1、广东省茂名市2020届高三数学第二次综合测试试题 理本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，23小题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5
2、考试结束后，请将答题卡上交.第一部分 选择题(共60分）1. 若，则复数的虚部为（ ）A.2 B.1 C. D.-12已知集合,，则（ ）A B C D 3. 已知，且则（ ）A.0B. C.1D.4. 下列命题错误的是（ ）A“x2”是“x24x+40”的充要条件B命题“若，则方程x2+xm0有实根”的逆命题为真命题C在ABC中，若“AB”，则“sinAsinB”D命题p：“$x0R，x022x0+40”，则p：“xR，x22x+40”5. 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。河图
3、的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）A. B. C. D.否结束输出m是r0?r=1开始输入m, n求m除以n的余数rm=nn=r6. “辗转相除法”是欧几里得原本中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图. 当输入m=1995，n=228，输出的m是( )A. 3 B. 19 C. 57 D. 1147.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均
4、为8cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）A. B. C. D.8.设偶函数满足，则使不等式成立的取值范围是（ ）A. B. C. D.9.圆M:与双曲线（，）的两条渐近线相切于A、B两点，若，则C的离心率为（ ）A. B. C. 2 D.10.某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：(1)若购买饲料不超过2000元，则不给予优惠；(2)若购买饲料超过2000元但不超过5000元，则按标价给予9折优惠；(3)若购买饲料超过5000元，其500
5、0元内的给予9折优惠，超过5000元的部分给予7折优惠某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：方案一：分两次付款购买，分别为2880元和4850元；方案二：一次性付款购买.若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元A.540 B.620 C.640 D.80011. 已知六棱锥的底面是正六边形，平面，.则下列命题中正确的有( )平面PAB平面PAE；PBAD；直线CD与PF所成角的余弦值为；直线PD与平面ABC所成的角为45;CD平面PAE.A. B. C. D. 12.若关于x的方程在上有唯一实数解，则实数m的取值范围（ ） 第部分非选择题（共90分）二填空题：本大题共4小题，每小题 5
6、分，共20分.13已知向量，若()，则 . 14的展开式中，常数项是 .15.已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则 .16在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，则的a，b的等量关系式为 ，其面积的最大值为 .(本题第一空2分，第二空3分）三.解答（本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.设，数列的前项和为，已知，且，正项的等差数列的首项为2，且成等比数列.(1) 求和的通项公式；(2) 求证：.18.如图，已知内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，是的中点，（1）证明：平面；（2）若四边形为矩形，且四边形所在的平面与圆所在的平面互相垂直
7、，AE与圆O所在的平面的线面角为600求二面角D-AE-B的平面角的余弦值.19.已知椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线:相切.（1）求椭圆的方程（2）若直线：与y轴交点为P，A、B是椭圆上两个动点，它们在y轴两侧,的平分线与y轴重合，则直线AB是否过定点，若过定点，求这个定点坐标，若不过定点说明理由.20.2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，根据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图.观察散点图，两
