1、课后素养落实(四十二)离散型随机变量的方差(建议用时：40 分钟)一、选择题 1若 X 是一个随机变量，则 E(XEX)的值为()A无法求 B0 CEX D2EX B EX 是一个常数，E(XEX)EXEX0 2已知随机变量 X 的分布列是 X123 P0.40.20.4 则 DX 等于()A0 B0.8 C2 D1 B EX10.420.230.42，DX0.4(12)20.2(22)20.4(32)20.8 3若随机变量 X 的分布列为 X01 Ppq 其中 p(0，1)，则()AEXp，DXp3BEXp，DXp2 CEXq，DXq2DEX1p，DXpp2 D 由于 pq1，所以 q1p从
2、而 EX0p1qq1p，DX0(1p)2p1(1p)2q(1p)2pp2(1p)pp2 4甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和 的分布列如下：012 P610110310 012 P510310210 甲、乙两名工人的技术水平较好的为()A一样好 B甲 C乙 D无法比较 C 工人甲生产出次品数 的期望和方差分别为：E0 6101 1102 3100.7，D(00.7)2 610(10.7)2 110(20.7)2 3100.81 工人乙生产出次品数 的期望和方差分别为：E0 5101 3102 2100.7，D(00.7)2 510(10.7)2 31
3、0(20.7)2 2100.61 由 EE 知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但 DD，可见乙的技术比较稳定 5若随机变量 的分布列为 P(m)13，P(n)a，若 E2，则 D 的最小值等于()A0 B2 C4 D无法计算 A 在分布列中概率的和为 1，则 a131，a23 E2，m32n3 2m62n D13(m2)223(n2)223(n2)213(62n2)22n28n82(n2)2 n2 时，D 取最小值 0 二、填空题 6随机变量 的分布列如下：101 Pabc 其中 ac2b，若 E13，则 D_ 59 由题意得 2bac，abc1，ca13，以上三式联立解得 a16，b
4、13，c12，故 D59 7若 X 的分布列为 X1234 P14141414 则 D14X 等于_ 564 EX11421431441452，DX1522142522143522144522 1454，D14X 142DX 564 8袋中有大小相同的三个球，编号分别为 1，2，3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用 X 表示所有被取到的球的编号之和，则 X 的方差为_ 179 X 的分布列为 X135 P131216 则 E11331251683，D179 三、解答题 9已知随机变量 X 的分布列为 X0123 P0.20.3a0.2 求 EX，DX，D(2X3)解
5、0.20.3a0.21，a0.3 EX00.210.320.330.21.5 DX(01.5)20.2(11.5)20.3(21.5)20.3(31.5)20.21.05 D(2X3)4DX4.2 10海关大楼顶端镶有 A，B 两面大钟，它们的日走时误差分别为 X1，X2(单位：s)，其分布列为：X121012 P0.050.050.80.050.05 X221012 P0.10.20.40.20.1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量 解 EX10，EX20，EX1EX2 又DX1(20)20.05(10)20.05020.8(10)20.05(20)20.050.5，
6、DX2(20)20.1(10)20.2020.4(10)20.2(20)20.11.2，DX1DX2 大钟 A 的质量较好 11已知随机变量 的分布列为 123 P0.5xy 若 E158，则 D()A5564 B5764 C5964 D1 A 由分布列性质，得 xy0.5 又 E158，得 2x3y118，可得x18，y38.D1158212215821831582385564 12编号为 1，2，3 的三位学生随意入座编号为 1，2，3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是 X，则()AEX1 DX1BEX2 DX1 CEX1 DX2DEX2 DX2 A X 的所
7、有可能取值为 0，1，3，X0 表示三位同学全坐错了，有 2 种情况，所以 P(X0)2A3313；X1 表示三位同学只有 1 位同学坐对了，所以 P(X1)C13A3312；X3 表示三位学生全坐对了，只有 1 种情况，所以 P(X3)1A3316 所以 X 的分布列为 X013 P131216 所以 EX0131123161，DX13(01)212(11)216(31)21 13(多选题)已知 X 的分布列如下表所示：X101 P121316 则下列式子中，正确的有()AEX13BDX59 CE(2X)23DD(2X)109 ABC 由均值与方差的定义知，EX(1)120131161216
8、13，DX12113213013211321659，所以 E(2X)2EX23，D(2X)4DX209 故 ABC 正确 14(一题两空)已知 A1，A2 为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量 X，则 EX_，DX_ 34 316 因为 X 的取值为 0，1，P(X0)121214，P(X1)11434，所以 EX01413434，DX 91614 11634 316 15从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为
9、12，13，14(1)记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 解(1)随机变量的所有可能取值为 0，1，2，3 P(X0)112 113 114 14，P(X1)12113 114 112 13114 112 113 141124，P(X2)112 131412113 141213114 14，P(X3)121314 124 所以，随机变量 X 的分布列为 X0123 P14112414124 随机变量 X 的数学期望 E(X)014111242143 1241312(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)1411241124141148 所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为1148
