1、2015-2016学年安徽省六安一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在ABC中，若sinA，cosA是关于x的方程3x22x+m=0的两个根，则ABC是 （）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定2函数y=Asin（x+）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）Ay=2sin（2x+）By=2sin（2x+）Cy=2sin（）Dy=2sin（2x）3已知非零向量，满足=2， =k+，给出以下结论：若与不共线，与共线，则k=2；若与不共线，与共线，则k=2；存在实数k，使得与不共线，与共
2、线；不存在实数k，使得与不共线，与共线其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个4已知为锐角，且有，tan（+）+6sin（+）1=0，则sin的值是（）ABCD5已知两点A（1，2），B（3，1）到直线l距离分别是，则满足条件的直线l共有（）条A1B2C3D46（理科）已知两点A（0，3），B（4，0），若点P是圆x2+y22y=0上的动点，则ABP面积的最小值为（）A6BC8D7已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y22y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A3BCD28函数y=sin2x+2cos
3、x（）的最大值与最小值分别为（）A最大值，最小值为B最大值为，最小值为2C最大值为2，最小值为D最大值为2，最小值为29如图，点P在半径为1的半圆上运动，AB是直径，当P沿半圆弧从A到B运动时，点P经过的路程x与APB的面积y的函数y=f（x）的图象是下图中的（）ABCD10已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4 满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1x2x3x4，则的取值范围是（）A（20，32）B（9，21）C（8，24）D（15，25）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度
4、数为12已知sin（）=，则sin（+）=13已知0，直线xsin+ycos1=0和圆C：（x1）2+（ycos）2=相交所得的弦长为，则=14已知函数f（x）=sin（x+），其中x，若f（x）的值域是，1，则a的取值范围是15如图ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点， =+m，向量的终点M在ACD的内部（不含边界），则实数m的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16已知函数f（x）=2sin（2x），xR（1）在给定的平面直角坐标系中，画函数f（x）=2sin（2x），x0，的简图；（2）求f（x）=2sin（2x）
5、，x，0的单调增区间；（3）函数g（x）=2cos2x的图象只经过怎样的平移变换就可得到f（x）=2sin（2x），xR的图象？17已知圆C：x2+（y1）2=5，直线l：mxy+1m=0，且直线l与圆C交于A、B两点（1）若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）若点P（1，1），满足2=，求直线l的方程18平面内有一个ABC和一点O（如图），线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设=， =， =（1）试用，表示向量，；（2）证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分19已知：以点C（t，）（tR，t0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O
6、，B，其中O为原点（）当t=2时，求圆C的方程；（）求证：OAB的面积为定值；（）设直线y=2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程20已知f（x）=sin2（2x）2tsin（2x）+t26t+1（x，）其最小值为g（t）（1）求g（t）的表达式；（2）当t1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围2015-2016学年安徽省六安一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在ABC中，若sinA，cosA是关于x的方程3x22x+m=0的两
7、个根，则ABC是 （）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定【考点】三角形的形状判断【分析】根据根与系数之间的关系以及三角函数的运算公式即可得到结论【解答】解：sinA，cosA是关于x的方程3x22x+m=0的两个根，sinA+cosA=，sinAcosA=，则平方得1+2sinAcosA=，即sinAcosA=0，在ABC中，sinA0，则cosA0，即A是钝角，故ABC是钝角三角形，故选：A2函数y=Asin（x+）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）Ay=2sin（2x+）By=2sin（2x+）Cy=2sin（）Dy=2sin（2x）【考点】由y=Asin（x+）的部
8、分图象确定其解析式【分析】根据已知中函数y=Asin（x+）在一个周期内的图象经过（，2）和（，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，值后，即可得到函数y=Asin（x+）的解析式【解答】解：由已知可得函数y=Asin（x+）的图象经过（，2）点和（，2）则A=2，T=即=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+），将（，2）代入得+=+2k，kZ，即=+2k，kZ，当k=0时，=此时故选A3已知非零向量，满足=2， =k+，给出以下结论：若与不共线，与共线，则k=2；若与不共线，与共线，则k=2；存在实数k，使得与不共线，与共线；不存在实数k，使得与不共线，与共线其
