1、2014-2015学年山西省高三（上）第二次诊断数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1已知集合m=xZ|x2+6x0，N=x|x250，则MN等于（）A 1，2，3B1，2C2，3D3，4考点：交集及其运算专题：集合分析：求出M中不等式的整数解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可解答：解：由M中不等式变形得：x（x6）0，解得：0x6，即M=1，2，3，4，5；由N中不等式解得：x，即N=（，），则MN=1，2故选：B点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2cos（）的值为（）A BCD考点：运用诱
2、导公式化简求值专题：三角函数的求值分析：原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果解答：解：cos（）=cos（670+）=cos=cos（+）=cos=，故选：C点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键3已知等差数列an中，a4=5，a9=17，则a14=（）A 11B22C29D12考点：等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：由等由差数列的性质可得2a9=a14+a4，代入数据计算可得解答：解：等差数列an中，a4=5，a9=17，由等由差数列的性质可得2a9=a14+a4，217=a14+5，解得a14=29故选：C点评：本题
3、考查等差数列的通项公式和性质，属基础题4已知定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=log2（2x+1），则f（）等于（）A log23Blog25C1D1考点：函数奇偶性的性质专题：函数的性质及应用分析：由f（x）是定义在R上的奇函数可得f（）=f（），由此可解得f（）的值解答：解：由f（x）是定义在R上的奇函数可得f（x）=f（x），f（）=f（）=1故选：D点评：本题主要考察函数奇偶性的性质，属于基础题5已知为第三象限角，且sin+cos=2m，sin2=m2，则m的值为（）A BCD考点：两角和与差的正弦函数专题：三角函数的求值分析：把sin+cos=2m两边平方可得m的方程，
4、解方程可得m，结合角的范围可得答案解答：解：把sin+cos=2m两边平方可得1+sin2=4m2，又sin2=m2，3m2=1，解得m=，又为第三象限角，m=故选：B点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及二倍角公式，属基础题6已知“0tm（m0）”是“函数f（x）=x2tx+3t在区间（0，2）上只有一个零点”的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A（0，2）B（0，2C（0，4）D（0，4考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：先根据函数f（x）解析式求出该函数在（0，2）上存在零点时t的取值范围：0t4，所以由0tm（m0）是f（x）在（0，2）上存在一个零点的充分
5、不必要条件，得到：0m4解答：解：对于函数f（x）=x2tx+3t，在区间（0，2）上只有一个零点时，只能=t2+12t0，即t12，或t0；此时，f（0）f（2）=3t（t4）0，解得0t4；0tm（m0）是函数f（x）在（0，2）上只有一个零点的充分不必要条件；0m4故选C点评：考查函数零点的概念，二次函数图象和x轴交点的情况和判别式的关系，充分条件，必要条件，充分不必要条件的概念7已知非零向量，满足|=1，且与的夹角为30，则|的取值范围是（）A（0，）B，1）C1，+）D，+）考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：在空间任取一点C，分别作，则，并且使A=30从而便构成一个
6、三角形，从三角形中，便能求出的取值范围解答：解：根据题意，作；，且A=30；过C作CDAB，垂足为D，则CD的长度便是的最小值；在RtCDA中，CA=1，A=30，CD=；的取值范围是，+）故选D点评：把这三个向量放在一个三角形中，是求解本题的关键8设a=，b=log9，c=log8，则a，b，c之间的大小关系是（）A abcBacbCcabDcba考点：对数的运算性质专题：函数的性质及应用分析：利用对数函数的单调性可得=，即可得出解答：解：a=，b=log9，c=log8，=，cab故选：C点评：本题考查了对数函数的单调性，属于基础题9设等比数列an的前n项和为Sn，若a2013=2S201
7、4+6，3a2014=2S2015+6，则数列an的公比q等于（）A B或1C或1D2考点：等比数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：已知两式相减结合等比数列的通项公式和求和公式可得q的方程，解方程可得解答：解：由题意可知a2013=2S2014+6，3a2014=2S2015+6，可得3a2014a2013=2S20152S2014=2a2015，3a2013qa2013=2a2013q2，2q23q+1=0，解得q=1或q=故选：C点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及通项公式和一元二次方程，属基础题10给出下列命题，其中错误的是（）A在ABC中，若AB，则sinAsinBB在锐角A