8、个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数对两个变量的关系进行拟合。参考数据（其中）：0.410.16811.49230620858.44173.850.39（1）求关于的回归方程，并求y关于u的相关系数（精确到0.01）.（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为80元，则签订9千件订单的概率为0.7，签订10千件订单的概率为0.3；若单价定为70元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根据（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元，请说明理由.参考公式
9、：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，相关系数.21. 已知函数，.（1）若,求证：有且只有两个零点（2）有两个极值点,且不等式恒成立，试求实数的取值范围.(二)选考部分：共10分 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C: (q为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程，点M().在直线l上，直线l与曲线C交于A，B两点.（1）求曲线C的普通方程及直线l的参数方
10、程；（2）求OAB的面积.23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|x2|.（1）若f(x)1，求x的取值范围；（2）若f(x)最大值为M，且a+b+c=M，求证：a2+b2+c23.2020年茂名市高三级第二次综合测试数学试题参考答案和评分标准(理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分.123456789101112BDCDACDAACBA2【解析】因为，所以. 故选D.3.【解析】法一：由且，得，法二：由，所以，所以.故选C.4.【解析】由x24x+40(x2)2=0 x2=0 x2，A正确；命题“若，则方程x2+xm0有实根”的逆命题
11、为命题“若方程x2+xm0有实根，则”， 若方程x2+xm0有实根=1+4m0，B正确；在ABC中，若ABabsinAsinB(根据正弦定理)C正确,故选D.5.【解析】因为阳数为：1，3，5，7，9；阴数为：2，4，6，8，10，所以从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：个,满足差的绝对值为5的有:(1，6)，(3，8)，(5，10)，(7，2)，（9，4)共5个,则p= 故选A6. 【解析】输入m=2020，n=303，又r=1.r=10，2020303=6202，r=202，m=303，n=202；r=2020，303202=1101r=101，m=202，n=101；r=1010，20
12、2101=20.r=0，m=101，n=0；r=0，则r0否，输出m=101，故选C.7. 【解析】细沙在上部容器时的体积为，流入下部后的圆锥形沙锥底面半径为4，设高为h，则，下部圆锥形沙锥的母线长，此沙锥的侧面积.故选D.8. 【解析】易知在上为单调递减，且，由得，又因为为偶函数，所以，所以.故选A.ABMoxy9. 【解析】如图所示，,所示故选A10. 【解析】【解析】依题意可得，方案一：第一次付款2880元时，因为，所以该款的原价享受了9折优惠，则其原价为元；第二次付款4850元时，因为，所以其原来的价格为元所以分两次购买饲料的原价为3200+5500=8700元.方案二：若一次性付款，
13、则应付款为：元，所以节省元. 故选C11.【解析】PA平面ABC，PAAB，在正六边形ABCDEF中，ABAE，PAAE=A，AB平面PAE，且AB面PAB，平面PAB平面PAE，故成立；AD与PB在平面的射影AB不垂直，不成立；CD/AF, 直线CD与PF所成角为PFA，在RtPAF中, ,成立在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，故成立CDAF平面PAF，平面PAF平面PAE=PA，直线CD平面PAE也不成立，即不成立故选B12.【答案】【解析】设，所以当时，此时，由题意得，有唯一实数解，有唯一实数解, 令，由对勾函数的性质可知时，在单调递减，在上单调递增，所以在单调递增，在上单调递
14、减，且当时，当时，结合的图象可知，若与的图象有唯一交点，即方程在上有唯一实数解，此时m的取值范围是.故选A二填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.13【答案】3解析： ，即，由已知得，14【答案】60【解析】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，5)，令得，所以常数项是60.15.【答案】【解析】由 ，在点处切线斜率 ，即 所以 16 【答案】b=2a ; 12【解析】等式中 6换为c得：由正弦定理有：，移项整理得：，即，所以，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，设，则化简得： 如图，顶点C在圆上,记圆心为 显然当时，三角形ABC的面积最大, 这时 .三.解答（本大题共5小题
