1、1平面向量 5 类解题技巧(“爪子定理”、系数和(等和线)、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题)技法 01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如 AD=xAB+yAC条件的应用(“爪子定理”)“爪”字型图及性质：(1)已知 AB,AC为不共线的两个向量，则对于向量 AD，必存在 x,y，使得 AD=xAB+yAC。则 B,C,D 三点共线 x+y=1当 0 x+y 1，则 D 与 A 位于 BC 两侧x+y=1 时，当 x 0,y 0，则 D 在线段 BC 上；当 xy 0，则 D 在线段
2、 BC 延长线上(2)已知 D 在线段 BC 上，且 BD:CD=m:n，则 AD=nm+n AB+mm+n AC1(全国高考真题)设 D 为 ABC 所在平面内一点，且 BC=3CD，则()A.AD=-13 AB+43 ACB.AD=13 AB-43 ACC.AD=43 AB+13 ACD.AD=43 AB-13 AC【解析】2解析：由图可想到“爪字形图得：AC=14 AB+34 AD，解得：AD=-13 AB+43 AC答案：A2(2023 江苏模拟)如图，在 ABC 中，AN=13 NC，P 是 BN 上的一点，若 AP=mAB+211 AC，则实数 m 的值为()A.911B.511C
3、.311D.211【解析】解：观察到 B,P,N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP=mAB+nAN，且 m+n=1，由 AN=13 NC可得 AN=14 AC，所以 AP=mAB+14 nAC，由已知 AP=mAB+211 AC可得：14 n=211 n=811，所以 m=311答案：C1(2022全国统考高考真题)在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，BD=2DA记 CA=m，CD=n，则 CB=()A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出【详解】因为点 D 在边 AB 上，BD=2DA，所以 BD=2DA，
4、即 CD-CB=2 CA-CD，3所以 CB=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n故选：B2(全国高考真题)在 ABC 中，AB=c，AC=b若点 D 满足 BD=2DC，则 AD=()A.23 b+13 cB.53 c-23 bC.23 b-13 cD.13 b+23 c【答案】A【详解】试题分析：AD=AB+BD=c+23 AC-AB=c+23 b-c=23 b+13 c，故选 A3(2020新高考全国 1 卷统考高考真题)已知平行四边形 ABCD，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点(如图所示)，设 AB=a，AD=b，则 EF等于()A.12 a+bB.12 a-bC.12 b-
5、aD.12 a+b【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结 AC，则 AC 为 ABC 的中位线，EF=12 AC=12 a+12 b，故选：A4(全国高考真题)在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB=()A.34 AB-14 ACB.14 AB-34 ACC.34 AB+14 ACD.14 AB+34 AC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 BE=12 BA+12 BD，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到 BC=BA+AC，之后将其合并，得到 BE=34 BA+14 AC，下一步应用
6、相反向量，求得 EB=34 AB-14 AC，从而求得结果.4【详解】根据向量的运算法则，可得BE=12 BA+12 BD=12 BA+14 BC=12 BA+14 BA+AC=12 BA+14 BA+14 AC=34 BA+14 AC，所以 EB=34 AB-14 AC，故选 A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5(江苏高考真题)设 D、E 分别是 ABC 的边 AB，BC 上的点，AD=12 AB，BE=23 BC.若DE=1AB+2AC(1
