1、四川省双流中学20222023学年第一学期期中考试高二数学 理科时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 空间直角坐标系中, 若点 A(-2,1,4) 关于点B(-2,0,0) 的对称点为C , 则点C 的坐标为( )A.(-2,-1,-4) B.(-4,-1,-4) C.(-6,1,4) D.-2, 12, 2 2. 已知直线 l1: a x+(a+2) y+1=0, l2: x+a y+2=0 , 若 l1 l2 , 则实数a 的值是( )A.0B.2 或-1C.0 或-3D.-3 3. 若椭
2、圆 x216+ y2 b2=1 过点(-2, 3) ,则其焦距为( )A.2 5 B.2 3 C.4 5 D.4 3 4. 已知直线 l 的方程为x+3 y-5=0 , 则l 的倾斜角是( )A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 5. 若圆 O1:( x-1)2+( y+2)2=9 , 圆 O2:( x+2)2+( y+1)2=16 ,则这两圆的位置关系是( )A.内含B.相交C.外切D.外离6.已知直线 l: x-y+1=0 和圆C:( x+1)2+( y+2)2=5 交于M, N 两点, 则|M N|= ( )A.2B.4C.2 3 D.2 5 7. 若 F1, F2 是椭圆
3、C: x29+ y24=1 的两个焦点, 点M 在C 上, 则M F1 M F2 的最大值为( )A.13B.12C.9D.68. 已知两点 A(1,-2), B(2,1) , 直线l 过点P(0,-1) 且与线段A B 有交点, 则直线l 的倾斜角的取值范围为( )A.0, 4 3 4, B.0, 4 2, 3 4 C.4, 2 2, 3 4 D.4, 3 4 9. 圆心在直线 2 x+y=0 上, 且与直线x+y-1=0 相切于点P(2,-1) 的圆的方程为( )A.( x-1)2+( y+2)2=2 B.( x-2)2+( y+1)2=2 C.( x+2)2+( y-1)2=2 D.(
4、x-1)2+( y+2)2=2 10.某学校有一间“六边形教室”.空间中, 教室的形状近似一个正六棱柱,设正六棱柱 A B C D E F-A1 B1 C1 D1 E1 F1 中, 所有棱长均相等,M 、 N 分别是四边形 E F F1 E1, D E E1 D1 的中心, 设M N 与 A1 B1 所成的角为, D1 B 与 A1 B1 所成的角为 , 则+= ( )A. 120 B. 90 C. 75 D. 60 11. 若直线 m x+n y=4 与圆 x2+ y2=4 没有交点, 则过点P(m, n) 的直线与椭圆 x29+ y24=1 的交点的个数为( )A.0 或 1B.2C.1D
5、.0 或 1 或 212. 已知正方体 A B C D-A1 B1 C1 D1 的棱长为1, M, N 为线段 B C, C C1 上的动点, 过点 A1 ,M, N 的平面截该正方体的截面记为S , 则下列命题正确的个数是( ) 当 B M=0 且0C Nb0) 的一个焦点为(-1,0) .(1) 求椭圆 C 的方程;(2) 若斜率为 1 的直线 l 交椭圆C 于A, B 两点, 且|A B|=4 23 , 求直线l 的方程.21. （本题满分12分）如图, 在四棱锥 P-A B C D 中, 底面A B C D 为平行四边形,P C D 为等边三角形, 平 面P A C 平面P C D,
6、P A C D, C D=2, A D=3 ,(1) 设 G, H 分别为P B, A C 的中点, 求证:G H / / 平面P A D ;(2) 求证: P A 平面P C D ;(3) 求直线 A D 与平面P A C 所成角的正弦值.22. （本题满分12分）已知椭圆 E: x2 a2+ y2 b2=1(ab0) 的左, 右焦点分别为 F1, F2 , 且 F1, F2 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点, 点P22, 32 在E 上.(1) 求 E 的方程;(2) 过点 F2 作直线交E 于A, B 两点, 求 F1 A B 面积的最大值.参考答案及解析一、选择题(本题共12小题
7、，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 【答案】A 【解析】在空间直角坐标系中,点 A(-2,1,4) 关于点B(-2,0,0) 的对称点为 B , 则点 B 坐标为(-2,-1,-4) .故选: A 。2. 【答案】C 【解析】 直线 l1: a x+(a+2) y+1=0, l2 :x+a y+2=0 , 且 l1 l2 ,a+a(a+2)=0 , 解得a=0 或a=-3 。故选: C。3. 【答案】D 【解析】把点 (-2, 3) 代入 x216+ y2 b2=1 中, 得416+3 b2=1 整理, 得 b2=4 所以 c2= a2- b2=12