8、BC中，sinAcosBC把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=cos2x的图象D函数y=sinx+cosx（0）最小正周期为的充要条件是=2考点：命题的真假判断与应用专题：阅读型；三角函数的图像与性质分析：由正弦定理和三角形中大角对大边，即可判断A；由锐角三角形中，两锐角之和大于90，运用正弦函数的单调性，即可判断B；运用图象的左右平移，只对自变量x而言，再由诱导公式，即可判断C；由两角和的正弦公式化简，再由周期公式，即可判断D解答：解：对于A在ABC中，若AB，则ab，即由正弦定理有sinAsinB，故A正确；对于B在锐角ABC中，A+B，则AB，由y=sinx在
9、（0，）上递增，则sinAsin（B）=cosB，故B正确；对于C把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=sin2（x）=sin（2x）=cos2x的图象，故C正确；对于D函数y=sinx+cosx（0）=2sin（x），最小正周期为时，也可能为2，故D错故选D点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查三角形的边角关系和正弦定理的运用，正弦函数的单调性，以及三角函数的图象平移规律，周期公式，属于中档题11已知a，bR，函数f（x）=tanx在x=处与直线y=ax+b+相切，设g（x）=bxlnx+a在定义域内（）A极大值B有极小值C有极大值2D有极小值2考点：正切函数的图
10、象专题：三角函数的图像与性质分析：先求出f（x）=，再由条件根据导数的几何意义可得 a=f（）=2再把切点（，2）代入切线方程求得b，可得g（x）解析式再根据g（x）的符号，求出g（x）的单调区间，从而求得g（x）的极值解答：解：由函数f（x）=tanx，可得f（x）=再根据函数f（x）=tanx在x=处与直线y=ax+b+相切，可得 a=f（）=2再把切点（，2）代入直线y=ax+b+，可得b=1，g（x）=xlnx+1，g（x）=lnx+1令g（x）=lnx+1=0，求得x=，在（0，）上，g（x）0，在（，+）上，g（x）0，故g（x）在其定义域（0，+）上存在最小值为g（）=2，故选：
11、D点评：本题主要考查函数在某处的导数的几何意义，利用导数求函数的极值，属于基础题12函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x），当x0，1时，f（x）=2x，若方程axaf（x）=0（a0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A（，1）B0，2C（1，2）D1，+）考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：由题意可得可得函数f（x）是周期为2的周期函数，函数y=f（x）的图象和直线y=axa=a（x1）有3个交点，数形结合可得a（31）2，且a（51）2，由此求得a的范围解答：解：由f（x+2）=f（x），可得函数f（x）是周期为2的周期函数由方
12、程axaf（x）=0（a0）恰有三个不相等的实数根，可得函数y=f（x）的图象（红色部分）和直线y=axa=a（x1）（蓝色部分）有3个交点，如图所示：故有a（31）2，且a（51）2，求得a1，故选：A点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13函数y=ln（x1）+的定义域为（1，2考点：函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：根据对数的性质，二次根式的性质得不等式组，解出即可解答：解：，1x2故答案为：（1，2点评：本题考查了对数的性质，二次根式的性质，考查函数的定义域，是一道基
13、础题14已知p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根，若p是真命题，则实数m的取值范围是（，2考点：命题的否定专题：简易逻辑分析：求出命题p是真命题时m的取值范围，再得出p是真命题时m的取值范围即可解答：解：命题p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根，设x1，x2是方程的两个负实数根，则，即；解得m2；当p是真命题时，m的取值范围是（，2故答案为：（，2点评：本题考查了命题与命题的否定之间的应用问题，解题时应利用命题与命题的否定只能一真一假，从而进行解答问题，是基础题15已知函数，设ab0，若f（a）=f（b），则bf（a）的取值范围是考点：函数的零点；函数的值域
14、专题：函数的性质及应用分析：首先作出分段函数的图象，因为给出的分段函数在每一个区间段内都是单调的，那么在ab0时，要使f（a）=f（b），必然有b0，1），a1，+），然后通过图象看出使f（a）=f（b）的b与f（a）的范围，则bf（a）的取值范围可求解答：解：由函数，作出其图象如图，因为函数f（x）在0，1）和1，+）上都是单调函数，所以，若满足ab0，时f（a）=f（b），必有b0，1），a1，+），由图可知，使f（a）=f（b）的b，1），f（a），2）由不等式的可乘积性得：bf（a），2）故答案为，2）点评：本题考查函数的零点，考查了函数的值域，运用了数形结合的数学思想方法，数形结合是
15、数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，此题是中档题16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若ABC的面积为S=c，则ab的最小值为12考点：正弦定理专题：解三角形分析：由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=，C=根据ABC的面积为S=absinC=c，求得c=ab再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab3ab，由此求得ab的最小值解答：解：在ABC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCc
16、osB+sinB，2sinBcosC+sinB=0，cosC=，C=由于ABC的面积为S=absinC=ab=c，c=ab再由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab3ab，当且仅当a=b时，取等号，ab12，故答案为：12点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤17（10分）已知函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=2x（1xm）的值域为B（1）当m=1时，求AB；（2）若AB=B，求实数m的取值范围考点：对数函
17、数图象与性质的综合应用专题：函数的性质及应用分析：根据函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=2x（1xm）的值域为B求解得出A，函数g（x）=2x（1xm）的值域为Bm=1根据单调性可得；y2m，即，再利用集合的关系求解得出答案解答：（1）函数f（x）=的定义域为A，A为：x|x1函数g（x）=2x（1xm）的值域为Bm=1y2m，即，可得AB=x|x1（2）AB=B，AB，根据（1）可得：2m1，即m0，实数m的取值范围为；0，+）点评：本题考查了函数的概念，性质，运用求解集合的问题，属于容易题18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（ab）（sinAsinB
18、）=csinCasinB（1）求角C的大小；（2）若c=，ab，且ABC的面积为，求的值考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用专题：解三角形分析：（1）ABC中，由条件利用正弦定理求得 a2+b2c2=ab再利用余弦定理求得cosC的值，可得C的值（2）由（1）可得即 a2+b2ab=7 ，又ABC的面积为=，可得ab=6 由可得的值解答：解：（1）ABC中，由（ab）（sinAsinB）csinCasinB，利用正弦定理可得（ab）（ab）=c2ab，即 a2+b2c2=ab再利用余弦定理可得，cosC=，C=（2）由（1）可得即 a2+b2ab=7 ，又ABC的面积为 =，ab=6 由可
19、得 =点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题19（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx）（1）若（），且cosx0，求sin2x+sin（+2x）的值；（2）若f（x）=，求f（x）在，0上的最大值和最小值考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（1）由（），得到（）=0，即有sinxcosx=3cos2x，由cosx0，即tanx=3再由诱导公式和二倍角公式，将所求式子化为含正切的式子，代入即可得到；（2）化简f（x），运用二倍角公式，注意逆用，及两角差的正弦公式，
20、再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到最值解答：解：（1）向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=sinxcosxcos2x，=2cos2x，（），（）=0，即有=，sinxcosx=3cos2x，cosx0，sinx=3cosx，即tanx=3sin2x+sin（+2x）=sin2x+cos2x=；（2）f（x）=sinxcosxcos2x=sin2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x），由于x，0，则2x，则有sin（2x）1，故f（x），1，则f（x）在，0上的最大值为1，最小值为点评：本题考查平面向量向量的数量积的坐标公式及向量垂直的条件，考查三角函
21、数的化简与求值，注意运用二倍角公式和两角的和差公式，同时考查正弦函数的性质，属于中档题20（12分）2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x元时，销量可以达到150.1x万套，供货商把该产品的供货价格分为两部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为k，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价供货价格（1）若售价为50元时，展销商的总利润为180万元，求售价为100元时的销售总利润；（2）若k=10，求销售这套商品总利润的函数f（x），并求f（x）的最大值考点：函数模型的选择与应用专题：函数的性质及应用
22、分析：（1）由题意可得10（5030）=180，解得k=20，即可求得结论；（2）由题意得f（x）=x（30+）（150.1x）=0.1x2+18x460，（0x150），利用导数判断函数的单调性即可求得最大值解答：解；（1）售价为50元时，销量为150.150=10万套，此时每套供货价格为30+（元），则获得的总利润为10（5030）=180，解得k=20，售价为100元时，销售总利润为；（150.11000（10030）=330（万元）（2）由题意可知每套商品的定价x满足不等式组，即0x150，f（x）=x（30+）（150.1x）=0.1x2+18x460，（0x150），f（x）=0.
