1、第4课时三角函数的图象和性质1能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性对应学生用书P54【梳理自测】1(教材改编)函数y|sin x|的一个单调增区间是()A.B.C. D.2(教材习题改编)设函数f(x)sin，xR，则f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数3ysin的图象的一个对称中心是()A(，0) B.C. D.4(教材精编题)函数ytan的定义域为_5函数ycos，x的
2、值域为_答案：1.C2.B3.B4.(kZ) 5.以上题目主要考查了以下内容：(1)三角函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域xRxRx|xR且xk，kZ值域1，11，1R单调性在，kZ上递增；在，kZ上递减在(2k1)，2k，kZ上递增；在2k，(2k1)，kZ上递减在，kZ上递增最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1无最值奇偶性奇偶奇对称性对称中心(k，0)kZ(kZ)，kZ对称轴xk (kZ)xk(kZ)无周期22(2)周期性一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得
3、当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期函数yAsin(x)，xR及函数yAcos(x)；xR(其中A、为常数，且A0，0)的周期T【指点迷津】1一点提醒求函数yAsin(x)的单调区间时，应注意的符号，只有当0时，才能把x看作一个整体，代入ysin t的相应单调区间求解，否则将出现错误2两类点ysin x，x0，2，ycos x，x0，2的五点是：零点和极值点(最值点)3求周期的三种方法利用周期函数的定义f(xT)
4、f(x)利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.利用图象图象重复的x的长度对应学生用书P55考向一三角函数的定义域、值域(1)函数y的定义域为_(2)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值【审题视点】(1)使分母及tan x都有意义的x值(2)换元，设tsin x转化二次函数最值【典例精讲】(1)由已知得，kZ.所求函数定义域为.(2)函数变为y1sin2xsin x.设tsin x，t.函数变为f(t)t2t1当t，即sin x，x时，ymax.当t，即x时，ymin.【类题通法】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借
5、助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数，化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)1(2014北京市海淀区高三调研)已知函数f(x)2(sin xcos x)2.(1)求f的值和f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间，上的最大值和最小值解析：(1)因为f(x
6、)2(sin xcos x)22(3sin2xcos2x2sin xcos x)12sin2xsin 2xcos 2xsin 2x2sin(2x)，所以f()2sin(2)2sin ，所以f(x)的最小正周期为T.(2)当x，时，2x，(2x)，所以当x时，函数取得最小值f()1，当x时，函数取得最大值f()2.考向二三角函数的单调性(1)函数ycos的单调递增区间为_；(2)已知函数ysin，求函数在，0上的单调递减区间【审题视点】把sin变为sin视2x、2x为一个整体，(并注意定义域)使之落在正、余弦的单调区间内求x的区间【典例精讲】(1)设u2x，则ycos u，当2ku2k(kZ)时
7、，ycos u随u的增大而增大又u2x随x的增大而增大(xR)，当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，y随x的增大而增大，ycos的单调递增区间为：(kZ)(2)由ysin可化为ysin.令2k2x2k， kZ，得kxk，kZ.所以xR时，ysin的减区间为，kZ.从而x，0时，ysin的减区间为，.【类题通法】(1)代换法：求形如yAsin(x)k的单调区间时，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，若为负则要先把化为正数(2)图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它