7、,2为实数)，则 1+2的值是【答案】12【详解】依题意，DE=DB+BE=12 AB+23 BC=12 AB+23(AC-AB)=-16 AB+23 AC，-16 AB+23 AC=1AB+2AC，1=-16，2=23，故 1+2=-16+23=12.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.技法 02系数和(等和线)的应用及解题技巧近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定5理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的
8、代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用知识迁移如图，P 为 AOB 所在平面上一点，过 O 作直线 l AB，由平面向量基本定理知：存在 x,y R，使得 OP=xOA+yOB下面根据点 P 的位置分几种情况来考虑系数和 x+y 的值若 P l 时，则射线 OP 与 l 无交点，由 l AB 知，存在实数，使得 OP=AB而 AB=OB-OA，所以 OP=OB-OA，于是 x+y=-=0若 P l 时，(i)如图 1，当 P 在 l 右侧时，过 P 作 CD AB，交射线 OA，OB 于 C,D 两点，则OCD OAB，
9、不妨设 OCD 与 OAB 的相似比为 k由 P,C，D 三点共线可知：存在 R 使得：OP=OC+(1-)OD=kOA+k(1-)OB所以 x+y=k+k(1-)=k(ii)当 P 在 l 左侧时，射线 OP 的反向延长线与 AB 有交点，如图 1 作 P 关于 O 的对称点 P，由(i)的分析知：存在存在 R 使得：OP=OC+(1-)OD=kOA+(1-)OB所以 OP=-kOA+-(1-)OB于是 x+y=-k+-k(1-)=-k综合上面的讨论可知：图中 OP用 OA,OB线性表示时，其系数和 x+y 只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接
10、圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过 O 作 AB 边的垂线 l，设点 P 在 l 上的射影为 P，直线 l 交直线 AB 于点 P1，则|k|=|OP|OP1|(k 的符号由点 P 的位置确定)，因此只需求出|OP|的范围便知 x+y 的范围61(全国高考真题)在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若 AP=AB+AD，则 +的最大值为()A.3B.2 2C.5D.2【解析】【系数和】分析：如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l 与圆相切时，+最大，此时+=AFA
11、B=AB+BE+EFAB=3ABAB=3,故选 A.2(衡水中学二模)边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD(含短点)上运动，P 是圆 Q 上及其内部的动点，设向量 AP=mAB+nAF(m,n R)，则 m+n 的取值范围是()A.1,2B.5,6C.2,5D.3,5【解析】分析:如图，设 AP=mAB+nAF，由等和线结论，m+n=AGAB=2ABAB=2.此为 m+n 的最小值；同理，设 AP=mAB+nAF，由等和线结论，m+n=AHAB=5.此为 m+n 的最大值.综上可知 m+n 2,5.73 已知 ABC 为边长为 2 的等边三角形，动
12、点 P 在以 BC 为直径的半圆上.若 AP=AB+AC，则2+的取值范围是【解析】【解析】如图,取 AB 中点为 D,AP=AB+AC=2AD+AC显然,当 P 与 C 重合时,2+取最小值 1.将 CD 平行移动至与 O 相切处,P 为切点时,2+取最大值.延长 PO 交 CD 于 G,易知 OG=OF=FP=12.由等和线及平行截割定理,EFFP=2,APAE=52.所以 2+的最大值为 52.故 2+的取值范围是 1,52.1 在矩形 ABCD 中，AB=1,AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若 AP=AB+AD，则 +的最大值为()A3B2 2C5D2解：
13、如图所示：8过 A 作 BD 的垂线，垂足为 H，则 AH=CE=CF=r，当 E,C，P 三点共线时，高线最长，即(+)max=3rr=32 如图，正六边形 ABCDEF，P 是 CDE 内(包括边界)的动点，设 AP=AB+AF(,R)，则 +的取值范围是解：连接 BF,AD 因为正六边形 ABCDEF，由对称性知道BF AD，AD EC，设 BF 与 AD 交于点 G，CE 与 AD 交于点 H，当 P 在 CE 上时，AP 在 AD 上射影最小为 AH；当 P 与 D 重合时，AP 在 AD 上射影最大为 AD；则|AH|AG|+|AD|AG|设|AB|=x，则|AG|=|HD|=x2
