1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十六)一、选择题1.平面的一个法向量为n=(1,2,0),平面的一个法向量为m=(2,-1,0),则平面和平面的位置关系是()(A)平行 (B)相交但不垂直(C)垂直 (D)重合2.设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若,则k等于()(A)2 (B)-4 (C)4 (D)-23.若平面,垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是()(A)n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)(B)n1=(1,1,2),n2=(-2,1,
2、1)(C)n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)(D)n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)4.若直线l平面,直线l的方向向量为s,平面的法向量为n,则下列结论正确的是()(A)s=(1,0,1),n=(1,0,-1)(B)s=(1,1,1),n=(1,1,-2)(C)s=(2,1,1),n=(-4,-2,-2)(D)s=(1,3,1),n=(2,0,-1)5.直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l平面,则x的值为()(A)-2 (B)- (C) (D)6.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的
3、一个单位法向量是()(A)(,-) (B)(,-,)(C)(-,) (D)(-,-,-)7.已知非零向量a,b及平面,若向量a是平面的法向量,则ab=0是向量b所在直线平行于平面或在平面内的()(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件8.(能力挑战题)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()(A),-,4 (B),-,4(C),-2,4 (D)4,-15二、填空题9.平面的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l平面,则直线l的单位方向向量s=.10.若A(0,2,),B(1
4、,-1,),C(-2,1,)是平面内的三点,设平面的法向量a=(x,y,z),则x:y:z=.11.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为.12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE与BD的位置关系是.三、解答题13.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:(1)BC1AB1.(2)BC1平面CA1D.14.如图,四棱锥S-ABCD中,ABCD为矩形,SDAD,且SDAB,AD=a(a0),AB=2AD,SD=AD,E为CD上一
5、点,且CE=3DE.(1)求证:AE平面SBD.(2)M,N分别为线段SB,CD上的点,是否存在M,N,使MNCD且MNSB,若存在,确定M,N的位置;若不存在,说明理由.15.(能力挑战题)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30的角.求证:(1)CM平面PAD.(2)平面PAB平面PAD.答案解析1.【解析】选C.n=(1,2,0),m=(2,-1,0),mn=2-2+0=0,即mn,.2.【思路点拨】等价于其法向量平行.【解析】选C.,=,k=4.3.【解析】选
6、A.,n1n2,即n1n2=0,经验证可知,选项A正确.4.【解析】选C.直线l平面,直线l的方向向量s与平面的法向量n平行,即sn.经验证可知选项C正确.5.【解析】选D.l平面,sn,即sn=0.(-1,1,1)(2,x2+x,-x)=0,即-2+x2+x-x=0,x=.6.【思路点拨】若n为平面ABC的一个单位法向量,则|n|=1,且n=0,n=0,可采用验证法求解.【解析】选D.A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).经验证,当n=(-,-,-)时,n=-+0=0,n=+0-=0,故选D.7.【解析】选C.a,b是非零向量,且a是平
7、面的法向量,当ab=0时,向量b所在的直线平行于平面或在平面内,反之也成立.8.【解析】选B.,=3+5-2z=0,即z=4.又BP平面ABC,=x-1+5y+6=0,=3x-3+y-3z=0,由可得x=,y=-.9.【解析】n=(0,1,-1)是平面的一个法向量,且l,n=(0,1,-1)是直线l的一个方向向量,s=(0,-),即s=(0,-)或(0,-,).答案:(0,-)或(0,-,)10.【解析】=(1,-3,-),=(-2,-1,-),a=0,a=0,xyz=yy(-y)=23(-4).答案:23(-4)11.【解析】a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-
8、4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1).ac,m+4+m+2n-4+m-n+1=0,即3m+n+1=0.bc,2(m+2n-4)-(m-n+1)=0,即m+5n-9=0, 由得:m=-1,n=2.答案:-1,212.【思路点拨】建立空间直角坐标系,利用坐标法解决.【解析】以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,设正方体棱长为1,则C(1,1,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(,1),=(-,-,1),=(-1,1,0),显然=-+0=0,即CEBD.答案:垂直13.【证明】如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别
9、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AC=BC=BB1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)由于=(0,-2,-2),=(-2,2,-2),所以=0-4+4=0,因此,故BC1AB1.(2)取A1C的中点E,连结DE,由于E(1,0,1),所以=(0,1,1).又=(0,-2,-2),所以=-.又ED和BC1不共线,所以EDBC1.又DE平面CA1D,BC1平面CA1D,故BC1平面CA1D.14.【解析】(1)因为四棱锥S-ABCD中,ABCD为矩形,SDAD,且SDAB,所以SD
10、平面ABCD.BD就是SB在底面ABCD上的射影.因为AB=2AD,E为CD上一点,且CE=3DE.tanDAE=,tanDBA=,DAE=DBA,同理BDA=AED,DAE+BDA=90.AEBD,AESB.SBBD=B,AE平面SBD.(2)假设存在MN满足MNCD且MNSB.建立如图所示的空间直角坐标系,由题意可知,D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,2a,0),B(a,2a,0),S(0,0,a),设=+t=(a,2a,0)+t(-a,-2a,a)=(a-ta,2a-2ta,ta)(t0,1),即M(a-ta,2a-2ta,ta),N(0,y,0),y0,2a,=(a-ta,2
11、a-2ta-y,ta).使MNCD且MNSB,则可得t=0,1,y=a0,2a.故存在MN使MNCD且MNSB.15.【思路点拨】建立空间直角坐标系.(1)可证明与平面PAD的法向量垂直;也可将分解为平面PAD内的两个向量的线性组合,利用共面向量定理证明.(2)取AP中点E,利用向量证明BE平面PAD即可.【证明】由题意可知:以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角,PBC=30.PC=2,BC=2,PB=4.D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,
12、0,2),M(,0,),=(0,-1,2),=(2,3,0),=(,0,).(1)方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则即令y=2,得n=(-,2,1).n=-+20+1=0,n.又CM平面PAD,CM平面PAD.方法二:=(0,1,-2),=(2,4,-2),假设平面PAD,则存在x0,y0使=x0+y0,则方程组的解为=-+.由共面向量定理知与,共面,故假设成立.又CM平面PAD,CM平面PAD.(2)取AP的中点E,连接BE,则E(,2,1),=(-,2,1).易知PB=AB,BEPA.又=(-,2,1)(2,3,0)=0,BEDA.又PADA=A,BE平面PAD.又BE平面PAB,平面PAB平面PAD.关闭Word文档返回原板块。
