1、课后素养落实(二十二)双曲线的几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()AB5CD2A由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2e25，e2某双曲线的一条渐近线方程为yx，且焦点为(0，)，则该双曲线的方程是()A1B1C1D1D因为双曲线的一条渐近线方程为yx，且焦点为(0，)，所以可设双曲线的方程为(0)，则9426，2，所以该双曲线方程为1故选D3如图，双曲线C：1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|P1F1|的值是()A3B4C6D8C设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，由
2、双曲线的对称性，知|P1F1|P2F2|，|P2F1|P1F1|P2F1|P2F2|2364若双曲线1的渐近线的方程为yx，则双曲线焦点F到渐近线的距离为()ABC2D2Aa3，b，m5，c，一个焦点的坐标为(，0)，到渐近线的距离d5(多选题)已知在等边三角形ABC中，D，E分别是CA，CB的中点，以A，B为焦点且过D，E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则下列关于e1，e2的关系式正确的是()Ae2e12Be2e12Ce1e22D2BCD设ABC的边长为2由题意，可求得椭圆的离心率e11，双曲线的离心率e21，所以e1e22，e1e22，e2e12，2故选BCD二、填空题6已知点(2
3、，3)在双曲线C：1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_2根据点(2，3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即1，考虑到焦距为4，可得到一个关于c的等式，2c4，即c2再加上a2b2c2，可以解出a1，b，c2，所以离心率e27与椭圆1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为_1椭圆的焦点是(0，4)，(0，4)，c4，e，双曲线的离心率等于2，2，a2b2422212双曲线的标准方程为18已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|_3因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以渐近线夹角
4、为60不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3三、解答题9已知双曲线的一条渐近线为xy0，且与椭圆x24y264有相同的焦距，求双曲线的标准方程解椭圆方程为1，椭圆的焦距为8当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)，解得双曲线的标准方程为1由可知，双曲线的标准方程为1或110已知P是以F1，F2为焦点的双曲线C：1(a0，b0)上的一点，且0
5、，|2|(1)求双曲线的离心率e；(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1，P2两点，若(O为坐标原点)，20，求双曲线的标准方程解(1)不妨设点P在第一象限|2|，|2a，|4a，|2a0，(4a)2(2a)2(2c)2，e(2)由(1)知双曲线的方程为1，则渐近线的方程为y2x不妨设P1(x1，2x1)，P2(x2，2x2)，P(x，y)，3x1x2，x1x220，点P在双曲线上，1，化简，得x1x2，a22，双曲线的标准方程为11(多选题)已知双曲线C：1(a0，b0)，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若MAN60，则有()A渐
6、近线方程为yxB离心率eC离心率eD渐近线方程为yxAC由已知，可令M，N所在的渐近线方程为yx，由MAN60，知MAN为等边三角形，则A(a，0)到渐近线yx的距离为b，所以b，即，故双曲线的离心率e由，可得，故渐近线方程为yx2设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|F1F2|，且cosPF1F2，则双曲线的渐近线方程为()A3x4y0B4x3y0C3x5y0D5x4y0B作F2QPF1于Q，因为|F1F2|PF2|，所以Q为PF1的中点，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a，所以|PF1|2a2c，故|F1Q|ac，因为cosPF1F
7、2，所以cosPF1F2，即，得3c5a，所以35a，得，故双曲线的渐近线方程为yx，即4x3y03已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与双曲线C交于M，N两点，与双曲线的渐近线交于P，Q两点若，记过第一、三象限的双曲线C的渐近线为l1，则l1的倾斜角的取值范围为_，离心率的取值范围为_(1，)如图，在双曲线C：1中，取xc，可得y，|MN|分别在双曲线的渐近线yx与yx上取xc，求得|PQ|由，得，即c22b2，a2b22b2，01，l1的倾斜角的取值范围为，e212，e的取值范围为(1，)4双曲线1(a1，b1)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和(0，b)，
8、且点(1，0)到直线l的距离与点(1，0)到直线l的距离之和sc，则双曲线的离心率e的取值范围为_直线l的方程为1，即bxayab0由点到直线的距离公式，且a1，b1，得到点(1，0)到直线l的距离d1，点(1，0)到直线l的距离d2，sd1d2由sc，得c，即5a2c2于是得52e2，即4e425e2250解不等式，得e25，由于e1，因此e的取值范围是e已知双曲线C的方程为1(a0，b0)，离心率e，顶点到渐近线的距离为(1)求双曲线C的方程；(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求AOB的面积的取值范围解(1)由题意，知双曲线C的顶点(0，a)到渐近线axby0的距离为，即，所以由得所以双曲线C的方程为x21(2)由(1)，知双曲线C的两条渐近线方程为y2x设A(m，2m)，B(n，2n)，m0，n0由，得点P的坐标为将点P的坐标代入x21，化简得mn令AOB2，则tan2，所以tan ，sin 2又|OA|m，|OB|n，所以SAOB|OA|OB|sin 22mn1记S()1，由对勾函数的单调性，可知S()在上是减函数，在(1，2上是增函数，且在1处取得最小值又S，S(2)，S(1)2当1时，AOB的面积取得最小值2，当时，AOB的面积取得最大值AOB面积的取值范围是