1、2021年云南省昆明市“三诊一模”高三高考数学第二次教学质量检测试卷（文科）（3月份）一、选择题（每小题5分）.1已知复数z满足2+i，则z（）A3iB3+iC3+iD3i2集合Ax|yln（x1），Bx|x0，则AB（）A（0，1）B（0，+）C0，+）D（1，+）3已知sincos，则sin2（）ABCD4设直线y1与y轴交于点A，与曲线yx3交于点B，O为原点，记线段OA，AB及曲线yx3围成的区域为在内随机取一个点P，已知点P取在OAB内的概率等于，则图中阴影部分的面积为（）ABCD5已知P，Q分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点（不与顶点重合），则下列结论错
2、误的是（）AABPQB平面BPQ平面ADD1A1C四面体ABPQ的体积为定值DAP平面CDD1C16在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年孙子算经中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度现有一个剩余问题：在（1，2021的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列an，则数列an的项数为（）A98B99C100D1017已知曲线yex1在xx0处的切线方程为
3、exy+t0，则（）Ax01，t1Bx01，teCx01，t1Dx01，te8若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（）A或2B或3C或4D或59已知点P是ABC所在平面内一点，且+，则（）A+B+CD10已知F1，F2分别是椭圆E：1（ab0）的左，右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若3，则椭圆E的离心率为（）ABCD11饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害道路交通安全法的违法行为，将受到法律处罚检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100mL，小于80mg/100mL的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于
4、80mg/100mL的驾驶行为”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小时降低20%某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100mg/100mL，若经过n（nN*）小时，该人血液中的酒精含量小于20mg/100mL，则n的最小值为（）（参考数据：lg20.3010）A7B8C9D1012已知函数f（x）sin（x+）（0，0），f（x）的一个零点是，f（x）图象的一条对称轴是直线x，下列四个结论：；+3k（kN）；f（）0；直线x是f（x）图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知平面向量（，），则与夹角为45的一个非零向
5、量的坐标可以为 （写出满足条件的一个向量即可）14已知双曲线C：1（a0，b0）的右焦点为F，右顶点为A，O为原点若A为线段OF的中点，则C的渐近线方程为 15已知ABC中，A，满足BC，AC2AB，则ABC的面积为 16由正三棱锥PABC截得的三棱台ABCA1B1C1的高为，AB6，A1B13若三棱台ABCA1B1C1的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1底面AB
6、CD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点（1）证明：B，F，D1，E四点共面；（2）若AB2，BAD，求点F到平面BDD1的距离18已知等差数列an的前n项和为Sn，a33a12，且S5S34a2（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn193月12日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组区间为40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100
7、（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在50，60）内的概率20在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，2），B是一动点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且+，记B点的轨迹为E（1）求E的方程；（2）过C（1，0）的直线与E交于M，N两点，过线段MN的中点D且垂直于MN的直线与x轴交于H点，若|MN|4|DH|，求直线MN的方程21已知函数f（x
8、）axsinx，x（0，+）（aR）（1）若f（x）0，求a的取值范围；（2）当a1时，证明：2f（x）+cosxex（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴非负正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos（1）求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1，C2交于A，B两点，求|OA|OB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x3|+|2x3|（1）求
9、不等式f（x）6的解集；（2）若x，3，x3af（x）+160，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题）.1已知复数z满足2+i，则z（）A3iB3+iC3+iD3i解：2+i，z（2+i）（1i）22i+ii23i，故选：D2集合Ax|yln（x1），Bx|x0，则AB（）A（0，1）B（0，+）C0，+）D（1，+）解：Ax|x1，Bx|x0，AB（0，+）故选：B3已知sincos，则sin2（）ABCD解：sincos，平方可得12sincos，则sin22sincos，故选：A4设直线y1与y轴交于点A，与曲线yx3交于点B，O为原点，记线段OA，AB及曲线yx3围成的区域
