1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义1理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系(重点)2理解复数模的概念，会求复数的模(难点)1复平面的定义如图所示，点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数zabi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做_，x轴叫做_，y轴叫做_显然实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复平面实轴虚轴2复数的几何意义复数 zabi(a，bR)与复平面内的点_，以及以原点为起点、点_为终点的OZ是一一对应的，如图所示：Z(a，b)Z(a，b)3复数的模复数 zabi(a，bR)对应的向
2、量为OZ，则OZ的模 r 叫做复数 z 的模，记作|z|或_，且 r a2b2(r0，且rR)|abi|1复数z12i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限解析：z12i在复平面内对应的点为(1，2)，它位于第三象限答案：C2若OZ(0，3)，则OZ对应的复数为()A0 B3C3i D3答案：C解析：由复数的几何意义可知OZ对应的复数为3i.3复数z13i的模等于_.解析：|z|13i|1232 10.答案：104复数 43i 与25i 分别表示向量OA 与OB，则向量AB表示的复数是_.解析：因为复数 43i 与25i 分别表示向量OA 与OB，
3、所以OA(4,3)，OB(2，5)，又ABOB OA(2，5)(4,3)(6，8)，所以向量AB表示的复数是68i.答案：68i(1)复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部(2)表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.复平面上的点的坐标与复数的关系每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应由此可知，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数zabi一一对应,复平面内的点Z(a，b)复数的几何意义设复平面内的点 Z
4、 表示复数 zabi，连结 OZ，显然向量是由点 Z 唯一确定；反过来，点 Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ唯一确定因此，复数集 C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数 0 与零向量对应)，即复数 zabi一一对应 平面向量OZ用点 Z(a，b)表示复数称为复数的几何形式，用向量OZ表示复数称为复数的向量形式为方便起见，我们常把复数 zabi 说成点 Z 或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数巧用复数的几何意义解题(1)复平面内|z|的意义我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|是表示实数 a 的点与原点 O 间的距离那么在复数集中，类似地，|z|是表示复
5、数 z 的点到坐标原点间的距离，也就是向量OZ的模，即|z|OZ|.(2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P、Q所对应的复数分别为z1、z2，则|PQ|z2z1|.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题【想一想】1.平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示：复数与向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点，若起点不是原点，则复数与向量就不能建立一一对应关系2复平面内|z|的意义是什么？3模相等的两个复数相等吗？提示：模相等的两个复数未必相等例如，|i|1|i|，但显然ii.提示：在复平面内，|z|表示复数 z 的点 Z 到原点的距离，也就是向量OZ的模实数m取什么值时
6、，复平面内表示复数z2m(4m2)i的点分别满足下列条件？(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限思路探究找出复数z的实部、虚部，结合(1)(2)的要求写出满足的条件复平面内的点同复数的对应关系自主解答 复数 z2m(4m2)i 对应复平面内的点 P，则点 P 坐标(2m,4m2)(1)若 P 在虚轴上，则2m0，4m20，即 m0.(2)若点 P 在第三象限，则2m0，4m20，解得 m2.当点 P 位于第三象限时，实数 m 的范围是(，2)1复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部对应着有序实数对的横坐标，而虚部则对应着有序实数对的纵
7、坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值2在复平面内确定复数对应点的步骤(1)由复数确定有序实数对，即zabi(a，bR)确定有序实数对(a，b)(2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)1在题设不变的情况下，求满足下列条件的实数m.(1)在实轴上；(2)在直线yx上解：(1)若点在实轴上，则 4m20，即 m2.(2)若点在直线 yx 上，则 4m22m，解得 m1 5.在复平面上，复数i,1,42i的对应的点分别是A，B，C求平行四边形ABCD的D点所对应的复数复数与复平面内向量的关系思路探究方法一：复数点的坐标中点坐标公式D
8、点坐标D 对应复数，方法二：复数向量向量运算OD D 对应复数方法三：复数向量向量相等D 点坐标D 点对应复数自主解答 方法一 由已知 A(0,1)，B(1,0)，C(4,2),则 AC 的中点 E(2，32)，由平行四边形的性质知 E 也是 BD 的中点，设 D(x，y)则x12 2，y02 32，x3，y3，即 D(3,3)，D 点对应复数为33i.方法二 由已知：OA(0,1)，OB(1,0)，OC(4,2)BA(1,1)，BC(3,2)，BD BABC(2,3)，OD OB BD(3,3)，即点 D 对应复数为 33i.方法三 设 D(x，y)，由BACD，(1,1)(x4，y2)，x
9、3，y3，即 D(3,3)，D 点对应复数为 33i.1根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量2解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化2已知平面直角坐标系中 O 是原点，向量OA，OB 对应的复数分别为 23i，32i，那么向量BA对应的复数是()A55i B55iC55i D55i解析：向量OA，OB 对应的复数分别为 23i，32i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA(2，
10、3)，OB(3,2)由向量减法的坐标运算可得向量BAOA OB(23，32)(5，5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA对应的复数是 55i.答案：B复数的模及其几何意义已知复数 z1 3i，z212 32 i，(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小(2)设复平面内，复数 z 满足|z2|z|z1|，复数 z 对应的点Z 的集合是什么？思路探究(1)利用复数模的定义来求解若 zabi(a，bR)，则|z|a2b2.(2)先确定|z|的范围，再确定点 Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形自主解答(1)|z1|32122.|z2|122 3221.21，|z1|z2|.(2)
11、由(1)知|z2|z|z1|，则1|z|2.因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环（包括边界，如图阴影部分所示）1两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小2复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解3|z1z2|表示复数z1，z2在复平面对应的点z1，z2间的距离，|z|r表示以原点为圆心，以r为半径的圆3如果将本题中|z2|z|z1|，改为|z2|z|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？解：|z2|z|z1|1|z|2，则复数z的轨迹为以原点O为圆心，1、2为半径的圆环且不包括边界1复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应2研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑点击进入WORD链接谢谢观看！
