1、2019年春季学期高二年级期中考试理科数学试题(考试时间:120分钟 满分:150分)第I卷(选择题)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合M=x|(x-1)2 4,xR,N=-1,0,1,2,3,则MN=( )A0,1,2 B-1,0,1,2C-1,0,2,3 D0,1,2,32若复数,其中为虚数单位,则它的共轭复数为( )ABCD3下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )A B C D4如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A20B24C28D325已知满足的约束条件则的最小值等于(
2、 )ABCD6中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如11=2(mod3).现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的等于( )ABCD7某市一次高三年级数学统测,经抽样分析,成绩近似服从正态分布,且.该市某校有400人参加此次统测,估计该校数学成绩不低于90分的人数为( )A60 B80 C100 D1208下列选项中,说法正确的是( ) A命题“,”的否定为“,”;B命题“在中,则”的逆否命题为真命题;C已知、m是两条不同的直线,是个平面
3、,若,则;D已知定义在R上的函数,则“为奇函数”是“”的充分必要条件。9已知直线与圆 相交于两点,且(其中为原点),那么的值是( )A BC D10已知都为锐角,若,则的值为()A. B. C. D. 11公差不为0的等差数列的部分项构成等比数列,且,则为( )A20 B22 C24 D2812.已知F1,F2为双曲线C的左,右焦点,过F1的直线分别交C的左,右两支于A,B两点,若AF2B为等腰直角三角形,且AF2B=90,那么C的离心率为( )A2 B C3 D第II卷(非选择题)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13的展开式中,x3的系数是_.(用数字填写答案)14设,向量
4、,且,则=_15若是抛物线上的动点,点在以点为圆心,半径等于1的圆上运动则的最小值为_16已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径。若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为_。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(本题10分)设的内角的对边分别为已知(1)求;(2)若求的面积.18(本题12分)在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行
5、调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标和,制成下图,其中“”表示甲村贫困户,“”表示乙村贫困户.若,则认定该户为“绝对贫困户”,若,则认定该户为“相对贫困户”,若,则认定该户为“低收入户”;若,则认定该户为“今年能脱贫户”,否则为“今年不能脱贫户”.(1)从甲村50户中随机选出一户,求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率;(2)若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户,用表示所选3户中乙村的户数,求的分布列和数学期望;(3)试比较这100户中,甲、乙两村指标的方差的大小(只需写出结论).19(本题12分)如下图,在四棱柱中,点分别为的中点.(1)求证:平面;(2)若四棱柱是长方体,且
6、,求平面与平面所成二面角的正弦值.20(本题12分)已知数列的前项和为,若,且(1)求证:为等比数列;(2)求数列的前项和21(本题12分)已知函数,直线,是图象的任意两条对称轴,且的最小值为(1)求的表达式;(2)将函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,若关于的方程,在区间上有且只有一个实数解,求实数的取值范围22(本题12分)已知点,点是圆上的一个动点,线段的垂直平分线与直线的交点为.(1)求点的轨迹C的方程;(2)过点且斜率不为0的直线与C交于两点,点关于轴的对称点为,证明直线过定点,并求面积的最大值.2019年春季学期高二
7、年级期中考试理科数学答案一、选择题(本大题共12小题,共60分)题号123456789101112答案ABDCACDCCABD二、填空题(本大题共小题,共分)13. 14. 1515. 3 16. 17.解析:(1)由已知以及正弦定理可得 (2)由(I)以及余弦定理可得 . . 18.解析:(1)由图知,在甲村50户中,“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户,所以从甲村50户中随机选出一户,该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为(2)由图知,“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户,其中甲村6户,乙村4户,依题意,的可能值为0,1,2,3.从而, , .所以的分布列为:故的数学期望.(3)这10
8、0户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.19.解析:(1)设的中点为,连接、.为的中点,且.又为四棱柱的棱的中点,且,四边形是平行四边形.又平面, 平面,平面.(2)根据四棱柱是长方体,建立如图所示的空间直角坐标系,设,由已知得.,设平面的一个法向量为,则.取,解得是平面的一个法向量.由已知容易得到是平面的一个法向量.设平面与平面所成二面角的大小为,则.,.平面与平面所成二面角的正弦值为.20. 解析:(1)当n=1时,得:,即,是以为首项,2为公比的等比数列(2)由(1)得,即, - 得:21.解析:(1),由的最小值为可得 最小正周期, (2)将的图象向右平移个单位后,得到的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象 令,在区间上有且只有一个实数解,即函数与在区间上有且只有一个交点,由正弦函数的图像可知或,或 22解:(1)由已知得: ,所以又,所以点的轨迹是以为焦点,长轴长等于4的椭圆,所以点轨迹C的方程是.(2)当存在时,设直线, ,则,联立直线与椭圆得,得,所以直线,令,得,所以直线过定点,(当不存在时仍适合)的面积 ,当且仅当时,等号成立.所以面积的最大值是.