1、2019-2020学年度第二学期期末学业水平检测高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “”是“”成立的 （ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论【详解】解：，“”是“”成立的充分非必要条件，故选：【点睛】本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题2. 函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据的解析式，可检验的正负，根据零点存在性定理，即可得答案.【详解
2、】因为函数，所以，所以，由零点存在性定理可知，零点在区间内，故选：B【点睛】本题考查函数的零点存在性定理的应用，考查分析计算的能力，属基础题.3. 已知数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题根据数列通项公式的特点可先求出相邻奇偶项的和，然后运用分组求和法可计算出的值，得到正确选项【详解】由题意，令，则当为奇数时，为偶数，故选：【点睛】本题主要考查正负交错数列的求和问题，考查了转化与化归思想，整体思想，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题4. 若，使得成立，则实数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用基本不
3、等式求出的最大值，即可.【详解】可得，当且仅当，即时等号成立，若，使得成立，则，.故选：C.【点睛】本题考查不等式的能成立问题，求最值即可解决，属于基础题.5. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用分段函数的解析式，求解函数值即可【详解】因为 ，所以故选：【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数图象关于原点对称，排除AC，再根据当从正数趋近于时，函数值为负数排除D，进而得答案.【详解】解：根据图象得函数图象关于原点对
4、称，且定义域为，即为奇函数.对于A选项，故函数为偶函数，排除；对于B选项，函数定义域，故函数为奇函数，满足条件；对于C选项，函数定义域为，故函数为偶函数，排除；对于D选项，函数定义域为，当时，故在为正数，故排除，故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与特殊值选函数图象，是中档题.7. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分345678910频数231063222设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可【详解】由图知，众
5、数是；中位数是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，所以中位数是；平均数是；故选：D【点睛】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题8. 已知函数定义域为，且是偶函数，是奇函数，在上单调递增，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过周期性奇偶性找到周期性，再由单调性确定函数值大小.【详解】是偶函数,得，即，是奇函数，得，即，得由是奇函数，得，因为在上单调递增，所以，所以，故选：B【点睛】是函数的对称轴，是函数 的对称中心.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中
6、，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 设全集，集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】根据幂函数的值域得出集合A，解一元二次不等式得集合B，按照集合间的交、并、补混合运算逐一判断即可.【详解】，即A正确；，即B正确；或，即C错误；或，即D错误；故选：AB.【点睛】本题主要考查了集合的表示以及集合间的混合运算，属于基础题.10. 已知复数满足为虚数单位，复数的共轭复数为，则（ ）A. B. C. 复数的实部为D. 复数对应复平面上的点在第二象限【答案】BD【解析】【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判
7、断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A错误； ，故B正确；复数的实部为 ，故C错误；复数对应复平面上的点在第二象限，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.11. 若函数，则下述正确的是（ ）A. 在单调递增B. 的值域为C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称【答案】AD【解析】【分析】根据函数的性质分别判断每个选项即可.【详解】对于A，在单调递增，在单调递增，在单调递增，故A正确；对于B，故B错误；对于C，所以的图象不关于直线对称，故C错误；对于D，则的图象关于点对称，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查对已
8、知函数的性质的理解，属于基础题.12. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，得，选项A错误，选项B错误， ，选项D错误， 因为选项C正确，故选C【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线与曲线相切，则=_【答案】【解析】试题分析：设切点，求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可得到结论解：设切点为（x0，y0），则y=（lnx）=，切
9、线斜率k=，又点（x0，lnx0）在直线上，代入方程得lnx0=x0=1，x0=e，k=故答案为点评：本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题14. 已知数列的前项和为，则_.【答案】【解析】【分析】根据，即可求出数列的通项公式，再根据，即可求出结果.【详解】当时，；当时，因为，所以所以；所以；所以当时，是以2为公比的等比数列；所以，所以；所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了与的关系，熟练掌握是解题关键.15. 若是函数的极值点，则的极小值为 _ 【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可【详解】函数，
10、可得，是函数的极值点，可得，即解得可得，函数的极值点为：，当，函数是增函数，时，函数是减函数，时，函数取得极小值： 即答案为-1.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力16. 一袋中装有6个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则袋中白球的个数为_；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X的数学期望为_.【答案】 (1). 3 (2). 1.【解析】【分析】设白球个数为m，根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算m，计算X的各种取值对应的概率，再计算数学期望.【详解】设袋中有白球m个，则有黑球6m个，设事件A
11、：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球，则P（A）1，解得3，即3，解得m3或m8（舍），由从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X可能的取值为，则P（X0）1，P（X1），P（X2），E（X）0121.故答案为：3，1.【点睛】本题主要考查了组合数的运算，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，其中解答中熟记组合数的计算公式，找出随机变量的取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查分析问题与解答问题，以及推理与计算能力.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在，三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列的前项和为，满足： ，.（1）求的最
