1、校训：厚德 博学 开拓 进取 学风：活学 善问 多思 力行 2019-2020学年度寒假测试(四) 高三数学(理)试题(2020年03月23日) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ( )A. B. C. D. 2.已知集合，则( )A. B. C. D. 3. 若复数的实部与虚部相等，则实数的值为( )A. B. C. D. 4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出为( )A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为 ，且，则 ( )A. B. C. D. 6. 已知、是两个单位向量，且夹角为，则( )A. B. C.
2、 D. 7. 若 8 件产品中包含 6 件一等品，在其中任取 2 件，则在已知取出的 2 件中有 1 件不 是一等品的条件下，另 1 件是一等品的概率为( )A. B. C. D. 8. 已知为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出/的是( )A. B. C. D. 9“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量. 2007 年至 2018 年，某企业连续 12 年累计研发投入达 4100 亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比. 这 12 年间的研发投入（单位：十亿元）用下图中的条形图表示，研发投入占营收比用下图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下
3、列结论错误的是( )A . 2012-2013 年研发投入占营收比增量相比 2017-2018 年增量大 B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加 C. 2015-2016 年研发投入增值最大 D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加10. 函数的部分图象大致是( )11. 已知为坐标原点，抛物线上一点到焦点的距离为 6，若点为抛物线准线上的动点，则的最小值为( )A. B. C. D. 12. 已知函数，若，且，则的取值范围是( )A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知函数的最小正周期为，则_，若，则_.14. 已知矩形，以为焦点，且过两点的双
4、曲线的离心率为 .15. 我国古代数学名著九章算术商功中阐述：“斜解立方，得两堑堵. 斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑. 阳马居二，鳖臑居一，不易之率也. 合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”若 称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为 1，对该几何体有如下描述： 四个侧面都是直角三角形； 最长的侧棱长为； 四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形； 外接球的表面积为.其中正确的描述为 .16.已知数列中，则 .三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：
5、共60分17.(本小题满分12分) 在中，.（1）若，求的面积；（2）若点在边上且，求的长.18. (本小题满分12分) 某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人 200 人，第二车间有工400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照 55,65)，65,75) ，75,85)，85,95进行分组）.（）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数； （）分别估计两个车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在的区
6、间中点的值作代表） （）从第一车间样本中生产时间小于 75min 的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间小于 65min 的工人人数为随机变量，求的分布列及数学期望.19. (本小题满分12分) 如图，等腰梯形中，, ,， 为中点,与交于点，将沿折起，使点到达点的位置（平面）.(1)证明: 平面平面；(2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.20. (本小题满分12分)如图所示，椭圆离心率为，、是椭圆的短轴端点，且到焦点的距离为，点在椭圆上运动，且点不与、重合，点满足，.（1）求椭圆的方程；（2）求四边形面积的最大值.21. (本小题满分12分) 已知，函数.（1）讨论函数的单调性；（2
7、）若是的极值点，且曲线在两点处的切线互相平行，这两条切线在轴上的截距分别为、，求的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系中，直线的倾斜角为且经过点. 以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点作射线交于点，点为射线上的点，满足，记点的轨迹为曲线.（1）求出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求的值.23. (本小题满分10分) 选修4-5 不等式选讲已知函数.(1)求不等式的解集；(2) 设函数的最小值为，当，
8、且时，求的取值范围.校训：厚德 博学 开拓 进取 学风：活学 善问 多思 力行 2019-2020学年度寒假测试(四)高三数学(理)参考答案及评分标准(2020年03月16日)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A【命题意图】本题考查诱导公式. 【试题解析】A .故选A. 2. D【命题意图】本题考查集合运算. 【试题解析】D .故选D. 3. A【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】A .故选A. 4. B【命题意图】本题考查程序框图.【试题解析】B可知. 故选B. 5.C【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识. 【试题解析】C.故选C. 6. A【命题意图
9、】本题主要考查平面向量.【试题解析】A 可知. 故选A.7. D【命题意图】本题考查条件概率的相关知识.【试题解析】D可知. 故选D.8. B【命题意图】本题主要考查空间直线与平面位置关系. 【试题解析】B可知. 故选B 9. D【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】D可知ABC正确.故选D. 10. B【命题意图】本题主要考查函数性质的相关知识. 【试题解析】B确定函数为偶函数，代入特殊值，可排除A，C，当.故选B. 11. C【命题意图】本题主要考查抛物线的相关知识. 【试题解析】C做O点关于准线的对称点M，则所求距离和的最小值为|AM|.故选C. 12. C【命题意图】本题主要考
10、查函数与导数的相关知识. 【试题解析】C 先确定，借助条件等式，用表示，得到关于的函数关系式，通过构造函数并求导确定该函数的单调性求出答案.故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分）13. 【试题解析】由周期公式得，由得所以，平方得14. 【试题解析】在焦点中，离心率15. 【试题解析】如图长宽高分别为4,2,2，易得正确.16. 【试题解析】由得，即，两边同时除以得由累加法得为等差数列所以三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. 【试题解析】解：（）由正弦定理得：，所以，所以，所以. （6分）（）设，则，则，所以 解得
11、： 所以. （12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识.【试题解析】（）由题意得，第一车间样本工人20人，其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有6人，第二车间样本工人40人，其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有人，故第一车间工人中有60人，第二车间工人中有300名工人中在75min内生产完成一件产品；（4分）（II）第一车间样本平均时间为（min）， 第二车间样本平均时间为（min），乙车间工人生产效率更高；（8分）（III）由题意得，第一车间样本生产时间小于75min的工人有6人，从中抽取3人，其中生产时间小于65mi
12、n的有2人，随机变量X服从超几何分布，X可取值为0，1，2，X的分布列为：X012P数学期望. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】（）证明：在中，在中，所以平面平面；（4分）（）在平面POB内作，. 直线PB与平面ABCE夹角为，又，O、Q两点重合，即，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，设平面PCE的一个法向量为，则，即，设，则，由题意得平面PAE的一个法向量，设二面角A-P-EC为，. 即二面角A-P-EC
13、为的余弦值为. （12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识.【试题解析】解：（），又，且，因此椭圆C的方程为. （4分）（）法一：设，直线： 直线：由，解得：，又，四边形的面积，当时，的最大值为. （12分）法二：设直线：，则直线：直线与椭圆C：的交点M的坐标为，则直线的斜率为，直线：由，解得N点的横坐标为，四边形的面积，当且仅当时，取得最大值. （12分）21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（）， 当时，在上恒成立，在上单调递减；当
14、时， 时，时，即在上单调递减，在单调递增； （4分）（）是的极值点， 由（1）可知， 设在处的切线方程为，在处的切线方程为若这两条切线互相平行，则,且，令，则，同理，. 【解法一】，设，在区间上单调递减，即的取值范围是. （12分）【解法二】，令，其中 函数在区间上单调递增， 的取值范围是. （12分）【解法三】，设，则，函数在区间上单调递增， ，的取值范围是. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】解：（）（为参数）设,即，即，所以. （5分）（）将的参数方程代入的直角坐标方程中，即,为方程的两个根，所以，所以. （10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】解：（1）当时，当时，当时，综上：的解集为.（5分）（II）法一：由（I）可知，即. 又且，则，设，同理：， ，即，当且仅当时，取得最大值. （10分）法二：由（I）可知，即，且，当且仅当时，取得最大值. （10分）法三：由（I）可知，即 ， 由柯西不等式可知 即 当且仅当，即时