14、，|GH|=|BC|=x，|AD|=2x，则 3 +43 如图在直角梯形 ABCD 中，AB CD，AB AD，AD=DC=1，AB=3，动点 P 在以 C 为圆心，且与直线 BD 相切的圆内运动，设 AP=AD+AB(,R)则 +的取值范围是9解：设圆 C 与直线 BD 相切于点 E，过 A 作 AG BD 于 G，作直线 l DB，且直线 l 与圆 C 相切与 F，连 EF，则 EF 过圆心，且 EF BD，由图可知，对圆 C 内任意一点 PAP 在直线 AG 上的射影长度 d 满足：|AG|d|AG|+|EF|，又|AG|=|AD|AB|DB|=310，|EF|=2|EC|=2|CD|s
15、inABD=210所以310 d 510而 +=dAG，所以 1 +534 若点 C 在以 P 为圆心,6 为半径的弧 AB上,且 PC=xPA+yPB,则 2x+3y 的取值范围为【解析】令 PC=(2x+3y)PD,则 PD=x2x+3y PA+y2x+3y PB,即 PD=2x2x+3y PA1+3y2x+3y PB1,其中 PA1=12 PA,PB1=13 PB.由2x2x+3y+3y2x+3y=1 知点 D 在线段 A1B1上,如下图:由于在 PA1B1中,PA1=3,PB1=2,A1PB1=120,且点 D 在线段 A1B1上(含端点 A1,B1,因此|PH|PD|PA1,其中 P
16、H 是边 A1B1上的高.A1B1 2=PB1-PA12=PB1 2+PA1 2-2PB1 PA1=19可得 A1B1=19.SPA1B1=12 PA1 PB1 sinA1PB1=12 A1B1|PH|可得|PH|=3 5719.所以,3 5719|PD|3.10再由 PC=(2x+3y)PD可知 2x+3y=|PC|PD|=6|PD|2,2 573.5(2023浙江高三专题练习)如图，在直角梯形 ABCD 中，AB AD，AB DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为 12，且点 P 在图中阴影部分(包括边界)运动若AP=xAB+yAC，其中 x，y R，则 4x
17、-y 的取值范围是()A.2，3+3 24B.2，3+52C.3-24，3+52D.3-172，3+172【答案】B【分析】建立直角坐标系，将 4x-y 由 P 点坐标转化后数形结合求解【详解】以 A 点为坐标原点，AB,AD方向为 x,y 轴正方向建立直角坐标系，则 A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1)，AB=(2,0),BC=(-1,1)，设 P(m,n)，则 m=2x-yn=y，解得 x=m+n2y=n，故 z=4x-y=2m+n，即 n=-2m+z，数形结合可得当 P 12,1时，z 取最小值 2，当直线与圆(x-1)2+(y-1)2=14 相切时，|3-z|5=12
18、，z 取得最大值 3+52 .故选：B技法 03极化恒等式的应用及解题技巧11利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。知识迁移极化恒等式a b=(a+b)2-(a-b)24恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”
19、与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形 ABCD 中,AB=a,AD=b则 a b=(AB+AD)2-(AB-AD)24在上述图形中设平行四边形 ABCD 对角线交于 M 点,则对于三角形来说:a b=(AB+AD)2-(AB-AD)24=|AM|2-|DB|241(全国高考真题)设向量 a，b 满足 a+b=10，a-b=6，则 a b=()12A.1B.2C.3D.5【解析】由极化恒等式可得：a b=(a+b)2-(a-b)24=a+b2-a-b24=1，故选 A2(2023全国统考高考真题)正方形 ABCD 的边长是 2，E 是 AB
20、 的中点，则 EC ED=()A.5B.3C.2 5D.5【解析】设 CD 中点为 O 点，由极化恒等式可得：EC ED=EO2-14 DC2=3故选：B.1(江苏高考真题)如图，在 ABC 中，D 是 BC 的中点，E,F 是 A,D 上的两个三等分点，BA CA=4，BF CF=-1，则 BE CE的值是.【答案】78极化恒等式BA CA=AB AC=AD2-BD2=4,BF CF=FB FC=FD2-BD2=-1BE CE=EB EC=ED2-BD2因为 E、F 是 AD 上的两个三等分点,所以|AD|=32|ED|,|FD|=12|ED|联立解得:|ED|2=52,|BD|2=138所
