1、高考资源网（） 您身边的高考专家第三节圆 的 方 程1掌握确定圆的几何要素2掌握圆的标准方程与一般方程1圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C的坐标(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三个结论圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外；(x0a)2(y0b)20时，上述方程才表示圆；当D2E24F0时，方程表示一个点；当D2
2、E24F0时，方程不表示任何图形1(教材习题改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标是() A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析：选D圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)2将圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30解析：选C将圆x2y22x4y10平分的直线必定过圆心，而圆x2y22x4y10的圆心坐标为(1,2)，且(1,2)在直线xy10上3若点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，则a的取值范围是()A1a1 B0a1C1a Da1解析：选A点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，(2a)2a2
3、5，解得1a0.解得2a0)，则解得D4，E2，F5.所求圆的方程为x2y24x2y50.(2)由已知可设圆心为(2，b)，由22b2(1b)2r2，得b，r2.故圆C的方程为(x2)22.答案(1)x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)(2)(x2)22【互动探究】本例(2)中“与直线y1相切”改为“圆心在y1上”，结果如何？解：圆过点O(0,0)和点(4,0)圆心在直线x2上，又圆心在y1上，圆心的坐标为(2,1)，半径r.因此，圆的方程为(x2)2(y1)25. 【方法规律】求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数
4、法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值求下列圆的方程：(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)解：(1)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：过切点且与xy10垂直的直线为y2x3.与y4x联立可得圆心为(1，4)，所以半径r2.故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)法一：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)则解得D2，
5、E4，F95，所以所求圆的方程为x2y22x4y950.法二：由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，kAB，则AB的中垂线方程为3xy10.同理得AC的中垂线方程为xy30.联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r10，所以所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.考点二与圆有关的轨迹问题 例2(2013新课标全国卷)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.自主解答由已知得圆M的圆心为M(1
6、,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q
7、(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1，x2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2或|AB|.【方法规律】求与圆有关的轨迹方程的方法已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解：(1)法一：设顶点C(x，y)，因为ACBC，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，即x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)法二：设AB的中点为D，由中点
8、坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x(x3且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3且x1)上运动，将x02x3，y02y代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21(x3且x1)因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(x3且x1).高频考点考点三
9、 与圆有关的最值问题1与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题2高考中主要有以下几个命题角度：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题；(2)与圆上的点(x，y)有关的代数式的最值问题例如，形如u型；形如taxby型；形如(xa)2(yb)2型例3(1)(2013重庆高考)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.(2)(2013山东高考)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_自主
10、解答(1)圆C1，C2的图象如图所示设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，连接C1C2，与x轴交于点P，连接PC1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|PC2|的最小值为|C1C2|，则|PM|PN|的最小值为54.(2)设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为22.答案(1)A(2)2与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几
11、何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值解：(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又|QC|4.所以|MQ|max426，
12、|MQ|min422.(2)可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有交点，所以2.可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.课堂归纳通法领悟1种方法待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值3个性质常用到的圆的三个性质在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算(1)
