1、数学（理科）参考答案第 1 页（共 6 页）广西 2022 届高中毕业班第一次适应性测试 数 学（理科）参考答案 一、选择题 题号123456789101112答案ACCBBDDAACBA二填空题13.1；14.1；15.14；16.20 53三、解答题 17.解：（1）当2n时由)1(2nnannS得)1)(1()1(121nnannS.因为1(2)nnnSSan,将并化简得21 nnaa.又22222(1)Sa及32 a则11 a所以 na是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列.所以11221naann 即12 nan.6 分（2）由（1）可知12 nan.则111(21)(21)nn
2、nba ann111()2 2121nn则123nnTbbbb11111111(1)2335572121nn11(1)221n.因为52nT即52)1211(21 n.解得2n 且 Nn.故n 的取值范围,2|Nnnn.12 分18.解:(1)1 234+535x 1250+1200101092087010505y.12221147105 3 105010414916+255 3niiiniix ynxybxnx .105010431362aybx.则回归直线方程为 1041362yx.数学（理科）参考答案第 2 页（共 6 页）2022 年的年度序号 x=6 所以 104 6 1362=73
3、8y 预测该路口 2022 年驾乘人员未佩戴头盔的人数为 738 人.7 分(2)由于2250(6 304 10)10 40 164.50344K.又因为 23.841P K0.05 且4.5043.841,故有 95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.12 分19.解：（1）证明：平面 PAD 底面 ABCD，交线为 AD，又底面 ABCD是矩形且CDAD，所以CD 平面 PAD.而 AE 平面 PAD 所以CDAE.PAAD,E 为 PD 中点,AEPD.而CDPDD，AE 平面 PCD.PC 平面 PCD，AEPC.5 分（2）如图，作 POAD于O，连接OB.平面 PAD 底面 A
4、BCD，交线为 AD.PO 底面 ABCD.PB 与底面 ABCD所成角为PBO.由题意有2246tan21POAOPBOOBAO.解得1AO ，即O 为 AD 中点.分别以,OD OP 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则 A（-1，0，0），B（-1，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），3P（0，0，），1322E（，0，）所以3322AE（，0，），AC（2，1，0），3322BE（，-1，），BC（2，0，0）.设()mxyz，为平面 ACE 的法向量，则0,0m AEm AC，则330,2220.xzxy.令1x 得2y ，3z .则(13)m ，-2，-
5、是面 ACE 法向量.同理可得(0 3 2)n，是面 BCE 的法向量.设二面角BCE A平面角为 则 cosm nm n4 34272 27.故7sin7 即二面角BCE A平面角的正弦值为77.12 分数学（理科）参考答案第 3 页（共 6 页）20.解：（1）设直线 AB 方程为：1,(0)xt yt，点11(,)A x y，22(,)B xy，则12(4,),(4,)MyNy，12(4,)2yyR，(1,0)F.1211212111242(4)2(3)ARyyyyyyykxxty，23FNyk.要证/ARFN，只需证12212(3)3yyyty即可只需证121223()26yyty y
6、y.只需证12123()2yyty y.联立221143xtyxy，消 x 得22(34)690tyty.由韦达定理得12122269,3434tyyyytt.可知12123()2yyty y成立，得证/ARFN.5 分(2)延长 MD 交 FN 于点Q,由(1)得ADMFQD 且MADDFQ.因为 R 是 MN 中点所以 D 为 MQ 中点.所以=MD DQ.则 ADMFQD 因此 AMFD.从而12=ADMFDNSySy.由(1)可得22211222122434yy yytyyt.122124243yyyyt则122110(,2)3yyyy.因为12yy,则121(3,1)(1,)3yy
7、.故1(,1)(1,3)3ADMFDNSS.12 分21.解：（1）当12a 时 1ln022xxxfxx（）所以 211122fxxx数学（理科）参考答案第 4 页（共 6 页）22102xx.所以 f x 在0,上是单调递减函数.又 10f所以当1,x 时 0f x 即1ln22xxx.令211,2xnnn*N，则22222222111112111ln 111221212 1nnnnnnnn211111211nnn.从而22221111ln 1ln 1ln 1ln 1234n11111111123243511112nnnn11111221nn1131224.所以34222211111111
8、e,2234nnn*N.7 分（2）令 3lnln 24ln02xag xaxaaxxxxaxx，所以 2221440aaxxagxaxxxx.设 24k xaxxa 则21 16a .当0,0a ，即14a 时 0gx,所以 g x 在0,单调递减.所以 g x 不可能有三个不同的零点.当0,0a ，即104a时 k x 有两个零点2111 162axa，2211 162axa.所以210 xx.因为 24k xaxxa 开口向下，所以当10 xx时，0k x 即 0gx.所以 g x 在10,x 上单调递减；当12xxx时 0k x，即 0gx，所以 g x 在12,x x上单调递增；当2
9、xx时 0k x，即 0gx，所以 g x 在2(,)x 上单调递减.因为 42ln1 202aga且124x x 所以122xx.所以 1220g xgg x.因为3222211141lnln 22ln412agaaaaaaaa ，数学（理科）参考答案第 5 页（共 6 页）所以令 31ln 22ln4am aaa.因为 4222221122112 120aaam aaaaaa .所以 m a 在10,4 单调递增.所以 3ln 211113ln 22ln404441644m am，即210g a.又2222121102axaaaa所以221xa.所以由零点存在性定理知，g x 在区间221
10、,xa 上有唯一的一个零点0 x.因为 0000000044lnln24444210axg xgaaxxxxaxx且 00g x，所以040gx.又21204411 16211 162axxaaa，则1040 xx.所以 g x 在10,x 上有唯一的一个零点04x.故当104a时 g x 存在三个不同的零点004,2,xx.故实数a 的取值范围是10,4.12 分22.解:（1）因为222xy，siny，由4sin得24 sin.所以224xyy即22(2)4xy所以曲线C 是圆心为 0,2（），半径等于2 的圆.可设(2cos,22sin)M.则52 524cos+22sin=2 5sin
11、+cos)+255xy（=2 5sin()+2.（其中2 5sin5，5cos5）因为 1sin()1，所以 2 522 5sin()22 52，所以2xy的取值范围为 2 52,2 52.5 分（2）由变换公式122xxyy，得22.xxyy，代入曲线C 的直角坐标方程22(2)(2)4(2)xyy整理得2214()()yx即曲线1C 的方程为2214yx .数学（理科）参考答案第 6 页（共 6 页）所以曲线1C 的参数方程为cos2sin.xy，（为参数）由222222xtyt ，（t 为参数）消去参数得40 xy.则点 P 到直线l 的距离cos2sin42d52 55cossin45
12、525sin42.（其中5sin5，2 5cos5）.故当sin1 时d 取得最小值且min41220d.10 分23.解:（1）当1x 时不等式可化为(2)(1)xmx,即1xm.因为0m，故1x .当 12mx 时不等式可化为(2)(1)xmx,即13mx.故113mx.当2mx 时不等式可化为21xmx,即1xm.故1xm.综上，原不等式解集113mx xxm或.5 分(2)依题意 21xmx 在 1 2，上恒成立，即|2|yxm的图像恒在直线1yx 上方，如图.又1yx 过点2,1，则只需12m 或2ymx在2x 时的函数值大于等于 1.即2m 或5m.实数m 的取值范围为2m m 或5m.10 分
