1、【A级】基础训练1放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变,假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)M02,其中M0为t0时铯137的含量,已知t30时,铯137的含量的变化率是10ln2(太贝克/年),则M(60)()A5太贝克B75ln2太贝克C150ln2太贝克 D150太贝克解析:因为M(t)ln2M02,则M(30)ln2M0210ln 2,解得M0600,所以M(t)6002,那么M(60)6002600150(太贝克),所以选D.答案:D2下列函数求导运算正确的个数为()
2、(3x)3xlog3e;(log2x);(ex)ex;x;(xex)ex1.A1 B2C3 D4解析:求导运算正确的有2个,故选B.答案:B3(2014咸宁模拟)函数f(x)mx3(m1)x2x2,若f(1)18,则m()A4 B3C5 D6解析:f(x)3mx22(m1)x1,f(1)3m2m2118,m3.答案:B4(2014宜昌模拟)已知函数f(x)x33xf(0),则f(1)等于_解析:f(x)x23f(0),f(0)03f(0),即f(0)0,f(x)x2,则有f(1)1.答案:15(2014随州模拟)已知函数f(x)2xsin x,则当x时,其导函数的值为_解析:f(x)2sin
3、x2xcos x,f2sin2cos2.答案:26曲线C:f(x)sin xex2在x0处的切线方程为_解析:f(x)cos xex,在x0处的切线斜率kf(0)e0cos 02.又切点坐标为(0, 3),切线方程为y2x3.答案:y2x37求下列函数的导数:(1)y;(2) y(x1)(x2)(x3);(3)ysin;(4)y;(5)y.解:(1)yxx3,y(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6,y3x212x11.(3)ysin sin x,y(sin x)cos x. (4)y,y.(5)ycos xsin x
4、,ysin xcos x.8(2014渭南质检)已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10,且点P0在第三象限(1)点P0的坐标;(2)若直线ll1,且l也过切点P0,求直线l的方程解:(1)由yx3x2,得y3x21,由已知令3x214,解之得x1.当x1时,y0;当x1时,y4.又点P0在第三象限,切点P0的坐标为(1,4)(2)直线ll1,l1的斜率为4,直线l的斜率为.l过切点P0,点P0的坐标为(1,4)直线l的方程为y4(x1),即x4y170.【B级】能力提升1(2014深圳模拟)已知f(x)ln x(x0),f(x)的导数是f(x),若af(7),bf,cf,则
5、a、b、c的大小关系是()Acba BabcCbca Dbaba.答案:B2(2014河南郑州模拟)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,2),则ab()A8 B6C1 D5解析:由题意得ykx1过点A(1,2),2k1,即k1.曲线y3x2a,又直线ykx1与曲线相切于点(1,2),yk,且y|x13a,即13a,a2,点A(1,2)代入曲线方程yx3axb,可解得b3.ab(2)38.故选A.答案:A3已知点P在曲线y上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是()A. BC. D解析:y,y1.当且仅当ex,即x0时,“”成立又y0,1y0.倾斜角为,则1tan 0,又a0,
6、),0)的图像在点(ak,a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1,其中kN,若a116,则a1a3a5的值是_解析:由yx2(x0),得y2x,所以函数yx2(x0)在点(ak,a)处的切线方程为:ya2ak(xak),当y0时,解得x,所以ak1,a1a3a5164121.答案:216函数yf(x)g(x)在求导数时,可以运用对数法:在函数解析式两边求对数得lnyg(x)lnf(x),两边求导数得g(x)lnf(x)g(x),于是yf(x)g(x)g(x)lnf(x)g(x)运用此方法可以求得yx(x0)的导数为_解析:对yx(x0)两边取对数得lnylnx,两边求导得,yx.x2(1ln x)答案:yx2(1ln x)7(创新题)已知曲线Cn:ynx2,点Pn(xn,yn)(xn0,yn0)是曲线Cn上的点(n1,2,)(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程,并求出ln与y轴的交点Qn的坐标;(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值,试求点Pn的坐标(xn,yn)解:(1)y2nx,y|xxn2nxn,切线ln的方程为:ynx2nxn(xxn)即:2nxnxynx0,令x0,得ynx,Qn(0,nx)(2)设原点到ln的距离为d,则d,|PnQn|.所以,当且仅当14n2x,即x(xn0)时,等号成立,此时,xn,所以,Pn.