13、圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任意一弦的垂直平分线上；(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 前沿热点(十三)高考中与圆有关的交汇问题1圆的定义及其标准方程，与圆有关的轨迹问题，点与圆的关系、点与圆的距离，在高考中常常将它们综合在一起命制试题2求圆的方程往往需要三个独立的条件即可求出，求与圆有关的轨迹方程经常考虑直接法、定义法、相关点法等涉及点与圆的距离问题，经常转化为点与圆心的距离问题等典例(2013新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若点P到直线yx的距离为，求圆P的方程解题指导(1
14、)利用圆在两坐标轴上截得的线段的长，分别得出半径的表达式，利用半径相等即可求得方程；(2)依据(1)及点P到直线yx的距离可求出点P的坐标，进而求得半径，得出圆的方程解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2.从而y22x23.故点P的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得.又点P在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.名师点评解决本题的关键有以下两点：(1)注意圆心与弦的中点的连线与弦垂直；(2)注意点P满足两个条件：一是点P在曲线x2y21上；二是点P到直线yx的
15、距离为.(2013福建高考)如图，抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圆C的半径解：(1)抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，所以点C到准线l的距离d2.又|CO|，所以|MN|222.(2)设C，则圆C的方程为2(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10，设M(1，y1)，N(1，y2)，则由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以14，解
16、得y0，此时0.所以圆心C的坐标为或，从而|CO|2，|CO|，即圆C的半径为.全盘巩固1若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为()A1 B1 C3 D3解析：选B因为圆x2y22x4y0的圆心为(1,2)，所以3(1)2a0，解得a1.2(2014昆明模拟)方程|x|1所表示的曲线是()A一个圆 B两个圆C半个圆 D两个半圆解析：选D由题意得即或故原方程表示两个半圆3已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A B4 C8 D9解析：选B设P(x，y)，由题意知有，(x2)2y24(x1)2y2，整理得x2
17、4xy20，配方得(x2)2y24.可知圆的面积为4.4圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21解析：选A设圆心坐标为(0，b)则圆的方程为x2(yb)21.又因为该圆过点(1,2)，所以圆的方程为12(2b)21，解得b2.即圆的方程为x2(y2)21.5实数x，y满足x2(y4)24，则(x1)2(y1)2的最大值为()A302 B304C302 D304解析：选B(x1)2(y1)2表示圆x2(y4)24上动点(x，y)到点(1,1)距离d的平方，因为2d2，所以最大值为(2)2304.6(20
18、14杭州模拟)已知圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则ab的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A将圆的方程配方得(x1)2(y2)24，若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上，代入整理得ab1，故aba(1a)2.7(2014南京调研)已知直线l：xy40与圆C：(x1)2(y1)22，则圆C上各点到l的距离的最小值为_解析：由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即.答案：8若PQ是圆O：x2y29的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是_解析：由圆的几何性质知kPQkOM1.kOM2，kPQ，故直线PQ的方
19、程为y2(x1)，即x2y50.答案：x2y509定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合A，则称A为一个开集，给出下列集合：；.其中为开集的是_(写出所有符合条件的序号)解析：集合表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A应该无边界，故由表示的图形知，只有符合题意答案：10圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，求圆C的方程解：设圆C的方程为x2y2DxEyF0，则k、2为x2DxF0的两根，k2D,2kF，即D(k2)，F2k，又圆过R(0,1)，故1EF0.E2k1.
20、故所求圆的方程为x2y2(k2)x(2k1)y2k0，圆心坐标为.圆C在点P处的切线斜率为1，kCP1，k3.D1，E5，F6.所求圆C的方程为x2y2x5y60.11已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)直线AB的斜率k1，AB的中点坐标为(1,2)，直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得ab30.又直径|CD|4，|PA|2.(a1)2b240.由解得或圆心P(3,6)或P(5，2)圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5
21、)2(y2)240.12(2014广州模拟)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，3)为OAB的直角顶点，已知|AB|2|OA|，且点B的纵坐标大于0.(1)求的坐标；(2)求圆x26xy22y0关于直线OB对称的圆的方程解：(1)设(x，y)，由|AB|2|OA|，0，得解得或若(6，8)，则yB11与yB0矛盾所以舍去即(6,8)(2)圆x26xy22y0，即(x3)2(y1)2()2，其圆心为C(3，1)，半径r，因为(4，3)(6,8)(10,5)，所以直线OB的方程为yx，设圆心C(3，1)关于直线yx的对称点的坐标为(a，b)则解得所以所求圆的方程为(x1)2(y3)210. 冲击
22、名校已知实数x、y满足方程x2y24x10，求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)x2y2的最大值和最小值解：(1)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最
23、大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.高频滚动1(2014南宁模拟)已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)、B(a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2xby10与直线l1平行，则ab等于()A4 B2 C0 D2解析：选B由题意知l的斜率为1，则l1的斜率为1，kAB1，a0.由l1l2，得1，b2，所以ab2.2(2014固原模拟)若m0，n0，点(m，n)关于直线xy10的对称点在直线xy20上，那么的最小值等于_解析：由题意知(m，n)关于直线xy10的对称点为(1n,1m)又(1n,1m)在直线xy20上，所以1n(1m)20，即mn2.于是(mn)(522)，当且仅当，即n，m时，等号成立答案：- 10 - 版权所有高考资源网
