1、考纲解读 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2.了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率(重点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一.预测 2020 年将会考查：与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合；与面积有关的几何概型，常涉及线性规划、定积分等内容.题型为客观题，试题难度不大，属中、低档试题.基础知识过关 1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型01 长度(面积或体积)2几何概型的两个基本特点3几何概型的概率公式P(A).01构成事件A的区域长度面积或体积试验的全
2、部结果所构成的区域长度面积或体积1概念辨析(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()2小题热身(1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案 A答案 解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为 P(A)38，P(B)28，P(C)26，P(D)13，所以
3、 P(A)P(C)P(D)P(B)故选 A.解析(2)(2016全国卷)某公司的班车在 7：30,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34答案 B答案 解析 解法一：7：30 的班车小明显然是坐不到的当小明在 7：50 之后 8：00 之前到达，或者 8：20 之后 8：30 之前到达时，他等车的时间将不超过 10 分钟，故所求概率为10104012.故选 B.解法二：当小明到达车站的时刻超过 8：00，但又不到 8：20 时，等车时间将超过 10 分
4、钟，7：508：30 的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过 10 分钟，故等车时间不超过 10 分钟的概率为 1204012.故选 B.解析(3)如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 30角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在yOT 内的概率为_答案 16答案 解析 根据题图，因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的，所以 OA落在yOT 内的概率为 6036016.解析(4)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥 AA1BD 内的概率为_答案 16答案 解析 设事件 M 为“动点在三棱锥 AA1BD 内”，则 P(M)
5、V三棱锥AA1BDV长方体ABCDA1B1C1D113AA1SABDV长方体ABCDA1B1C1D113AA112S矩形ABCDAA1S矩形ABCD 16.解析 经典题型冲关 题型 一 与长度(角度)有关的几何概型1在区间0,2上随机地取一个数 x，则事件“1log12 x12 1”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14答案 A 答案 解析 不等式1log12 x12 1 可化为 log12 2log12 x12 log1212，即12x122，解得 0 x32，故由几何概型的概率公式得 P3202034.解析 2如图，在等腰直角三角形 ABC 中，过直角顶点 C 作射线 CM 交
6、AB于点 M，则使得 AM 小于 AC 的概率为_答案 34答案 解析 当 AMAC 时，ACM 为以 A 为顶点的等腰三角形，ACM18045267.5.当ACM67.5时，AMAC，所以 AM 小于 AC 的概率 PACM的度数ACB的度数67.590 34.解析 条件探究 1 把举例说明 1 的条件“1log12 x12 1”改为“使函数 ylog12 4x3有意义”，试求其概率解 由 log12(4x3)0 得 04x31，即 x34，1，由几何概型的概率公式，得 P1342018.答案 条件探究 2 把举例说明 1 的条件“1log 12 x12 1”改为“22x12 4”，试求其概
7、率解 由 22x12 4 得 1x122，即 x12，32，由几何概型的概率公式，得 P32122012.答案 1与长度有关的几何概型(1)如果试验结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型求解2与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段 1已知函数 f(x)x33x2，在区间(2
8、,5)上任取一个实数 x0，则f(x0)0 的概率为_解析 因为 f(x)3x26x3x(x2)，所以由 f(x0)0，解得 0 x02.由几何概型的概率计算公式得f(x0)0 的概率 P205227.答案 27答案 解析 2如图，四边形 ABCD 为矩形，AB 3，BC1，以 A 为圆心，1 为半径作四分之一个圆弧DE，在DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC有公共点的概率为 .答案 13答案 解析 因为在DAB 内任作射线 AP，则等可能基本事件为“DAB 内作射线 AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域是DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在CA
9、B 内，区域为CAB，所以射线 AP与线段 BC 有公共点的概率为CABDAB309013.解析 题型 二 与面积有关的几何概型角度 1 与随机模拟相关的几何概型1(2016全国卷)从区间0,1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为()A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn答案 C答案 解析 如图，数对(xi，yi)(i1,2，n)表示的点落在边长为 1 的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于 1 的数对表示的点