21、以 BE CE=782 如图,在 ABC 中,已知 AB=4,AC=6,BAC=60,点 D,E 分別在边 AB,AC 上,且 AB=2AD,AC=3AE,若 F 为 DE 的中点,则 BF DE的值为13解：取 BD 的中点 N,连接 NF,EB,则 BE AE BE=2 3,在 DEB 中,FN 12 EB FN=3,BF DE=2FB FD=2 FN 2-14 DB 2=2 FN 2-1 BF DE=43(2022北京统考高考真题)在 ABC 中，AC=3,BC=4,C=90 P 为 ABC 所在平面内的动点，且 PC=1，则 PA PB的取值范围是()A.-5,3B.-3,5C.-6,
22、4D.-4,6【答案】D记 AB 的中点为 M，连接 CM，则 CM=52由极化恒等式可得：PA PB=PM2 14 AB2=PM2 254 PMmax=CM+1=72,PA PB=PM2 254=6 PMmax=CM 1=32,PA PB=PM2 254=4即 PA PB-4,6故选：D技法 04奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧14平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、极化恒等式、本技法我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向
23、量完美地融合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的 logo 相似而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。知识迁移1.奔驰定理如图，已知 P 为 ABC 内一点，则有 SPBC OA+SPAC OB+SPAB OC=0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2.奔驰定理的证明如图：延长 OA 与 BC 边相交于点 D则 BDDC=SABDSACD=SBODSCOD=SABD-SBODSACD-SCOD=SAOBSAO
24、COD=DCBC OB+BDBC OC=SAOCSAOC+SAOBOB+SAOBSAOC+SAOBOC ODOA=SBODSBOA=SCODSCOA=SBOD+SCODSBOA+SCOA=SBOCSAOC+SAOB OD=-SBOCSAOC+SAOBOA15-SBOCSAOC+SAOBOA=SAOCSAOC+SAOBOB+SAOBSAOC+SAOBOC SBOC OA+SAOC OB+SAOB OC=03.奔驰定理的推论及四心问题推论 O 是 ABC 内的一点,且 x OA+y OB+z OC=0,则 SBOC:SCOA:SAOB=x:y:z有此定理可得三角形四心向量式(1)三角形的重心：三角
25、形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1.(2)三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.(3)三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 r.(4)三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点 O 在 ABC 内部，有以下四个推论：若 O
26、为 ABC 的重心，则 OA+OB+OC=0；若 O 为 ABC 的外心，则 sin2A OA+sin2B OB+sin2C OC=0；或 OA=OB=OC若 O 为 ABC 的内心，则 a OA+b OB+c OC=0；备注：若 O 为 ABC 的内心，则 sinA OA+sinB OB+sinC OC=0 也对.若 O 为 ABC 的垂心，则 tanA OA+tanB OB+tanC OC=0，或 OA OB=OB OC=OCOA1(宁夏高考真题)已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA=OB=OC,NA+NB+NC=0，且 PAPB=PBPC=PCPA，则点 O，N，P 依次是
27、 ABC 的(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心)A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心16【解析】因为 OA=OB=OC，所以 O 到定点 A,B,C 的距离相等，所以 O 为 ABC 的外心，由 NA+NB+NC=0，则 NA+NB=-NC，取 AB 的中点 E，则 NA+NB=-2NE=CN，所以 2 NE=CN，所以 N 是 ABC 的重心；由 PAPB=PBPC=PCPA，得(PA-PC)PB=0，即 AC PB=0，所以 AC PB，同理 AB PC，所以点 P 为 ABC 的垂心，故选 C.2(江苏高考真题)O 是平面上一定点，A、B、C
