1、云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接求得解.【详解】因为集合，所以=,故答案为C.【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2. 复数等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：考点：复数的运算点评：复数在考试中一般是必出的一道小题，放在较靠前的位置，属于简单题，要求学生必须得分因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握同时，也要熟记
2、一些常用公式：3. 已知双曲线，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程求得，由此求得双曲线的离心率.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.4. 展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由二项式的展开式的通项公式可求得选项.【详解】的展开式的通项公式为，所以的系数为.故选：C.【点睛】本题考查二项式展开式中特定项的系数，关键在于运用二项式展开式的通项公式，属于基础题.5. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D
3、. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据线面的位置关系和面面的位置关系依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，如图所示，此时，故A错误.对选项B，得到，此时，不一定垂直，故B错误.对选项C，因为，所以，故C 正确.对选项D，如图所示：，得到，此时，不平行，故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查线面的位置关系和面面的位置关系，属于简单题.6. 函数的图象大致是（ ）A. B. C D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和函数值的符号确定正确选项.【详解】函数的定义域为，且满足，所以是奇函数，由此排除BC选项.当时，由此排除A选项.所以D选项符合.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图
4、象的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.7. 已知平行四边形中，为坐标原点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由平行四边形对边平行且相等，可得B点坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】平行四边形中, 设B点坐标，所以故选：B【点睛】本题考查平面向量相等和数量积等知识，属于基础题.8. 已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得圆心和半径，利用两点间距离公式和勾股定理求得最短弦长.【详解】圆的圆心为，半径为由于，所以在圆内.在所有过点的弦中，最短的弦是垂直于的弦，所以最短弦长为.故选：B【点睛】本小题主
5、要考查圆的弦长有关计算，属于基础题.9. 法国学者贝特朗于年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：在半径为的圆内随机地取一条弦，问：弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案现给出其中一种解释：固定弦的一个端点，另一端点在圆周上随机选取，其答案为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】判断出弦的另一个端点的轨迹，由此求得所求的概率.【详解】依题意可知，所以当弦的另一个端点在劣弧上运动时，可使弦的长度超过，根据圆和等边三角形的性质可知，劣弧占整个圆周长的三分之一，故所求的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型
6、概率计算，属于基础题.10. 如图，边长为1的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图已知该装饰品由木质毛坯切削得到，则所用毛坯可以是（ ）A. 棱长都为2的四面体B. 棱长都为2的直三棱柱C. 底面直径和高都为2的圆锥D. 底面直径和高都为2的圆柱【答案】D【解析】【分析】首先根据三视图得到该几何体是半径为的球体，再依次判断选项中几何体的内切球半径是否大于1，即可得到答案.【详解】由三视图可知：该几何体是半径为的球体.对选项A，设该四面体为，如图所示：是的中点，连接，则.设为的中心，则在上，连接，则，设四面体的内切球半径为，内切球球心为，已知在上，连接，由，所以即，故A不正确.对选项B，
7、设直三棱柱的底面为，为的中点，为的中心，连接，则在上，如图所示：因为内切圆的半径为，故B不正确.对选项C，如图所示：其内切圆半径显然小于，故C不正确；对选项D，如图所示：显然其内切球半径为，故D正确.故选：D【点睛】本题主要考查几何体的内切球，同时考查了三视图，属于中档题.11. 设点M为抛物线C：的准线上一点（不同于准线与x轴的交点），过抛物线C的焦点F，且垂直于x轴的直线与C交于A、B两点，设MA、MF、MB的斜率分别为，则的值为 （ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】A【解析】【分析】先写出F,A,B点坐标，设，然后直接用坐标表示斜率即可得解.【详解】点M为抛物线C：的准线上一点（不
8、同于准线与x轴的交点），可设为.过抛物线C的焦点F，且垂直于x轴的直线与C交于A、B两点，不妨设.则.故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的几何意义及利用点坐标表示斜率，考查了学生的运算能力，属于中档题.12. 已知不等式对任意恒成立，则整数的最小值为( )A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】A【解析】【分析】引入函数，利用导数求得函数的最大值，从而得到的范围【详解】设，则，当时，递增，当时，递减，时，取得极大值也是最大值不等式对任意恒成立，则，其中最小的整数是2.故选：A.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是引入函数，用导数研究函数的单调性得最大值二、填空题：本题共4小题，每小
9、题5分，共20分13. 满足，三个数成等差数列的一组，的值分别为_【答案】，（满足即可）【解析】【分析】根据等差中项性质列方程，由此确定填写的数值.【详解】由于成等差数列，所以，所以填：（满足即可）.故答案为：（满足即可）【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，属于基础题.14. 若变量，满足则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最小值即可【详解】解：约束条件不等式组表示的平面区域如图所示，当直线过点时，取得最小值，由，可得时，在轴上截距最小，此时取得最小值故答案为：【点睛】本题主要考查了简单的线