8、 , 即c=2 3 , 所以焦距为2 c=4 3 .故选 D 。4. 【答案】D 【解析】15. 【答案】B 【解析】根据题意, 圆 O1:( x-1)2+( y+2)2=9 , 圆心 O1(1,-2) , 半径R=3 ,圆 O2:( x+2)2+( y+1)2=16 , 圆心 O2(-2,-1) , 半径r=4 ,圆心距 O1 O2=10 , 有4-3104+3 则两圆相交;故选: B。6. 【答案】C 【解析】圆心 (-1,-2) 到直线的距离d=|-1+2+1|1+1=2 ,则直线与圆相交的弦长为 |M N|=2 5-2=2 3 故选:C。7. 【答案】C 【解析】 F1, F2 是椭圆
9、C: x29+ y24=1 的两个焦点，点M 在C 上,M F1+M F2=6 ,所以 M F1 M F2 M F1+M F222=9 , 当且仅当M F1=M F2=3 时, 取等号, 所以M F1 M F2 的最大值为 9 . 故选: C。8. 【答案】A【解析】直线 P A 的斜率为 kP A=-2+11-0=-1,直线P B的斜率为 kP B=1+12-0=1.由图形可知, 当直线l 与线段A B有交点时,直线l的斜率k -1,1 .因此,直线l的倾斜角的取值范围是0, 4 3 4, .故选A。9. 【答案】D 【解析】过点 P(2,-1)且与直线y=-x+1垂直的直线为x-y-3=0
10、 由y=-2 x x-y-3=0 x=1 y=-2，即圆心C(1,-2) , 半径r=|C P|=2 , 所求圆的方程为( x-1)2+( y+2)2=2.故选: D。10. 【答案】A 【解析】如图, 由图形特点可得A B | D1 E1 ,因为M 、 N 分别是四边形 E F F1 E1 , D E E1 D1 的中心, 即分别为 F E1, D E1 的中点,过点M 、 N 分别作 F E1, D E1 的垂线,故M N 与 A1 B1 所成的角就是P Q 与 D1 E1 所成的角, 即P Q E1 ,因为P E1 Q=120 ,Q P E1=P Q E1= 30, =3 0 , D1
11、B 与 A1 B1 所成的角为 E1 D1 B 或其补，设六棱柱棱长为 2 , 可求得 B E1=2 5 , B D1=2 5, D1 E1=2 ,即 B E12= B D12+ D1 E12 ,所以 E1 D1 B=90 ， 即=9 0 ，所以+=1 20 ,故选: A。11. 【答案】B【解析】 m2+ n20 ,因为经过A(-2,0), B(2,0), C(1, 3) 三点,所以( -2)2-2D+F=0 22+2 D+F=0 12+32+D+3 E+F=0 ， 解得D=0 E=0 F=-4 ,所以圆的一般方程为 x2+ y2-4=0, ABC 外接圆圆O 的方程为: x2+ y2=4
12、;(2)设 M(x, y), P xP, yP , 则D xP, 0 ,M 为线段P D 的中点, 即 xP= x, yP=2 y ,又点P 在圆 O: x2+ y2=4 上, x2+( 2 y)2=4 , 即 x24 +y2=1 ,故点M 的轨迹方程为 x24 +y2=1 .18. 【答案】(1) an= a1+(n-1) d=3 n b n=3 n+2n-1 ； （2） Sn=32 n(n+1) +2n-1 【解析】(1) 设等差数列 an 的公差为d , 由题意得d= a4- a13=12-33=3 . an= a1+(n-1) d=3 n ,设等比数列bn-an 的公比为q , 则 q
13、3= b4- a4 b1- a1=20-124-3=8, q=2 , bn- an= b1- a1 qn-1= 2n-1, b n=3 n+2n-1 (2) 由(1) 知 bn= 3 n+2n-1 ,数列3 n的前n项和为32 n(n+1),数列2 n-1的前n项和为1 1-2n1-2 =2n-1,数列bn 的前n 项和为; Sn=32 n(n+1) +2n-1 19. 【答案】(1)55 ; (2)211 【解析】(1) 方法一: 由余弦定理得 b2= a2+ c2-2 a c cosB=9+2-2 3 2 22=5,所以b=5.由正弦定理得csinC=bsinB sinC=c sinBb=
14、55 .由正弦定理得csinC=bsinB sinC=c sinBb=55 方法二几何法:过点 A 作AE BC , 垂足为E . 在RtABE中, 由c=2, B=45, 可得AE=BE=1,又a=3,所以E C=2.在 RtACE 中,A C= A E2+ E C2=5 , 因此sinC=15=55 .(2) 方法一: 两角和的正弦公式法由于 cosADC=-45, ADC 2, , 所以sinADC=1- cos2 ADC=35 ，由于ADC 2, , 所以C 0, 2 , 所以cosC=1- sin2 C=2 55 所以sinDAC=sin(-DAC)=sin(ADC+C) ，=sin