28、是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP=OA+AB|AB|+AC|AC|，0,+)，则 P 的轨迹一定通过 ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】【详解】OP-OA=AP，AP=AB|AB|+AC|AC|令 AB|AB|+AC|AC|=AM，则 AM是以 A 为始点，向量 AB|AB|与 AC|AC|为邻边的菱形的对角线对应的向量，即 AM在 BAC 的平分线上，AP=AM，AP,AM共线，故点 P 的轨迹一定通过 ABC 的内心，故选：B3(2023全国高三专题练习)奔驰定理：已知点 O 是 ABC 内的一点，若 BOC,AOC,AOB 的面积分别记为 S1,S2,S3
29、，则 S1 OA+S2 OB+S3 OC=0“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”如图，已知 O 是 ABC 的垂心，且 OA+2OB+3OC=0，则 cosC=()17A.3 1010B.1010C.2 55D.55【解析】【详解】延长 CO 交 AB 于点 P，O 是 ABC 的垂心，OP AB，S1:S2=12 OC BP:12 OC AP=BP:AP=(OPtanPOB):(OPtanPOA)=tanCOB:tanCOA=tan(-A):tan(-B)=tanA:tanB同理可得 S1:S3=ta
30、nA:tanC，S1:S2:S3=tanA:tanB:tanC又 S1 OA+S2 OB+S3 OC=0，tanA OA+tanB OB+tanC OC=0又 OA+2OB+3OC=0，tanA:tanB:tanC=1:2:3不妨设 tanA=k,tanB=2k,tanC=3k，其中 k 0 tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC，k=-2k+3k1-2k 3k，解得 k=1当 k=-1 时，此时 tanA 0,tanB 0,tanC 0，故 C 为锐角，sinCcosC=3sin2C+cos2C=1，解得 cosC=1010，故选：B1(2023 春上海长宁高
31、三上海市延安中学校考期末)若 O 是 ABC 内一点，OA+OB+OC=180，则 O 是 ABC 的()A.内心B.外心C.垂心D.重心【答案】D【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.【详解】取线段 AB 的中点 D，连接 OD，则 OA+OB=2OD，而 OA+OB+OC=0，因此 CO=2OD，即 C,O,D 三点共线，线段 CD 是 ABC 的中线，且 O 是靠近中点 D 的三等分点，所以 O 是 ABC 的重心.故选：D2(2023江苏高三专题练习)在 ABC 中，若 HA HB=HB HC=HC HA，则点 H 是 ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心【答案】A
32、【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.【详解】因为 HA HB=HB HC，则 HB HA-HC=HB CA=0，所以 HB CA，即点 H 在边 CA 的高线所在直线上，同理可得：HA CB,HC AB，所以点 H 为 ABC 的三条高线的交点，即点 H 是 ABC 的垂心.故选：A.3(2023 春湖南株洲高三炎陵县第一中学校联考期末)(多选)如图.P 为 ABC 内任意一点，角A,B,C 的对边分别为 a,b,c，总有优美等式 SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0 成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有()A.若 P 是 ABC 的重心，则
33、有 PA+PB+PC=0B.若 aPA+bPB+cPC=0 成立，则 P 是 ABC 的内心19C.若 AP=25 AB+15 AC，则 SABP:SABC=2:5D.若 P 是 ABC 的外心，A=4，PA=mPB+nPC，则 m+n -2,1【答案】AB【分析】对于 A：利用重心的性质 SPBC=SPAC=SPAB，代入 SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0 即可；对于 B：利用三角形的面积公式结合 SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0 与 aPA+bPB+cPC=0 可知点 P 到 AB、BC、CA 的距离相等.对于 C：利用 AB、AC将 PA、PB、PC表示出来，代入