12、小值；（2）设数列的前项和，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）选择、条件中的一组，利用等差数列的性质及条件，求得的通项公式，利用通项公式的单调性，结合题意，即可求得的最小值；（2）由（1）可得数列的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得证.【详解】（1）若选择；由题知：，又因为，解得所以，解得，所以，所以，所以； 若选择；由题知：，又因为，解得，所以，解得，所以，所以，所以 ；若选择；由题知：，所以 ，由题知：，所以 联立解得：，所以，所以， 所以.（2）由（1）可得，所以，所以.【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的求法、数列单调性的应用、裂
13、项相消法求数列的和，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.18. 某足球运动员进行射门训练，若打进球门算成功，否则算失败.已知某天该球员射门成功次数与射门距离的统计数据如下：（1）请问是否有的把握认为该球员射门成功与射门距离是否超过米有关？参考公式及数据：.（2）当该球员距离球门米射门时，设射门角（射门点与球场底线中点的连线和底线所成的锐角或直角）为，其射门成功率为，求该球员射门成功率最高时射门角的值.【答案】（1）有的把握认为该球员射门成功与射门距离是否超过30米有关；（2）.【解析】【分析】（1）利用求得的值，再与临界表对照下结论.（2）由，求导得到， 利用导数得到函数单调性，求得最大值
14、点即可【详解】（1）由题知： 所以有的把握认为该球员射门成功与射门距离是否超过米有关（2）由题知： 因为，得 所以当时，；当时， 所以在上单调递增；在上单调递减所以，即球员射门成功率最高时射门角【点睛】本题主要考查独立性检验和导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19. 已知数列的前项和为，.（1）证明：数列为等比数列；（2）若数列满足：，证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先得，两式相减即可构造出，进而可得结论；（2）由（1）得，利用累加法即可得出，进而可得结论.【详解】（1）由题知：两式相减得所以， 又因为，所以因为，所以数列是首项为，
15、公比为的等比数列（2）由（1）知：，得所以 所以，所以【点睛】本题主要考查了等比数列证明以及用累加法求数列的通项公式，属于中档题.20. 已知函数，为自然对数的底数.（1）若，求零点；（2）讨论的单调性；（3）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）答案见解析；（3）.【解析】【分析】（1）当时，易证得在上单调递增，而，故有唯一零点（2）求导得，然后分四类：，和，逐一讨论与0的关系，从而得函数的单调性（3）结合（2）中函数的单调性，分四类：，和，讨论时的取值范围，其中前三种情形，只需举出反例，证明不符合题意即可，而第四种需要再分两个小类和【详解】（1）若，则，当时，；当时，所以在上单调
16、递增又因为，所以的零点为（2），若，由于，令，则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增若，令，则或，且，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增若，由（1）知，在上单调递增若，令，则或，且，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减（3）由（2）知，当时，不满足题意；当时，不满足题意；当时，（1），不满足题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增；若对，恒成立，则，解得；当时，在上单调递增，在，上单调递减，所以，所以满
17、足题意综上所述，实数的取值范围为，【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点和不等式恒成立问题，涉及的主要思想是分类讨论，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题21. 探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量.（1）某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在（单位：百件）件产品中，得到次品数
18、量（单位：件）的情况汇总如下表所示，且（单位：件）与（单位：百件）线性相关：（百件）（件）根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产件的任务？（2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站外完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过分钟，如果有人分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人.现在一共有个人可派，工作人员各自在分钟内能完成任务的概率分别依次为，且，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为，的数学期望为，证明：.（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公
19、式;.）（参考数据：，.）【答案】（1）可以安排一小时试生产件的任务；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据表中数据，分别求得：，利用公式求得，写出回归直线方程，然后将 代入求值与90比较即可. （2）根据题意，随机变量的可能取值为，且，；，由期望公式得到，然后利用数列的错位相减法求解即可.【详解】（1）由已知可得：； 又因为；由回归直线的系数公式知： 所以当（百件）时，,符合有关要求所以按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时试生产件的任务. （2）由题意知：，；所以 两式相减得： 故【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，离散型随机变量的期望的求法以及独立重复实验的应用数列的错
20、位相减法求和的方法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22. 已知函数，为自然对数的底数.（1）若，证明：；（2）讨论的极值点个数.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由，则， ，令，用导数法得到，从而得到在上单调递增，结合，得到时，；时，证明；（2）求导，令，分和结合零点存在定理求解.【详解】（1）若，则，令，则当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；因此，即；也有，所以当时，所以在上单调递增；又因为，所以，当时，；当时，；所以.（2）由题意知，令，则，当时，所以在上单调递增，无极值点；当时，且在上单调递增，故存在满足，因此，当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增；所以，再令，所以在上单调递减，且，即，因为，又知，所以，所以存在，满足 ，所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；所以，当时， 存在两个极值点综上可知：当时，不存在极值点；当时，存在两个极值点，【点睛】本题主要考查导数与不等式的证明，导数与函数极值点，还考查了分类讨论的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于难题.