10、为在内随机取一个点P，已知点P取在OAB内的概率等于，则图中阴影部分的面积为（）ABCD解：联立，解得则曲边梯形OAB的面积为，在内随机取一个点P，点P取在OAB内的概率等于，点P取在阴影部分的概率等于，图中阴影部分的面积为故选：B5已知P，Q分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是（）AABPQB平面BPQ平面ADD1A1C四面体ABPQ的体积为定值DAP平面CDD1C1解：P，Q分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点（不与顶点重合），对于A，ABBC，ABBB1，BCBB1B，BC、BB1平面BCC1B1，A
11、B平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1，ABPQ，故A正确；对于B，平面ADD1A1平面BCC1B1，平面BPQ与平面BCC1B1重合，平面BPQ平面ADD1A1，故B正确；对于C，A到平面BPQ的距离AB为定值，Q到BP的距离为定值，BP的长不是定值，四面体ABPQ的体积不为定值，故C错误；对于D，平面ABB1A1平面CDD1C1，AB平面ABB1A1，AP平面CDD1C1，故D正确故选：C6在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年孙子算经中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定
12、理”“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度现有一个剩余问题：在（1，2021的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列an，则数列an的项数为（）A98B99C100D101解：将题目转化为an1既是4的倍数，也是5的倍数，也即是20的倍数，即an120（n1），an20n19，令 120n192021，1n102，又nN+，故n2，3，102，数列共有101项，故选：D7已知曲线yex1在xx0处的切线方程为exy+t0，则（）Ax01，t1Bx01，teCx01，t1Dx01，te解：yex1的导数为ye
13、x，可得曲线yex1在xx0处的切线的斜率为ex0，由切线方程exy+t0，可得ex0e，解得x01，切点为（1，e1），则te1e1故选：A8若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（）A或2B或3C或4D或5解：因为等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，即，设其倾斜角为，则tan，因为斜边与直角边的倾斜角相差45，则斜边的倾斜角为+45或45，所以，所以斜边所在直线的斜率为或4故选：C9已知点P是ABC所在平面内一点，且+，则（）A+B+CD解：因为+，所以点P为ABC的重心，延长PA交BC于点M，所以，又，所以故选：D10已知F1，F2分别是椭圆E：1（ab
14、0）的左，右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若3，则椭圆E的离心率为（）ABCD解：不妨设点M为椭圆短轴的上端点（0，b），且F1（c，0），F2（c，0），设点N的坐标为（m，n），则，由可得：，即m，所以点N的坐标为（），代入椭圆方程可得：，解得，所以椭圆的离心率为e，故选：C11饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害道路交通安全法的违法行为，将受到法律处罚检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100mL，小于80mg/100mL的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100mL的驾驶行为”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量
15、平均每小时比上小时降低20%某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100mg/100mL，若经过n（nN*）小时，该人血液中的酒精含量小于20mg/100mL，则n的最小值为（）（参考数据：lg20.3010）A7B8C9D10解：经过n（nN*）小时，该人血液中的酒精含量为1000.8nmg/100ml，由题意可得，1000.8n20，即0.8n0.2，所以，所以n的最小值为8故选：B12已知函数f（x）sin（x+）（0，0），f（x）的一个零点是，f（x）图象的一条对称轴是直线x，下列四个结论：；+3k（kN）；f（）0；直线x是f（x）图象的一条对称轴其中所有正确结论的编号是（）ABCD解：
16、函数f（x）sin（x+）（0，0），f（x）图象的一条对称轴是直线x，所以f（）f（），由f（x）的一个零点是，所以，整理得，所以T，故（kZ）故错误；当k1时，f（x）sin（），把（）代入关系式，得到sin（+）0，由于0，所以，故正确；对于f（）sin（）1，故错误，f（）sinsin（2）0，故正确；故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知平面向量（，），则与夹角为45的一个非零向量的坐标可以为（1，0）（写出满足条件的一个向量即可）解：设，xy0，且为非零向量，x1，y0满足题意，故答案为：（1，0）14已知双曲线C：1（a0，b0）的右焦点为F，右顶点为A
17、，O为原点若A为线段OF的中点，则C的渐近线方程为yx解：由题意知，F（c，0），A（a，0），A为线段OF的中点，c2a，而a，C的渐近线方程为yx故答案为：yx15已知ABC中，A，满足BC，AC2AB，则ABC的面积为解：设ABm，则AC2m，由余弦定理可知：14m2+4m22m2mcos，解得m，所以ABC的面积为：故答案为：16由正三棱锥PABC截得的三棱台ABCA1B1C1的高为，AB6，A1B13若三棱台ABCA1B1C1的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为60解：设三棱台ABCA1B1C1的上底面A1B1C1的外接圆的圆心为G1，下底面ABC的外接圆的圆心为G，则G1，G
18、为所在正三角形的中心，故三棱台ABCA1B1C1的外接球的球心O在GG1上，因为ABC是边长为6的等边三角形，故2AG4，所以AG，同理可得AG1，设三棱台ABCA1B1C1的外接球的半径为R，在RtA1G1O中，在RtAGO中，又三棱台ABCA1B1C1的高为，因为R212，所以，故球心O在G1G的延长线上，则，解得R215，所以球O的表面积为S4R260故答案为：60三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1