10、性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题15. 已知函数，若对任意实数都有，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】判断出为的最小值，为的最大值，由此确定的最小值.【详解】依题意对任意实数都有，所以为的最小值，为的最大值，所以的最小值是的半周期，即.故答案为：【点睛】本小题主要考查三角函数的最小正周期、最值，属于基础题.16. 已知函数，若有两个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先根据题意得到函数与的图象有两个交点，画出函数的图象，再分类讨论的范围，结合图象即可得到答案.【详解】若有两个零点，等价于函数与图象有两个交点.，如图所示：，因为直线恒过，当时，两个函数图象只有一个交
11、点，不符合题意，舍去；当时，两个函数要有两个交点，则直线过时，斜率取得最小值，此时，故.当时，两个函数恒有两个交点.综上所述：或.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 在中，角，所对的边分别为，且满足（1）求；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，由此求得.（2）利用余弦定理求得，再根据三角形的面积公式，求得三角形的面积.【详解】（1）由正弦定理得：，所以，即， 因为，所以，又因为，故 （2）由余弦定理得，因为， 所以有，解得，
12、或（舍去） 所以的面积【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.18. 某校为了解“准高三”学生的数学成绩情况，从一次模拟考试中随机抽取了25名学生的数学成绩如下：78648810453828693901057792116816082741059110378881078271（1）完成这25名学生的数学成绩的茎叶图；数学成绩的茎叶图数学成绩（2）确定该样本的中位数和众数；（3）规定数学成绩不低于90分为“及格”从该样本“及格”的学生中任意抽出3名，设抽到成绩在区间的学生人数为，求的分布列和数学期望【答案】（1）茎叶图见解析；（2）中位数为86，众数为8
13、2；（3）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）根据题目所给数据填写好茎叶图.（2）由题目所给数据计算出中位数和众数.（3）利用超几何分布的分布列计算公式计算出的分布列和数学期望.【详解】（1）数学成绩的茎叶图如下：数学成绩的茎叶图（2）由数据可知，样本中位数为86，众数为82 （3）样本中及格人数为10人，其中成绩在区间的有4人，其余有6人，1，2，3，的分布列为：0123【点睛】本小题主要考查茎叶图，考查中位数和众数，考查超几何分布，属于中档题.19. 已知等比数列的前项和为 ， ，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设数列的公比
14、为，依题意，列出方程，解得即可；（2）设，由（1）知，即可得到数列为首项为6，公比为4的等比数列，再根据等比数列的求和公式计算可得；【详解】解：（1）设数列的公比为，因为，所以，故，又因为，即，解得，所以 （2）设，由（1）知，所以，故数列为首项为6，公比为4的等比数列， 所以，数列的前项和为【点睛】本题考查等比数列通项公式及求和公式的应用，属于基础题.20. 阳马和鳖臑（bi no）是九章算术商功里对两种锥体的称谓如图所示，取一个长方体，按图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵长方体 堑堵 堑堵再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，有一棱与底
15、面垂直的四棱锥，称为阳马（四棱锥），余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体（三棱锥），称为鳖臑 堑堵 阳马 鳖臑（1）在阳马（四棱锥）中，连接，若，证明：；（2）若，求鳖臑（三棱锥）中二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析】（1）连接，通过证明平面来证得.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接，因为四边形是矩形， ，所以矩形是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以 （2）如图，鳖臑（三棱锥）中的二面角，即为堑堵中的二面角，在堑堵中，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立
16、空间直角坐标系 则，于是，求得平面的一个法向量是，于是，求得平面的一个法向量是， 所以所以，鳖臑（三棱锥）中二面角的余弦值是【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，属于中档题.21. 已知椭圆，过原点O且斜率不为0的直线与椭圆C交于P，Q两点（1）若为椭圆C的一个焦点，求椭圆C的标准方程；（2）若经过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时直线OP的方程，若不能，说明理由【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）变形，根据的关系求解即可；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，根据韦达定理及向量的坐标运算，求得点坐标，代入椭圆方程
17、，即可求得的值，进而可得直线OP的方程.【详解】解：（1）由已知得，则，解得，所以椭圆C的标准方程为；（2）设，椭圆C的右焦点,当直线的斜率为0时，三点共线，不符合题意，所以可设直线的方程为，联立，可得，显然，则，若四边形为平行四边形，则，所以，因为在椭圆上，所以，即，解得，所以四边形能为平行四边行，此时，直线OP的方程为即.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，计算能力，属于中档题.22. 已知函数（）（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数，若是的唯一极值点，求【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间；（2）0【解析】【分析】（1）当时，先求得的定义域，
18、然后利用导数求得的单调区间.（2）求得的导函数，构造函数，求得其导函数，对分成等情况进行分类讨论，结合是的唯一极值点，求得的值.【详解】（1）由题意，得，定义域为，令，得当时，在上单调递增；当时，上单调递减综上，的单调递增区间为，单调递减区间 （2）由题意，得，由于是的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一，对任意的恒成立；情形二，对任意的恒成立设，且有，当时，则当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以对任意的恒成立，符合题意当时，则在上单调递增又，所以存在，使得当时，在上单调递增，所以，这与题意不符 当时，设，则；令，得所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增）当时，由于在上单调递减，则当时，在上单调递减；所以，这与题意不符）当时，由的单调性及，知，时，都有又在上单调递增，则存在，使得，所以当时，在上单调递减；所以，这与题意不符综上，得【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值点，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