15、ADC cosC+cosA D C sinC=35 2 55+-45 55=2 525，由于DAC0, 2,所以cosDAC=1- sin2 DAC=11 525 所以tanDAC=sinDACcosDAC=211 .方法二【最优解】: 几何法+两角差的正切公式法在 (1) 的方法二的图中, 由 cosADC=-45 , 可得cosADE=cos(-ADC)=-cosADC=45 , 从而sinDAE=cosADE=45, tanDAE=sinDAEcosDAE=43 . 又由 (1) 可得tanEAC=ECAE=2 , 所以tanDAC=tan(EAC-EAD)=tanEAC-tanEAD1
16、+tanEAC tanEAD=211 ,方法三:几何法+正弦定理法在 (1) 的方法二中可得AE=1, CE=2, AC=5 .在RtADE中,AD=A EsinA D E=5, ED=A D cosADE=43 , 所以CD=CE-DE=23 .在ACD中, 由正弦定理可得sinDAC=CDAD sinC=2 525 , 由此可得tanDAC=211 .方法四: 构造直角三角形法如图, 作 AE BC , 垂足为E , 作DG AC , 垂足为点G .在(1)的方法二中可得AE=1, CE=2, AC=5 ,由cosADC=-45 , 可得cosADE=45, sinADE=1- cos2
17、ADE=35 ,在RtADE中,AD=AEsinADE=53, DE= AD2- AE2=43, CD=CE-DE=23 ,由(1)知sinC=55 , 所以在RtCDG中,DG=CD sinC=2 515, CG= CD2- DG2=4 515 , 从而AG=AC-CG=11515 ,在RtADG 中,tanDAG=DGAG=211 . 所以tanDAC=211 .20. 【答案】(1) x22 +y2=1 ；(2)y=x+1 或y=x-1 . 【解析】(1)由题意, c=1, a=2 ,b= a2- c2=1 , 椭圆C 的方程为 x22 +y2=1 .(2) 设直线 l 的方程为y=x+
18、m , 点A x1, y1, B x2, y2 联立方程组 x22 +y2=1 y=x+m ,化简, 得 3 x2+ 4 m x+2 m2-2=0,=1 6 m2-12 2 m2-2 =-8 m2+240 , 即 -3m3 ， 且 x1+ x2=-4 m3 , x1 x2= 2 m2-23 |A B|= 1+k2 x2- x1=2 x2+ x12- 4 x1 x2=2 -8 m2+249=4 23 ,解得m=1 , 符合题意, 直线l 的方程为y=x+1 或y=x-1 .21. 【答案】（1）见解析；（2)见解析；（3） 33 【解析】(1) 证明: 连接B D,易知A C B D=H, B
19、H=D H,又由B G=P G,故G H | P D,又因为, P D 平面PAD,所以GH /平面P A .(II) 证明: 取棱P C的中点N,连接D N,依题意,得DNPC,又因为平面PAC平面P C D,平面PAC平面PCD=PC,所以D N平面PAC,又P A 平面P A C,故D N P A,又已知PACD, CDDN=D所以PA平面PCD.(III) 解: 连接A N,由(II)中DN平面PAC,可知D A N 为直线A D与平面PA C所成的角 因为P C D为等边三角形,C D=2且N为P C的中点,所以D N=3,又D N A N,在RtA N D 中,sinD A N=D
20、 NA D=33 ,所以, 直线A D 与平面P A C 所成角的正弦值为33 22. 【答案】（1） x22 +y2=1 ;；（2） S F1 A B=0 . 【解析】（1）因为点 P22, 32 在E 上, 所以2 4 a2+3 4 b2=1 , 又 a2= b2+ c2 ,解得 a2= 2, b2=1 ,所以E 的方程为 x22 +y2=1 ;（2）若 A B 垂直于x 轴, 则 S F1 A B=12 2 c 2 b2a=2 若A B 不垂直于x 轴, 由 (1) 知 F2(1,0) , 则设A B 的方程为y=k(x-1) ,代入E 的方程得: 1+2 k2 x2- 4 k2 x+2 k2-1=0 ,设A x1, y1, B x2, y2 , 所以 x1+ x2= 4 k2 1+2 k2 , x1 x2=2 k2-1 1+2 k2 , 则有KA B|= 1+k2 x1- x2= 1+k2 x1+ x22- 4 x1 x2 = 1+k2 4 k2 1+2 k2-4 2 k2-1 1+2 k2=2 2 1+k2 1+2 k2 ，而点 F1 到直线A B 的距离为 d F1-A B=2|k| 1+k2 ， S F1 A B=12|A B| d F1-A B=2 2|k| 1+k2 1+2 k2, 显然, 若k=0 , 则 S F1 A B=0 .