8、的单调区间就直观明了了2(1)ytan的单调递增区间为_(2)已知函数f(x)sin xcos x，设af，bf，cf，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCbac Dbca解析：(1)由k2xk(kZ)得，k2xk(kZ)，即x(kZ)，故函数的单调增区间为(kZ)，无单调减区间(2)f(x)sin xcos x2sin，因为函数f(x)在上单调递增，所以ff，而cf2sin 2sin f(0)f，所以cab.答案：(1)(kZ)(2)B考向三三角函数的奇偶性、周期性、对称性(1)(2014泉州模拟)已知f(x)cos(x)sin(x)为偶函数，则可以取的一个值为()A. B.C D
9、(2)(2014湖南六校联考)若函数f(x)asin xbcos x(05，ab0)的图象的一条对称轴方程是x，函数f(x)的图象的一个对称中心是，则f(x)的最小正周期是_【审题视点】(1)利用f(x)f(x)恒成立求.(2)利用对称轴、对称中心及周期公式求解【典例精讲】(1)由已知得f(x)2cos，则2cos2cos恒成立，展开得sinxsin()0恒成立，故sin0恒成立，只有选项D符合(2)由题设，有f，即(ab)，由此得到ab.又f0，所以a0，从而tan1，k，kZ，即8k2，kZ，而05，所以2，于是f(x)a(sin 2xcos 2x)asin，故f(x)的最小正周期是.【答
10、案】(1)D(2)【类题通法】(1)三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断(2)三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形，ysin x，ycos x的对称轴通过它们的极值点，对称中心是图象的零点ytan x的对称中心是它的零点或间断点3(1)(2014石家庄高三模拟)已知函数f(x)|sin(2x)|，下面说法正确的是()A函数的周期为B函数图象的一条对称轴方程为xC函数在区间，上为减函数D函数是偶函数解析：选B.若x，则f(x)1，x是函数图象的一条对称轴，故
11、选B.(2)(2014荆州市高三质检)函数ysin(x)(0，0)的最小正周期为，且函数图象关于点(，0)对称，则函数的解析式为_解析：由题意知最小正周期T，2，2()k，k，又0，ysin(2x)答案：ysin(2x)对应学生用书P56 三角函数单调性忽视x的系数致错求函数ysin的单调区间为_【正解】原函数变形为ysin，令u，则只需求ysin u的单调区间即可ysin u在2ku2k(kZ)，即3kx3k(kZ)上单调递增；ysin u在2ku2k(kZ)，即3kx3k(kZ)上单调递减故ysin的递减区间为(kZ)，递增区间为(kZ)【答案】递减区间为(kZ)，递增区间为(kZ)【易错
12、点】由于受思维定式影响，本题容易出现仍然按照函数yAsin(x)(0)的单调区间的判断方法进行，如认为当x满足2kx2k(kZ)时函数单调递增，就会求错函数的单调区间【警示】(1)对于其它形式的三角函数，首先要变换到yAsin(x)或yAcos(x)，yAtan(x)(0)才可(2)求单调区间要注意定义域1(2013高考浙江卷)已知函数f(x)Acos(x)(A0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.先判断由f(x)是奇函数能否推出，再判断由能否推出f(x)是奇函数若f(x)是奇函数，则f(0)0，所以c
13、os 0，所以k(kZ)，故不成立；若，则f(x)AcosAsin(x)，f(x)是奇函数所以f(x)是奇函数是的必要不充分条件2(2012高考课标全国卷)已知0，函数f(x)sin在单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D(0，2解析：选A.由x得x，又ysin 在上递减，所以解得，故选A.3(2013高考全国大纲卷)已知函数f(x)cos xsin 2x，下列结论中错误的是()Ayf(x)的图象关于点(，0)中心对称Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的最大值为Df(x)既是奇函数，又是周期函数解析：选C.逐项分析检验，确定答案A项，因为f(2x)cos(2x)sin(42x)
14、cos(x)sin(2x)cos xsin 2xf(x)，所以yf(x)的图象关于点(，0)中心对称，故正确B项，因为f(x)cos(x)sin(22x)cos xsin 2xf(x)，所以yf(x)的图象关于直线x对称，故正确C项，f(x)cos xsin 2x2sin xcos2x2sin x(1sin2x)2sin3x2sin x，令sin xt，则t1，1，f(x)的最大值问题转化为求h(t)2t32t在t1，1上的最大值h(t)6t22，令h(t)0，得t或，经计算比较得最大值为h，故错误D项，由f(x)cos(x)sin(2x)cos xsin 2xf(x)知其为奇函数，综合选项A、B知f(x)为周期函数，故正确4(2013高考江西卷)函数ysin 2x2sin2x的最小正周期T为_解析：由于ysin 2x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin，T.答案：