1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算1掌握复数代数形式的乘、除运算(重点)2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(难点)3理解共轭复数的概念(易错点)1复数的乘法(1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)_.(2)复数乘法的运算律对任意z1、z2、z3C，有交换律z1z2_结合律(z1z2)z3_乘法对加法的分配律z1(z2z3)_(acbd)(adbc)iz2z1z1(z2z3)z1z2z1z32.共轭复数与复数的除法(1)共轭复数如果两个复数满足_时，称这两个复数为
2、共轭复数，z 的共轭复数用 z表示即 zabi，则 z_.虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫共轭虚数(2)复数的除法法则设 z1abi(a，bR)，z2cdi(cdi0 且 c，dR)，则z1z2abicdi_(cdi0)实部相等，虚部互为相反数abiacbdc2d2 bcadc2d2 i1(2016全国甲卷，理)已知 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是()A(3,1)B(1,3)C(1，)D(，3)解析：根据复数对应的点在第四象限，列出实数 m 满足的条件，化简得到实数 m 的取值范围由题意知m30，m10，即3m1.故实数 m 的取值范围为(3,1
3、)答案：A2设 z 的共轭复数为 z，z1i，z1z z，则 1z 1iz1()A.12iB12iC.12D32解析：z1i，z1z z(1i)(1i)2.1z 1iz1 11i12i1i2 i212.答案：C3i 是虚数单位，则510i34i _(用 abi 的形式表示，其中 a，bR)解析：510i34i 510i34i34i34i 12i.答案：12i4若 21iabi(i 为虚数单位，a，bR)，则 ab_.解析：21iabi，21i1i1iabi，即 1iabi，a1，b1.ab2.答案：2在复数运算中，除了灵活运用运算法则及各种运算律之外，常用的还有三大技巧(1)i的周期性：i4n
4、1，i4n1i，i4n21，i4n3i(n Z)，它们在遇到i的高次幂时非常好用复数运算的技巧(2)1i 的变形：(1i)22i，(1i)(1i)2，它们的应用也非常广泛，且很容易与 i 的周期性连用(3)注意 12 32 i 的一些变形：31,120，2等的应用对共轭复数及性质的理解(1)共轭复数的注意事项实数 a 的共轭复数仍是 a 本身，即 zC，z zzR，这是判断一个数是否是实数的一个准则共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应注意它的几何特征：在复平面内对应的点关于实轴对称；代数特征：实部相等，虚部互为相反数(2)共轭复数性质的巧用在解题过程中，若能利用共轭复数的性质对问
5、题进行等价变形、化简，可使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果，一般地，共轭复数有如下性质：设 zabi，其共轭复数为 zabi(a，bR)，则|z|z|(因为|z|abi|a2b2，|z|abi|a2b2)；z z|z|2R(因为 z z(abi)(abi)a2b2|z|2)；z z2a 为实数；z z2bi(b0)为纯虚数；z 为实数z z；z 为纯虚数z z0 且 z0.对复数除法的理解复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，但复数的除法中分母为复数，一般不能直接约分化简计算复数的除法的一般做法是，由于两个共轭复数的积是一个实数，因此，两个复数相除，可以先把它
6、们的商写成分式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数)，再把结果化简即可也就是说abicdiabicdicdicdiacbdbcadic2d2acbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)【想一想】1.复数的乘法与多项式的乘法有何不同？提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并2z z与|z|2 和|z|2 有什么关系？提示：z z|z|2|z|2.复数代数形式的乘除法运算计算：(1)2 1i151i222；(2)1ii2i100；(3)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)；(4)1i71i 1i
7、71i 34i22i343i.思路探究本题主要考查复数的运算法则以及有关性质复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行乘方、开方，再进行乘、除，最后进行加、减自主解答(1)原式2 ii161i22 222(2i)2i11211 2ii112ii32ii22i.(2)原式1i1011i 1i1i1.(3)原式2(4i)(3i)(7i)(43i)2(123i4ii2)(284i21i3i2)2(117i)25(1i)4739i.(4)原 式 (1 i)23 1i1i (1 i)23 1i1i 834i1i21i34ii(2i)3i(2i)3(i)82i1ii881616i16i.(1)复数的乘
8、法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)(2)对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要记住其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速简捷出错少的效果比如下列计算结果，要记住：1ii；1i1ii；1i1ii；abii(bai)1计算下列各题：(1)1i(2 2i)5 11i41i1i7；(2)32 12i12 22i1 3i8.解：(1)1i(2 2i)5 11i41i1i7i(2)5(1i)22(1i)11
9、i2 2i716 2(1i)14i16 214(16 21)i.(2)32 12i12 22i1 3i8(i)12 32 12i121i12 32 i812 32 i121i2412 32 i12 32 i3312 32 i3 4(88 3i)188 3i78 3i.虚数单位i的幂的周期性及其应用(1)计算：2 3i12 3i 21i2017；(2)若复数 z1i1i，求 1zz2z2 017 的值思路探究将式子进行适当的化简、变形，使之出现 in 的(nZ)形式，然后再根据 in 的值的特点计算求解自主解答(1)原式i12 3i12 3i 21i2 1 00821ii 22i1 008 21
10、i2ii1 008 21i2 22 2 22i(2)1zz2z2 0171z2 0181z，而 z1i1i1i21i1i2i2 i，所以 1zz2z2 0171i2 0181i 1i21 0091i111 0091i 21i1i.要熟记in的取值的周期性，即i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nZ)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值2如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解2在本例(2)中若 z1i1i，求 1zz2z2 017 的值解：z1i1i1i21i1i2i2 i.1zz2z2 0171z2 0181z 1i2 0181i 1i2 0
11、181i 1i21 0091i111 0091i 21i1i.共轭复数的应用已知 zC，z为 z 的共轭复数，若 z z3i z13i，求 z.思路探究设 zabi(a，bR)表示 z利用复数相等的充要条件求出 a，b，即得 z.自主解答 设 zabi(a，bR)，则 zabi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即 a2b23b3ai13i，则有a2b23b13a3，解得a1b0或a1b3.所以 z1 或 z13i.1已知关于 z 和 z的方程，而复数 z 的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设 zabi(a，bR)，则 zabi，代入所给等式，利用复数相等
12、的充要条件，转化为方程(组)求解2共轭复数的常用性质：z z|z|2|z|2；z1z2 z1 z2，z1z2 z1 z2，z1z2 z1 z2，（z1z2）z1z2(z20)；若 zR，则 z z，反之亦成立；若 z 为纯虚数，则 z z0，反之亦成立3已知复数 z 的共轭复数为 z，且 z z3iz 1013i，求z.解：设 zxyi(x，yR)，则 zxyi，由已知，得(xyi)(xyi)3i(xyi)1013i，x2y23xi3y1013i10，x2y23y3xi13i，x2y23y1，3x3，x1，y0或y3.z1 或 z13i.1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化点击进入WORD链接谢谢观看！