19、底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点（1）证明：B，F，D1，E四点共面；（2）若AB2，BAD，求点F到平面BDD1的距离【解答】（1）证明：连结AC交BD于点O，因为ABCD为菱形，故ACBD，以O为原点建立空间直角坐标系如图所示，设OBa，OAb，DD1c，则B（0，a，0），D1（0，a，c），E（b，0，），F（b，0，），所以，所以，故BEFD1，所以B，F，D1，E四点共面；（2）解：以O为原点建立空间直角坐标系如图所示，因为AB2，BAD，所以B（0，1，0），D（0，1，0），D1（0，1，c），设平面BDD1的法向量为，又，则有，即，令x1，
20、故，又，所以点F到平面BDD1的距离为18已知等差数列an的前n项和为Sn，a33a12，且S5S34a2（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn解：（1）设等差数列an的公差为d，因为a33a12，且S5S34a2所以，解得，所以数列an的通项公式an3+2（n1）2n+1（2）Sn3n+2n（n+2），所以（），所以Tn（1+）（1+）193月12日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组区
21、间为40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在50，60）内的概率解：（1）由频率分布直方图可得，（0.006+0.012+0.0182+0.021+a）101，解得a0.025，这组样本数据的平均数为450.06+550.12+650.18+750.25+850.21+950.187
22、4.7，所以估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分为74.7分；（2）由频率分布直方图可知，成绩在40，50），50，60），60，70）内的频率分别为0.06，0.12，0.18，所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，成绩在40，50）内的有1人，成绩在50，60）内的有2人，成绩在60，70）内的有3人，故从成绩在40，70）内的6人随机抽取3人，共有种，这3人成绩均不在50，60）内，共有种，所以这3人中至少有1人成绩在50，60）内的概率为20在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，2），B是一动点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且+，记B点的轨迹为E（1）求E的
23、方程；（2）过C（1，0）的直线与E交于M，N两点，过线段MN的中点D且垂直于MN的直线与x轴交于H点，若|MN|4|DH|，求直线MN的方程解：（1）设B（x，y），所以k1，k2，k3，因为+，所以+，化简得y24x所以曲线E的方程为y24x（x0，x1）（2）设直线MN的方程为xty+1，联立，得y24ty40，所以16t241（4）16（t2+1）0，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y24t，y1y24，所以|MN|4（t2+1），由D为MN的中点，所以D（2t2+1，2t），所以直线DH的方程为y2tt（x2t21），所以H点的坐标为（2t2+3，0），所以|DH|2
24、，因为|MN|2|DH|，所以4（t2+1）8，解得t，所以直线MN的方程为xy10或x+y1021已知函数f（x）axsinx，x（0，+）（aR）（1）若f（x）0，求a的取值范围；（2）当a1时，证明：2f（x）+cosxex解：（1）f（x）acosx，当a1时，f（x）0，故函数f（x）在（0，+）单调递增，故f（x）f（0）0，满足题意；a1时，f（x）0，故函数f（x）在（0，+）单调递减，故f（x）f（0）0，不满足题意；1a1时，令f（x）0，在（0，）上存在x0，使得cosx0a成立，故0xx0时，f（x）0，f（x）在（0，x0）单调递减，则f（x）f（0）0，不满足题意
25、；综上：a的取值范围是1，+）；（2）证明：a1时，f（x）xsinx，要证2f（x）+cosxex，即证2x2sinx+cosxex，即证（2x2sinx+cosx）ex1，设g（x）（2x2sinx+cosx）ex，则g（x）2（xsinx）+2sin（x+）ex，由（1）得xsinx，而2sin（x+）20，故g（x）0，g（x）在（0，+）单调递增，故g（x）g（0）1，故x（0，+），a1时，2f（x）+cosxex（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程2
26、2在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴非负正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos（1）求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1，C2交于A，B两点，求|OA|OB|解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为xy10，根据，转换为极坐标方程为cossin10曲线C2的极坐标方程为4cos，根据，转换为直角坐标方程为x2+y24x，整理得（x2）2+y24（2）由于C1，C2交于A，B两点，所以，解得或即A（），B（），所以|OA|OB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x3|+|2x3|
27、（1）求不等式f（x）6的解集；（2）若x，3，x3af（x）+160，求实数a的取值范围解：（1）函数f（x）|x3|+|2x3|，所以不等式f（x）6可化为，或，或，解得3x4，或x3，或0x；所以不等式f（x）6的解集是x|0x4；（2）当x，3时，函数f（x）x，所以不等式x3af（x）+160，可化为x3ax+160，即ax2+设g（x）x2+，x，3，则g（x）2x，当x，2）时，g（x）0，函数g（x）单调递减，x（2，3时，g（x）0，函数g（x）单调递增，所以x2时，函数g（x）取得最小值为g（x）ming（2）4+812，所以若x，3，x3af（x）+160，实数a的取值范围是a12
