1、【A级】基础训练1放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量，已知t30时，铯137的含量的变化率是10ln2(太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克B75ln2太贝克C150ln2太贝克 D150太贝克解析：因为M(t)ln2M02，则M(30)ln2M0210ln 2，解得M0600，所以M(t)6002，那么M(60)6002600150(太贝克)，所以选D.答案：D2下列函数求导运算正确的个数为()
2、(3x)3xlog3e；(log2x)；(ex)ex；x；(xex)ex1.A1 B2C3 D4解析：求导运算正确的有2个，故选B.答案：B3(2014咸宁模拟)函数f(x)mx3(m1)x2x2，若f(1)18，则m()A4 B3C5 D6解析：f(x)3mx22(m1)x1，f(1)3m2m2118，m3.答案：B4(2014宜昌模拟)已知函数f(x)x33xf(0)，则f(1)等于_解析：f(x)x23f(0)，f(0)03f(0)，即f(0)0，f(x)x2，则有f(1)1.答案：15(2014随州模拟)已知函数f(x)2xsin x，则当x时，其导函数的值为_解析：f(x)2sin
3、x2xcos x，f2sin2cos2.答案：26曲线C：f(x)sin xex2在x0处的切线方程为_解析：f(x)cos xex，在x0处的切线斜率kf(0)e0cos 02.又切点坐标为(0, 3)，切线方程为y2x3.答案：y2x37求下列函数的导数：(1)y；(2) y(x1)(x2)(x3)；(3)ysin；(4)y；(5)y.解：(1)yxx3，y(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)ysin sin x，y(sin x)cos x. (4)y，y.(5)ycos xsin x
4、，ysin xcos x.8(2014渭南质检)已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)点P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解：(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.【B级】能力提升1(2014深圳模拟)已知f(x)ln x(x0)，f(x)的导数是f(x)，若af(7)，bf，cf，则
5、a、b、c的大小关系是()Acba BabcCbca Dbaba.答案：B2(2014河南郑州模拟)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,2)，则ab()A8 B6C1 D5解析：由题意得ykx1过点A(1,2)，2k1，即k1.曲线y3x2a，又直线ykx1与曲线相切于点(1,2)，yk，且y|x13a，即13a，a2，点A(1,2)代入曲线方程yx3axb，可解得b3.ab(2)38.故选A.答案：A3已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A. BC. D解析：y，y1.当且仅当ex，即x0时，“”成立又y0，1y0.倾斜角为，则1tan 0，又a0，
6、)，0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak1，其中kN，若a116，则a1a3a5的值是_解析：由yx2(x0)，得y2x，所以函数yx2(x0)在点(ak，a)处的切线方程为：ya2ak(xak)，当y0时，解得x，所以ak1，a1a3a5164121.答案：216函数yf(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lnyg(x)lnf(x)，两边求导数得g(x)lnf(x)g(x)，于是yf(x)g(x)g(x)lnf(x)g(x)运用此方法可以求得yx(x0)的导数为_解析：对yx(x0)两边取对数得lnylnx，两边求导得，yx.x2(1ln x)答案：yx2(1ln x)7(创新题)已知曲线Cn：ynx2，点Pn(xn，yn)(xn0，yn0)是曲线Cn上的点(n1,2，)(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn，yn)解：(1)y2nx，y|xxn2nxn，切线ln的方程为：ynx2nxn(xxn)即：2nxnxynx0，令x0，得ynx，Qn(0，nx)(2)设原点到ln的距离为d，则d，|PnQn|.所以，当且仅当14n2x，即x(xn0)时，等号成立，此时，xn，所以，Pn.