23、2x+18，令f（x）=0可得x=90，且当0x90时，f（x）0，当90x150时，f（x）0，当x=90时，f（x）取得最大值为350（万元）点评：本题以函数为载体，考查学生分析问题、解决问题的能力及利用导数研究函数的单调性求函数最值的方法，属于中档题21（12分）设数列an的前n项和为Sn=2n2，bn为等比数列，且a1=b1，b2（a2a1）=b1（）求数列an和bn的通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n项和Tn考点：数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式专题：计算题；综合题分析：（I）由已知利用递推公式可得an，代入分别可求数列bn的首项b1，公比q，从而可求bn（II）由（
24、I）可得cn=（2n1）4n1，利用乘“公比”错位相减求和解答：解：（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n2时，an=SnSn1=2n22（n1）2=4n2，故an的通项公式为an=4n2，即an是a1=2，公差d=4的等差数列设bn的公比为q，则b1qd=b1，d=4，q=故bn=b1qn1=2，即bn的通项公式为bn=（II）cn=（2n1）4n1，Tn=c1+c2+cnTn=1+341+542+（2n1）4n14Tn=14+342+543+（2n3）4n1+（2n1）4n两式相减得，3Tn=12（41+42+43+4n1）+（2n1）4n=（6n5）4n+5Tn=（6n5）4n+5点评
25、：（I）当已知条件中含有sn时，一般会用结论来求通项，一般有两种类型：所给的sn=f（n），则利用此结论可直接求得n1时数列an的通项，但要注意检验n=1是否适合所给的sn是含有an的关系式时，则利用此结论得到的是一个关于an的递推关系，再用求通项的方法进行求解（II）求和的方法的选择主要是通项，本题所要求和的数列适合乘“公比”错位相减的方法，此法是求和中的重点，也是难点22（12分）已知函数f（x）=（m0）是定义在R上的奇函数，（1）若m0，求f（x）在（m，m）上递增的充要条件；（2）若f（x）sincos+cos2x+对任意的实数和正实数x恒成立，求实数m的取值范围考点：必要条件、充分
26、条件与充要条件的判断专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：（1）运用奇偶性求出m的值，再运用导数判断，（2）构造函数g（x）=sincos+cos2x+=sin2，利用任意的实数和正实数x，得g（x），即f（x），求解f（x）最大值即可解答：解：（1）函数f（x）=（m0）是定义在R上的奇函数，f（0）=0，即n=0，f（x）=，f（x）=0，m0即2x20，f（x）在（m，m）上递增，（m，m），f（x）在（m，m）上递增的充要条件是m=（2）令g（x）=sincos+cos2x+=sin2，任意的实数和正实数x，g（x），若f（x）sincos+cos2x+对任意的实数和正实数x恒成立，f（x），f（x）=，根据均值不等式可得；f（x），所以只需，m2实数m的取值范围：m点评：本题考查了函数的性质，不等式在求解值域中的应用，运用恒成立问题和最值的关系求解，难度较大
