1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第8课时 函数与方程第3页返回导航 数学 1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 yf(x)(xD)，把使的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点(2)几个等价关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与有交点函数yf(x)有f(x)0 x轴零点第4页返回导航 数学(3)函数零点的判定(零点存在性定理)一般地，如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数 yf(x)在区间内有零点，即存在 c(a，b)，使得，这个也就是方程 f(x)0 的根f(
2、a)f(b)0(a，b)f(c)0c第5页返回导航 数学 2二次函数 yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210第6页返回导航 数学 3二分法(1)定义：对于在区间a，b上连续不断且的函数 yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度；求区间(a，b)的中点 c；计算 f(c)；f(a)f(b)
3、0一分为二零点第7页返回导航 数学()若 f(c)0，则 c 就是函数的零点；()若 f(a)f(c)0，则令 bc(此时零点 x0(a，c)；()若 f(c)f(b)0，则令 ac(此时零点 x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值 a(或b)；否则重复.第8页返回导航 数学 4判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点()(2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点()(4)只要函数有零点，我们就可以
4、用二分法求出零点的近似值()(5)函数 y2sin x1 的零点有无数多个()(6)函数 f(x)kx1 在1,2上有零点，则1k12.()第9页返回导航 数学(7)若函数 yf(x)在区间(a，b)内，有 f(a)f(b)0 成立，那么 yf(x)在(a，b)内存在唯一的零点()(8)已知函数 f(x)x2xa 在区间(0,1)上有零点，则实数 a 的取值范围是(2,0)()(9)函数 F(x)f(x)g(x)的零点就是 yf(x)与 yg(x)的交点()(10)若函数 f(x)在a，b上单调，且 f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则 f(a)f(b)0函数 f(x)在a，b上只有一个零点
5、()第10页返回导航 数学 考点一 函数零点的判断和求解命题点1.判断函数零点所在区间2.判断函数零点个数3.求函数零点第11页返回导航 数学 例 1(1)已知函数 f(x)6xlog2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,4)D(4，)第12页返回导航 数学 解析：因为 f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)32log24120，所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4)答案：C第13页返回导航 数学(2)函数 f(x)xcos x2 在区间0,4上的零点个数为()A4 B5C6 D7第14页返回导航 数学 解析：当 x0 时
6、，f(x)0.又因为 x0,4，所以 0 x216.因为 516112，所以函数 ycos x2 在 x2 取2，32，52，72，92 时为 0，此时 f(x)0，所以 f(x)xcos x2 在区间0,4上的零点个数为 6.答案：C第15页返回导航 数学(3)若 f(x)x2x1，x2或x1，1，1x2，则函数 g(x)f(x)x 的零点为_第16页返回导航 数学 解析：求函数 g(x)f(x)x 的零点，即求 f(x)x 的根，x2或x1，x2x1x或1x2，x1.解得 x1 2或 x1.g(x)的零点为 1 2，1.答案：1 2，1第17页返回导航 数学 方法引航 1直接求零点：令 f
7、x0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.2零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 fafb0，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点.3利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.第18页返回导航 数学 1(2017浙江温州十校联考)设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)第19页返回导航 数学 解析：选 B.法一：f(1)ln 11210，f(2)ln 20，f(1)f(2)0，函数 f(x)l
8、n xx2 的图象是连续的，函数 f(x)的零点所在的区间是(1,2)第20页返回导航 数学 法二：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)ln x，h(x)x2 图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)第21页返回导航 数学 2函数 y|log2x|12x 的零点个数是()A0 B1C2 D4第22页返回导航 数学 解析：选 C.令 y|log2x|12x0，即|log2x|12x，在同一坐标系下作出 y|log2x|和 y12x 的图象(图略)，易知两图象有 2 个交点，即函数有 2 个零点第23页返回导航 数学 3已知 f(x)是定义在
9、R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x，则函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A1,3 B3，1,1,3C2 7，1,3 D2 7，1,3第24页返回导航 数学 解析：选 D.法一：求出当 x0 时 f(x)的解析式，分类讨论解方程即可令 x0，则x0，所以 f(x)(x)23xx23x.因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)所以当 x0 时，f(x)x23x.所以当 x0 时，g(x)x24x3.令 g(x)0，即 x24x30，解得 x1 或 x3.当 x0 时，g(x)x24x3.第25页返回导航 数学 令 g(x)0，即 x24x30，解得 x
10、2 70(舍去)或 x2 7.所以函数 g(x)有三个零点，故其集合为2 7，1,3第26页返回导航 数学 法二：令 g(x)0，即 f(x)x30，f(x)x3，作 yf(x)与 yx3 的图象，由图象可知有 3 个交点y 轴右侧有 2 个交点，其零点为 1 或 3.y 轴左侧一个零点 x3，故选 D.第27页返回导航 数学 考点二 二次函数零点问题命题点1.判断二次函数零点问题2.已知二次函数零点求参数第28页返回导航 数学 例 2(1)若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C
