1、单元素养评价(二)(第二章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1方程x2y22axbyc0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为()A2，4，4 B2，4，4C2，4，4 D2，4，4【解析】选B.配方得(xa)2a2c，所以解得a2，b4，c4.2若直线xya0是圆x2y22y0的一条对称轴，则a的值为()A1 B1 C2 D2【解析】选B.圆x2y22y0化为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，因为直线xya0是圆x2y22y0的一条对称轴，所以01a0，即a1.3已知圆C：(x1)2(y1)21与直线kxy10相交于A，B两点，若CAB为等
2、边三角形，则k2的值为()A3 B4 C5 D6【解析】选A.圆C：(x1)2(y1)21的圆心为C(1，1)，半径为1，故|CB|CA|1，又CAB为等边三角形，所以点C到直线kxy10的距离为，即，解得k23.4点P与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A1B4C4D1【解析】选A.设圆上任一点为Q，PQ中点为M，根据中点坐标公式，得因为Q在圆x2y24上，所以xy4，即4，化为1.5过点的直线l被圆(x1)2y24所截得的弦长最短时，直线l的斜率为()A1 B1 C D【解析】选A.点在2y24圆内，要使得过点的直线l被圆2y24所截得的弦长最短，则该弦以为中点，与圆心和连线垂
3、直，而圆心和连线的斜率为1，所以所求直线斜率为1.6已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A作圆C的一条切线，切点为B，则()A2 B4 C6 D2【解析】选C.圆C标准方程为(x2)2(y1)24，圆心为C(2，1)，半径为r2，因此2a110，a1，即A(4，1)，6.7圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交C外切 D相离【解析】选B.化简圆M：x2(ya)2a2(a0)M(0，a)，r1aM到直线xy0的距离d2a2a2M(0，2)，r12，又N(1，1)，r21|M
4、N|r1r2|MN|r1r2|两圆相交8已知P是直线kx4y100(k0)上的动点，过点P作圆C：x2y22x4y40的两条切线，A，B是切点，C是圆心，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为()A B C2 D3【解析】选D.圆的标准方程为221，则圆心为C，半径为1，则直线与圆相离，如图：S四边形PACBSPACSPBC，而SPAC，SPBC，又，所以当取最小值时取最小值，即SPACSPBC取最小值，此时，CPl，四边形PACB面积的最小值为2，SPACSPBC，所以2，所以3，所以3，因为k0，所以k3.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的
5、得0分)9已知圆C1：(x1)2y21和圆C2：x2(yb)21，且2b2，则两圆的位置关系可能是()A内切 B相交C外切 D外离【解析】选BCD.由2b2，圆心距1，).所以两圆的位置关系可能是相交、外切和外离10若圆22r2上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1，则半径r的取值可以是()A4 B5 C D6【解析】选BC.易求圆心(3，5)，到直线4x3y20的距离d5，由已知得d1rd1，即4r0)与圆x2y21，圆(x4)2y21都相切，所以1，得k，b.方法二：因为直线ykxb(k0)与圆x2y21，圆(x4)2y21都相切，所以直线ykxb必过两圆心连线的中点，所以2kb0.
6、设直线ykxb的倾斜角为，则sin ，又k0，所以，所以ktan ，b2k.答案：四、解答题(共70分)17(10分)求与x轴相切，圆心C在直线3xy0上，且截直线xy0得的弦长为2的圆的方程【解析】因为圆心C在直线3xy0上，设圆心坐标为(a，3a)，圆心(a，3a)到直线xy0的距离为d.又圆与x轴相切，所以半径r3|a|，设圆的方程为(xa)2(y3a)29a2，设弦AB的中点为M，则|AM|.在RtAMC中，由勾股定理，得2()2(3|a|)2，解得a1，r29.故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29，或(x1)2(y3)29.18(12分)已知圆C：x2y22x4y30.(1)求圆
7、心C的坐标及半径r的大小；(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程【解析】(1)圆C的方程变形为(x1)2(y2)22，所以圆心C的坐标为，半径为.(2)因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，所以设直线l的方程为xya0(a0)，所以a1或a3，所以所求直线l的方程为xy10或xy30.19(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600上一点A.(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程【解析】(1)由圆
8、心N在直线x6上，可设N.因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，于是圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为221.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d，因为BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.20(12分)已知ABC的三个顶点A(1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆圆心为H.(1)求圆H的方程；(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；(3)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都
9、存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围【解析】(1)设圆H的方程为x2y2DxEyF0，则有解得则圆H的方程为x2y26y10.(2)由直线与圆位置关系得：半径，半弦长，圆心到直线距离构成勾股定理，即12d210，因此d3，又直线l过点C，故利用直线方程点斜式求解，注意先讨论斜率不存在的情况：若lx轴，直线方程为x3，满足题意；若l的斜率存在，设l的方程为yk(x3)2，圆心到直线的距离为d3，解得k，直线方程为4x3y60，综上，直线l的方程为x3或4x3y60.(3)结合图象(图略)由题意得：0CPr2r，即rCP3r恒成立，所以从而r.21(12分)已知
10、圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的点，且4，求Q点坐标【解析】(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(2，2)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy24.所以解得所以Q点的坐标为Q(1，1).22(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试求圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(xa)2(yb)28.因为直线yx与圆C相切于原点O，所以O点在圆C上，且OC垂直于直线yx，于是有解得或由于点C(a，b)在第二象限，故a0，所以圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解得x或x0(舍去).所以存在点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长