34、 SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0，化简即可表示出 SPBC、SPAC、SPAB的关系式，用 SPAB将 SABP、SABC 表示出来即可得处其比值.对于 D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将 PA=mPB+nPC两边平方，化简可得 m2+n2=1，结合 m、n 的取值范围可得出答案.【详解】对于 A：如图所示：因为 D、E、F 分别为 CA、AB、BC 的中点，所以 CP=2PE，SAEC=12 SABC,SAPC=23 SAEC=13 SABC，同理可得 SAPB=13 SABC、SBPC=13 SABC，所以 SPBC=SPAC=SPAB，又因为 SPBCPA+SPAC
35、PB+SPABPC=0，所以 PA+PB+PC=0.正确；对于 B：记点 P 到 AB、BC、CA 的距离分别为 h1、h2、h3，SPBC=12 a h2,SPAC=12 b h3,SPAB=12 c h1，因为 SPBCPA+SPACPB+SPABPC=0，则 12 a h2 PA+12 b h3 PB+12 c h1 PC=0，即 a h2PA+b h3PB+c h1PC=0，又因为 aPA+bPB+cPC=0，所以 h1=h2=h3，所以点 P 是 ABC 的内心，正确；对于 C：因为 AP=25 AB+15 AC，所以 PA=-25 AB-15 AC，所以 PB=PA+AB=35 A
36、B-15 AC，所以 PC=PA+AC=-25 AB+45 AC，所以 SPBC-25 AB-15 AC+SPAC 35 AB-15 AC+SPAB-25 AB+45 AC=0，化简得：-25 SPBC+35 SPAC-25 SPABAB+-15 SPBC-15 SPAC+45 SPABAC=0，20又因为 AB、AC不共线，所以-25 SPBC+35 SPAC-25 SPAB=0-15 SPBC-15 SPAC+45 SPAB=0，所以 SPBC=2SPABSPAC=2SPAB，所以 SABPSABC=SPABSPBC+SPAC+SPAB=15，错误；对于 D：因为 P 是 ABC 的外心，
37、A=4，所以 BPC=2,PA=PB=PC，所以 PB PC=PB PC cosBPC=0，因为 PA=mPB+nPC，则 PA2=m2 PB2+2mnPB PC+n2 PC2，化简得：m2+n2=1，由题意知 m、n 同时为负，记 m=cosn=sin，32，则 m+n=cos+sin=2sin +4，因为 54 +4 74，所以-1 sin +4-22，所以-2 2sin +4 0，b c=3 0，a b=2 0，a，b，c 三者直接各自的夹角都为锐角，c=1，a c=a ccos a,c=1，b c=b ccos b,c=3，acos a,c=1，bcos b,c=3，即 a 在 c 上
38、的投影为 1，b 在 c 上的投影为 3，A 1,m，B 3,n，如图 a=1,m，b=3,n a b=3+mn=2 即 mn=-1，且 cos a,b=a ba b=21+m2 9+n2则 cos2 a,b=21+m2 9+n22=49+n2+9m2+m2n2=410+n2+9m2，由基本不等式得 n2+9m2 2 n2 9m2=6mn=6，cos2 a,b 14，a 与 b 的夹角为锐角，0 cos a,b 12，由余弦函数可得：a 与 b 夹角的取值范围是3,2，1(湖南高考真题)已知 a,b 是单位向量，a b=0.若向量 c 满足 c-a-b=1,则 c的取值范围是()A.2-1，,
39、2+1B.2-1，,2+2C.1，,2+1D.1，,2+223【答案】A【详解】因为 c-a-b=1，c-(a+b)=1，做出图形可知，当且仅当 c 与(a+b)方向相反且 c-a+b=1 时，c取到最大值；最大值为2+1；当且仅当 c 与(a+b)方向相同且 a+b-c=1 时，c取到最小值；最小值为2-1.2(湖南高考真题)已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动，且 AB BC，若点 P 的坐标为(2，0)，则PA+PB+PC的最大值为A.6B.7C.8D.9【答案】B【详解】由题意，AC 为直径，所以 PA+PB+PC=2PO+PB 4+PB 4+3=7,当且仅当点 B 为(-
40、1，0)时，PA+PB+PC取得最大值 7，故选 B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.3(2023全国高三专题练习)已知平面向量 a=OA，b=OB，c=OC，满足 4OC AC=1-OA2，4OB CB=1-OC2，则向量 a-4b 与 c-2b 所成夹角的最大值是()A.6B.3C.23D.56【答案】A【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运