11、(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内第29页返回导航 数学 解析：本题考查零点的存在性定理依题意得 f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，因此由零点的存在性定理知 f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内，故选 A.答案：A第30页返回导航 数学(2)是否存在这样的实数 a，使函数 f(x)x2(3a2)xa1 在区间1,3上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由第31页返回导航 数学 解：令 f(x)0，则(3a2)24(a1)9a216a89a892890，即 f(x)0 有两个不相等的实数
12、根，若实数 a 满足条件，则只需 f(1)f(3)0 即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a15或 a1.检验：(1)当 f(1)0 时，a1，所以 f(x)x2x.第32页返回导航 数学 令 f(x)0，即 x2x0，得 x0 或 x1.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故 a1.(2)当 f(3)0 时，a15，此时 f(x)x2135 x65.令 f(x)0，即 x2135 x650，解得 x25或 x3.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故 a15.综上所述，a15或 a1.第33页返回导航 数学 方法引航 解决二次函数的零点问题的方法
13、1可利用一元二次方程的求根公式；2可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；3利用二次函数的图象列不等式组.第34页返回导航 数学 1在本例(2)中，若 a0，求 f(x)在1,3上的零点第35页返回导航 数学 解析：当 a0 时，f(x)x22x10，(x1)22，x1 21,3，x1 21,3故 f(x)在1,3上的零点为 1 2.第36页返回导航 数学 2在本例(2)中，条件不变，若 f(x)在1,3内有两个不同零点，求 a 的范围第37页返回导航 数学 解析：由题意得13a223 f11302a10 f393302a10 0 即 43a43，a1，a15.解得15a1.第38页返回
14、导航 数学 思想方法唇齿相依的函数与方程函数与方程思想函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程(组)或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决第39页返回导航 数学 典例 设函数 f(x)3x1，x1，2x，x1，则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是()A.23，1 B.0，1C.23，D1，)第40页返回导航 数学 解析 利用分段函数求值的基本方法
15、分段求解由 f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当 a1 时，有 3a11，a23，23a1.当 a1 时，有 2a1，a0，a1.综上，a23，故选 C.答案 C第41页返回导航 数学 回顾反思 首先用函数思想处理 f(f(a)的表达式：结合分段函数，讨论自变量 a 的取值，求函数值 f(a)的取值进而确定 f(f(a)表达式，其次，再将方程 f(f(a)2f(a)转化为函数 h(a)f(f(a)2f(a)，研究函数零点，确定方程根第42页返回导航 数学 高考真题体验1(2016高考全国甲卷)已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)2f(x)，若函数 yx1x 与 yf(x)图象的交点为(
16、x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则i1m(xiyi)()A0 BmC2mD4m第43页返回导航 数学 解析：选 B.因为 f(x)f(x)2，yx1x 11x，所以函数 yf(x)与 yx1x 的图象都关于点(0,1)对称，所以i1mxi0，i1myim22m，所以i1m(xiyi)m，故选 B.第44页返回导航 数学 2(2015高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21第45页返回导航 数学 解析：选 A.ycos x 是偶函数且有无数多个零点，ysin x 为奇函数，yln x 既不是奇函数也不是偶函数，yx21
17、是偶函数但没有零点，故选 A.第46页返回导航 数学 3(2014高考山东卷)已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是()A.0，12B.12，1C(1,2)D(2，)第47页返回导航 数学 解析：选 B.在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图所示，方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 ykx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 yx1 的斜率时符合题意，故12k1.第48页返回导航 数学 4(2015高考湖南卷)若函数 f(
18、x)|2x2|b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_第49页返回导航 数学 解析：令|2x2|b0，得|2x2|b，由题意可知函数 y|2x2|与 yb 的图象有两个交点，结合函数图象(图略)可知，0b2.答案：(0,2)第50页返回导航 数学 5(2016高考浙江卷)已知 ab1.若 logablogba52，abba，则 a_，b_.第51页返回导航 数学 解析：由于 ab1，则 logab(0,1)，因为 logablogba52，即logab1logab52，所以 logab12或 logab2(舍去)，所以 b，即ab2，所以 ab(b2)bb2bba，所以 a2b，b22b，所以
19、 b2(b0 舍去)，a4.答案：4 2第52页返回导航 数学 6(2016高考山东卷)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_第53页返回导航 数学 解析：f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，当 xm 时，f(x)x22mx4m(xm)24mm2，其顶点为(m,4mm2)；当 xm 时，函数 f(x)的图象与直线 xm 的交点为 Q(m，m)当m0，4mm2m，即 0m3 时，函数 f(x)的图象如图 1 所示，易得直线 yb 与函数 f(x)的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；第54页返回导航 数学 当4mm2m，m0，即 m3 时，函数 f(x)的图象如图 2 所示，则存在实数 b 满足 4mm2bm，使得直线 yb 与函数 f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意综上，m 的取值范围为(3，)答案：(3，)第55页返回导航 数学 课时规范训练
