D6，74，E(9,0)，F(3，)，G8，32.【题后反思】1.写点的极坐标要注意顺序：极径 在前，极角 在后，不能把顺序搞错了2点的极坐标是不唯一的，但若限制 0,02，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的1已知最内层圆的半径为1，各圆半径相差1
7、，写出下列各点的极坐标解：A(4,0)，B1，5，C3，23，D4，1312，E2，54，F3，32，G4，53.由极坐标确定点的位置在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，B3，4，C2，2，D3，74.思路点拨 建立极坐标系 极角 作出极角的终边 极径以极点O为圆心，以极径为半径分别画弧 点的位置解：如图所示，A，B，C，D四个点分别是唯一确定的【题后反思】由极坐标确定点的位置的步骤：(1)取定极点O；(2)作方向为水平向右的射线Ox为极轴；(3)以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边；(4)以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即
8、是所求点的位置2在极坐标系中，已知 B3，4，D3，74，试判断点 B，D 的位置是否具有对称性，并求出 B，D 关于极点的对称点的极坐标(限定 0，0,2)解：由 B3，4，D3，74，知|OB|OD|3，极角4与74 的终边关于极轴对称，所以点 B，D 关于极轴对称设点 B3，4，D3，74 关于极点的对称点分别为 E(1，1)，F(2，2)，则 123.当 0,2)时，154，234，E3，54，F3，34 为所求分别把下列点的极坐标化为直角坐标：把点的极坐标化为直角坐标(1)2，6；(2)3，2；(3)4，23；(4)(，)；(5)(6,2)思路点拨 点的极坐标，xcos，ysin 点
9、的直角坐标x，y解：(1)xcos 2cos 6 3，ysin 2sin 61，点的极坐标2，6 化为直角坐标为(3，1)(2)xcos 3cos 20，ysin 3sin 23，点的极坐标3，2 化为直角坐标为(0,3)(3)xcos 4cos 23 2，ysin 4sin 23 2 3，点的极坐标4，23 化为直角坐标为(2,2 3)(4)xcos cos，ysin sin 0，点的极坐标(，)化为直角坐标为(，0)(5)xcos 6cos 2，ysin 6sin 2，点的极坐标(6,2)化为直角坐标为(6cos 2,6sin 2)【题后反思】将点的极坐标(，)化为点的直角坐标(x，y)时
10、，运用到求角的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键3分别把点的极坐标(1,0)，(1，2)，2，32，2，2 化为直角坐标解：根据点的极坐标化为直角坐标的公式 xcos，ysin 计算，得到点(1,0)，(1，2)，2，32，2，2 的直角坐标分别为(1,0)，(1,0)，(0，2)，0，2.分 别 把 下 列 点 的 直 角 坐 标 化 为 极 坐 标(限 定0,02)：将点的直角坐标化为极坐标(1)(0,0)；(2)(1，1)；(3)(2,2 3)；(4)32，32.思路点拨 点的直角坐标x，y 2x2y2，tan yxx0 点的极坐标，解：(1)由于
11、直角坐标原点(0,0)与极点重合，限 定0,02 时，其极坐标为(0，)(2)x2y2 1212 2，tan yx1，0,2)由于点(1，1)在第三象限，54.点的直角坐标(1，1)化为极坐标为2，54.(3)x2y2222 324，tan yx 3，0,2)由于点(2,2 3)在第二象限，23.点的直角坐标(2,2 3)化为极坐标为4，23.(4)x2y23223223 22，tan yx1，0,2)由于点32，32 在第一象限，4.点的直角坐标32，32 化为极坐标为3 22，4.【题后反思】将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(，)，当0，0,2)时，除极点外点的极坐标是唯一的，此时由 t