15、，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.解：（1）由得， 1分 即 2分是以首项，公比为的等比数列 3分 4分设等差数列的公差为d，由，且成等比数列. 即5分 6分 7分（2） 由（1）得 8分= 9分= 10分= 11分= 12分18.证明：（1）连结BE，DBCE平行四边形且F为CD中点F为BE中点 1分又O为AB的中点AE 2分AE平面ADE，OF平面ADE 3分平面 4分（2）矩形平面ABC，平面DBCE平面ABC=BC，ECBC，EC平面DBCEEC平面ABC 5分又AB为圆O的直径 ACBC以C点为原点建立如图所示的空间直角坐标系BC=，AC=1由EC
16、平面ABC得，EAC就是AE与平面ABC所成的角由tan600=得，CE= 6分A（1，0，0），E（0，0，），D（0，），B（0，0）7分=（-1，0，），=(-1,),=(-1,0) 8分设平面AED的一个法向量，由得即，所以9分同理可得，平面AEB的一个法向量 10分 11分二面角D-AE-B二面角D-AE-B的平面角的余弦值为 12分19.解：（1）抛物线的焦点为，所以 c= 1分 直线:与圆相切， 2分 3分椭圆的方程是 4分（2）b=1，直线与y轴交点P（0，2），5分设椭圆上A、B两个动点的坐标为：. AB方程为： 由 6分 8分又的平分线在y轴上 .10分m=, 11分直线恒
17、过定点 12分20.【解析】（1）令，则可转化为，因为， 1分所以，2分则，3分所以，因此y关于的回归方程为； 4分与u的相关系数为：，6分（2）法一：（i）若产品单价为80元，记企业利润为（元），订单为9千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为（元），7分订单为10千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为（元），8分企业利润（元）的分布列为2600003000000.70.3所以（元）；9分（ii）若产品单价为70元，记企业利润为（元），订单为10千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为（元），订单为11千件时，每件产品的成本为元，企业的利润为（元），10分企业利润（元）的分布列为20000
18、02300000.30.7所以（元）， 11分 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元. 12分法二：（i）若产品单价为80元，记企业的产量为（千件），其分布列为9100.70.3所以 8分企业的利润为： 9分 （ii）若产品单价为70元，记企业的产量为（千件），其分布列为10110.30.7所以 10分企业的利润为： 11分 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择80元. 12分21. 解:(1)定义域为，又 1分所以在是减函数，在是增函数 2分又， 所以在有唯一零点，且在也有且只有唯一零点，3分同理，所以在有唯一零点，且在也有且只有唯一零点 4分所以有且只有两个零点 5分（2）定义域
19、为， 有两个极值点，即，有两不等实根 6分， 且， 7分从而, 8分由不等式 恒成立，得 恒成立 10分令,当时恒成立，所以函数在上单调递减， 11分故实数的取值范围是 12分(二)选考部分： 22.解：（）将曲线C: 消去参数得，曲线C的普通方程为：.1分点M()在直线上，a=. 2分，展开得(rcosq+rsinq)=, 又xrcosq，yrsinq，直线l的直角坐标方程为x+y2=0, 4分显然l过点(1, 1), 倾斜角为.直线l的参数方程为(t为参数). 5分（）法一：由（），将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得：， 6分整理得，显然0设A, B对应的参数为t1, t2, 则由韦
20、达定理得，. 7分由参数t的几何意义得|AB|=| t1t2|=， 8分又原点O到直线l的距离为d=. 9分因此，OAB的面积为S=. 10分法二：由（）可知，直线l的直角坐标方程为x+y2=0,联立,整理得，显然0 6分设A, B对应的坐标为t1则由韦达定理得，. 7分所以 8分又原点O到直线l的距离为d=. v9分因此，OAB的面积为S=. 10分法三：由（）可知，直线l的直角坐标方程为x+y2=0,联立,整理得，显然0 6分设A, B对应的坐标为则由韦达定理得，. 7分因为直线l过椭圆右顶点（2,0），所以，8分把代入直线l的方程得9分因此，OAB的面积为S=. 10分23解：()由已知 1分当x2时，f(x)=3，不符合； 2分当1x2时，f(x)=2x1，由f(x)1，即2x11，解得x1； 3分当x1时，f(x)= 3，f(x)1恒成立. 4分综上，x的取值范围是. 5分() ,由()知当且仅当x2时，f(x)=3， 6分所以M= f(x)Max=3.即a+b+c=3， 7分因为a2+b22ab，a2+c22ac，c2+b22cb， 8分所以2(a2+b2+c2)2(ab+ac+cb)所以3(a2+b2+c2)a2+b2+c2+2ab+2ac+2cb=(a+b+c)2=9 9分因此(a2+b2+c2)3 10分