41、算律可化简已知等式得到 4c2-4a c=1-a2，4b2-4b c=1-c2，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到 cos=a-4b24+34a-4b2，利用基本不等式可求得 cos 32，由此可得 的最大值.【详解】4OC AC=4OC OC-OA=4 OC2-4OC OA=1-OA2，即 4c2-4a c=1-a2，4c2-4a c+a2=2c-a2=1；4OB CB=4OB OB-OC=4 OB2-4OB OC=1-OC2，即 4b2-4b c=1-c2，4b2-4b c+c2=2b-c2=1；设向量 a-4b 与 c-2b 所成夹角为，cos=a-4b c-2ba-4b2 c
42、-2b2=a c-2a b-4b c+8b2a-4b2=a c-2a b+1-c2+4b2a-4b2=2414 a2-1+1-2a b+4b2a-4b2=14 a-4b2+34a-4b2=a-4b24+34a-4b2 2a-4b2434a-4b2=32(当且仅当 a-4b=3 时取等号)；又 0,，max=6.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计算公式，将向量夹角的余弦值表示为关于a-4b2 的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.4(2022浙江湖州湖州市菱湖中学校考模拟预测)已知平面向量 a，b，c 满足 a=
43、1，b=2，a2=a b，2c2=b c，则 c-a2+c-b2的最小值为.【答案】72-3【分析】令 OA=a，OB=b，OC=c，OB 的中点为 D，AB 的中点为 E，OD 的中点为 F，a 与 b 的夹角为，由题意，计算 =3，AB=3，判断出点 C 的轨迹为以 OD 为直径的圆，利用向量基底表示，将2 c-a2+c-b2=2 AC2+BC2转化为 2 c-a2+c-b2=4 CE2+3，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解 2 c-a2+c-b2最小值.【详解】令 OA=a，OB=b，OC=c，OB 的中点为 D，AB 的中点为 E，OD 的中点为 F，a 与 b 的夹角
44、为，连接 CA、CB、CD、CO、EF.由 a=1，b=2，a2=a b，得 1=1 2 cos，cos=12，因为 0,，所以 =3，在 OAB 中，由余弦定理得 AB=3.又由 2c2=b c，得 c c-b2=0，即 OC OC-OD=OC DC=0，所以点 C 的轨迹为以 OD 为直径的圆.因为 2 c-a2+c-b2=2 AC2+BC2=2EC+12 AB2+EC-12 AB2=4 CE2+AB2=4 CE2+3 4 EF-122+3 432-122+3=7-2 3，当且仅当点 C、E、F 共线，且点 C 在点 E、F 之间时，等号成立.所以 c-a2+c-b2的最小值为 72-3.
45、25故答案为：72-3.【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.5(2023四川成都四川省成都市玉林中学校考模拟预测)在平面内，定点 A,B,C,O，满足OA=OB=OC=2，且 OA+OB+OC=0，则 AB=；平面内的动点 P,M 满足 AP=1，PM=MC，则|BM|2的最大值是【答案】2 3494【分析】(1)利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出 OB OC=-2，进而根据 AB=OB-OA，平方后计算出 AB2=12，从而求出 AB=2 3；然后建立平面直角坐标系，设出 P cos,sin，表达出 M3+cos
46、2,3+sin2和 BM2=3sin -3+374，利用三角函数有界性求出最大值.【详解】因为 OA=OB=OC=2，OA+OB+OC=0，所以 OA=-OB+OC，两边平方得：OA 2=-OB+OC=OB 2+2OB OC+OC 2，即 4=4+2OB OC+4，解得：OB OC=-2，因为 AB=OB-OA，所以 AB 2=OB 2+OA 2-2OA OB=4+4+4=12，因为 AB 0所以 AB=2 3；可得到 ABC 是等边三角形，且边长为 2 3，如图，以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，垂直 AB 为 y 轴建立平面直角坐标系，C3,3，B 2 3,0，因为 AP=1，所以设 P cos,sin，0,2，由 PM=MC可得：M 是线段 PC 的中点，则 M3+cos2,3+sin2，则 BM2=3+cos2-2 32+3+sin22=374+32 sin-3 32cos=3sin -3+374，当 sin -3=1 时，BM2=3sin -3+374 取得最大值，最大值为 494.故答案为：2 3，494