10、落在半径为 1 的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得mn14124mn.故选C.解析 角度 2 与平面图形面积有关的问题2(2018全国卷)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边BC，直角边 AB，AC.ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1，p2，p3，则()Ap1p2Bp1p3Cp2p3Dp1p2p3解析 不妨取 ABAC2，则 BC2 2，所以区域的面积为 SABC2；区域的面积为 2；区域的面积为(2)2，所以根据几何概
11、型的概率公式，易得 p1p2，故选 A.答案 A答案 解析 角度 3 与线性规划有关的几何概型3在区间0,1上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是()A.1225B.1625C.1725D.1825答案 C答案 解析 设这两个数分别是 x，y，则总的基本事件构成的区域是0 x1，0y1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是解析 0 x1，0y1，xy65确定的平面区域，如图所示(阴影部分)，阴影部分的面积是 1124521725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.解析 角度 4 与定积分有关的几何概型4(2015福建高考)如图，点 A 的坐标为(1,0)，点 C 的坐
12、标为(2,4)，函数 f(x)x2.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_答案 512答案 解析 由题图可知 S 阴影S 矩形 ABCD12x2dx14x332148313 53，则所求事件的概率 PS阴影S矩形ABCD534 512.解析 1与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率见举例说明 1、2.2与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率见举例说明 3.3与定积分交汇问题的解题思路先确
13、定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率见举例说明 4.1(2017全国卷)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14 B.8C.12D.4答案 B答案 解析 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，S 正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S 黑S白12S 圆2，所以由几何概型知所求概率 P S黑S正方形248.故选 B.解析 2(2018枣庄二模)七巧板是
14、我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()答案 A.316B.38C.14D.18答案 C答案 解析 把图中阴影正方形分割后，移成如图所示，观察图形可知此点取自阴影部分的概率是14.解析 3如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0，1)，B(，1)，C(，1)，D(0,1)，正弦曲线 f(x)sinx 和余弦曲线 g(x)cosx 在矩形 ABCD内交于点 F，向矩形 ABCD 区域内随机
15、投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是()A.1 2B.1 22C.1D.12答案 B答案 解析 由题图可知矩形 ABCD 的面积为 2，由 sinxcosx 得 xF4，故阴影部分的面积为 所以点落在阴影区域内的概率 P1 22.解析 4已知向量 a(2,1)，b(x，y)若 x1,2，y1,1，求向量 a，b 的夹角是钝角的概率解 设“a，b 的夹角是钝角”为事件 B，由 a，b 的夹角是钝角，可得ab0，即 2xy0，且 x2y.基本事件为x，y1x2，1y1所表示的区域，Bx，y1x2，1y1，2xy0，x2y，答案 如图，区域 B 为图中阴影部分去掉直线 x2y0 上的点，所以，P(
16、B)121232 23213，即向量 a，b 的夹角是钝角的概率是13.解析 题型 三 与体积有关的几何概型某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为()A.913B.113C.9 13169D.13169答案 C答案 解析 由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为3 2的等腰直角三角形，高为 4，所以该三棱锥的体积为 12，又外接球的直径 2r 为以三棱锥的三个两 两垂直的棱为长方体的对角 线，即 2r423 223 222 13，所以球的体积为52 133，所以点落在四面体内的概率为1252 1339 13169.解析 与体积有关的几
17、何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P(A)构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.求解的关键是计算事件的总体积以及事件 A 的体积.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥 MABCD 的体积小于16的概率为_答案 12答案 解析 过 M 作平面 RS平面 AC，则两平面间的距离是四棱锥 MABCD的高，显然 M 在平面 RS 上任意位置时，四棱锥 MABCD 的体积都相等若此时四棱锥 MABCD 的体积等于16.只要 M 在截面以下即可小于16，当 VMABCD16时，即1311h16，解得 h12，即点 M 到底面 ABCD 的距离，所以所求概率 P111211112.解析