12、an(x0)求角时有两解，所以要根据点所在的象限求出角，通常称为主值角；当0，R时，点的极坐标是不唯一的，一般根据终边相同的角的意义将点的极坐标表示为(，2k)(kZ)【互动探究】本例中，如果限定0，R，分别求各点的极坐标解：根据与角终边相同的角为2k，kZ，可知点的直角坐标化为极坐标(0，R)，分别如下：点(0,0)的极坐标为(0，)，R，点(1，1)的极坐标为2，54 2k，kZ，点(2,2 3)的极坐标为4，23 2k，kZ，点32，32 的极坐标为3 22，42k，kZ.4分别将下列点的直角坐标化为极坐标(限定 0，0,2)(1)(6，2)；(2)(3，1)解：(1)62 222 2，
13、tan 26 33，又点(6，2)在第四象限，最小正角 116.点(6，2)的极坐标是2 2，116.(2)32122，tan 1 3 33，又点(3，1)在第三象限，最小正角 76.点(3，1)的极坐标是2，76.思路点拨解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解；也可以直接利用极坐标根据余弦定理求解规范解答系列(一)极坐标的综合应用【典例】(10 分)在极坐标系中，如果 A2，4，B2，54 为等边三角形 ABC 的两个顶点，求顶点 C 的极坐标(0,02)规范解答方法一：利用坐标转化对于点 A2，4，有 2，4，xcos 2cos 4 2，ysin 2si
14、n 4 2.A(2，2).2 分对于点 B2，54，有 2，54，x2cos 54 2，y2sin 54 2.B(2，2).4 分设点 C 的直角坐标为(x，y)，由于ABC 为等边三角形，故有|BC|AC|AB|.(x 2)2(y 2)2(x 2)2(y 2)2(2 2)2(2 2)2.6 分即x 22y 2216，x 22y 2216，x2y22 2x2 2y120，x2y22 2x2 2y120.得 yx,代入化简得 x26，x 6.解得x 6，y 6 或x 6，y 6.8 分点 C 的直角坐标为(6，6)或(6，6)662 3，tan 66 1.74 或 34.点 C 的极坐标为2 3
15、，74 或2 3，34.10 分方法二：设点 C 的极坐标为(，)(02，0)则有|AB|BC|AC|.2 分由余弦定理得22222cos 4 2222222cos，22222cos 54 2222222cos，即24cos 4 120，24cos 4 120，4 分并化简得 212，由于 0，解得 2 3.6 分再代入得 cos 4 0，42k，kZ.34 k，kZ.8 分由于 02，令 k0,1，分别得 34 或74.点 C 的极坐标为2 3，34 或2 3，74.10 分特别关注1.一般地，设 A(1，1),B(2，2)，由余弦定理可得到两点间的距离公式|AB|2122212cos12.
16、2由点的极坐标(，)可以确定点的位置，同时可以建立三角形中的边、角关系，正确理解极径、极角 是建立上述联系的关键【跟踪训练】在极坐标系中，已知ABC 的三个顶点的极坐标分别为 A2，3，B(2，)，C2，53.(1)判断ABC 的形状；(2)求ABC 的面积解：(1)如图所示，由 A2，3，B(2，)，C2，53 得|OA|OB|OC|2，AOBBOCAOC23.AOBBOCAOC.ABBCCA.故ABC 为等边三角形(2)由上述可知，AC2OAsin322 32 2 3.SABC 34(2 3)23 3.点击进入WORD链接P9思考如 图 是 某 校 园 的 平 面 示 意图假设某同学在教学
17、楼处，请回答下列问题：(1)他向东偏北60方向走120 m后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？答：(1)他向东偏北60方向走120 m后到达图书馆，位置唯一确定(2)从教学楼向东走60 m到达体育馆，从教学楼向西北方向走50 m到达办公楼课后习题解答习题1.2(第12页)1解：由题图得各点的极坐标分别为：A(3,0)，B2，4，C3，2，D1，56，E(2.5，)，F5，43，G4，53.2解：以广东省汕尾市为极点，正东方向为极轴(单位长度为 100 公里)建立极坐标系，如图所示，则该台风中心所在位置的极坐标为 A440，74.3解：因为AOB23 3，所以 A，O，B 三点共线所以 A，B 两点间的距离为|AB|314.4解：由直角坐标与极坐标互化公式 xcos，ysin，分别将极坐标3，4，2，23，4，2，32，代入上述公式，得各点的直角坐标分别为3 22，3 22，1，3，(0,4)，32，0.5解：由直角坐标与极坐标互化公式 2x2y2，tan yx(x0)，分别将直角坐标(3，3)，0，53，72，0，(2，2 3)代入上述公式，得各点的极坐标分别为 2 3，6，53，32，72，0，4，43.谢谢观看！