9、中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个【考点】命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量【分析】利用向量共线，列出方程，求出k判断是正误；利用与共线，推出与的关系，求出k，判断的正误【解答】解：非零向量，满足=2， =k+，与不共线，与共线，可得：=，即：2=k，=1，解得k=2所以正确，错误；与共线；可得： =m， =2=（m1），=k+=（km+1），可得与共线，所以错误，正确故选：B4已知为锐角，且有，tan（+）+6sin（+）1=0，则sin的值是（）ABCD【考点】三角函数的化简求值【分析】先根据诱导公式进行化简整理，然后求出tan，最后根据同角三角函数关系求出sin即可【解
10、答】解：，tan（+）+6sin（+）1=02tan+3sin+5=0tan6sin1=02+得tan=3为锐角，sin=故选C5已知两点A（1，2），B（3，1）到直线l距离分别是，则满足条件的直线l共有（）条A1B2C3D4【考点】点到直线的距离公式【分析】A（1，2）到直线l的距离是，直线是以A为圆心，为半径的圆的切线，B（3，1）到直线l的距离，直线是以B为圆心，为半径的圆的切线，满足条件的直线l是两圆公切线，由此能求出结果【解答】解：A（1，2）到直线l的距离是，直线是以A为圆心，为半径的圆的切线，同理B（3，1）到直线l的距离，直线是以B为圆心，为半径的圆的切线，满足条件的直线l为
11、以A为圆心，为半径的圆和以B为圆心，为半径的圆的公切线，|AB|=，两个半径分别为和，两圆外切，两圆公切线有3条故满足条件的直线l有3条故选：C6（理科）已知两点A（0，3），B（4，0），若点P是圆x2+y22y=0上的动点，则ABP面积的最小值为（）A6BC8D【考点】圆方程的综合应用【分析】求ABP面积的最小值，即求P到直线AB的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径利用三角形的面积公式可得结论【解答】解：求ABP面积的最小值，即求P到直线AB的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径直线AB的方程为，即3x4y12=0，圆x2+y22y=0，即x2+（y1）2=1，圆心为（0，1），
12、半径为1圆心到直线AB的距离为d=，P到直线AB的最小值为=|AB|=5，ABP面积的最小值为=故选B7已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y22y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A3BCD2【考点】直线和圆的方程的应用【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值【解答】解：圆C：x2+y22y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2SPBC，四边形PACB的最小面积是2，SPB
13、C的最小值=1=rd（d是切线长）d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，k0，k=2故选D8函数y=sin2x+2cosx（）的最大值与最小值分别为（）A最大值，最小值为B最大值为，最小值为2C最大值为2，最小值为D最大值为2，最小值为2【考点】二倍角的余弦；二次函数的性质【分析】利用同角三角函数基本关系将y解析式第一项变形，整理后配方得到关于cosx的二次函数，由x的范围求出cosx的值域，利用二次函数的性质即可求出y的最大值与最小值【解答】解：y=sin2x+2cosx=1cos2x+2cosx=（cosx1）2+2，x，1cosx，则当cosx=时，y取得最大值，y最大为；当co
14、sx=1时，y取得最小值，y最小为2故选B9如图，点P在半径为1的半圆上运动，AB是直径，当P沿半圆弧从A到B运动时，点P经过的路程x与APB的面积y的函数y=f（x）的图象是下图中的（）ABCD【考点】函数的图象与图象变化【分析】利用圆的知识求解：POA=x，APB的高为sinx，利用面积公式求解得出f（x）=sinx=sinx，0x，判断答案【解答】解：根据题意得出：POA=x，APB的高为1sinx=sinx，AB=2，APB的面积为f（x）=sinx=sinx，0x，y=f（x）的图象为A，故选：A10已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4 满足f（x1）=f（x2）=f
15、（x3）=f（x4），且x1x2x3x4，则的取值范围是（）A（20，32）B（9，21）C（8，24）D（15，25）【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2x3x410，由此可得则的取值范围【解答】解：函数的图象如图所示，f（x1）=f（x2），log2x1=log2x2，log2x1x2=0，x1x2=1，f（x3）=f（x4），x3+x4=12，2x3x410=x3x4（x3+x4）+1=x3x411，2x3x410的取值范围是（9，21）故选：B二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11已知扇形的周长为10
16、cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数为【考点】扇形面积公式【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式=求出扇形圆心角的弧度数【解答】解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=10，S扇形=lr=4，解得：r=4，l=2扇形的圆心角的弧度数是： =；故答案为：12已知sin（）=，则sin（+）=【考点】两角和与差的正弦函数【分析】利用两角差与和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值化简已知即可得解【解答】解：sin（）=sincos=，（sin+cos）=sin（+）=，sin（+）=故答案为：13已知0，直线xsin+ycos
17、1=0和圆C：（x1）2+（ycos）2=相交所得的弦长为，则=【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出圆心和半径，以及圆心到直线的距离，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可【解答】解：圆的半径为R=，圆心C（1，cos），则圆心到直线的距离d=|sin+cos21|=|sinsin2|，直线xsin+ycos1=0和圆C：（x1）2+（ycos）2=相交所得的弦长为，等比数列R2=d2+（）2，即=（sinsin2）2+，即（sinsin2）2=，0，sinsin2=，即sin2sin=，则（sin）2=0，则sin=，则=，故答案为：，14已知函数f（x）=sin（x+），其中x，若f（x
18、）的值域是，1，则a的取值范围是，【考点】正弦函数的图象【分析】根据f（x）的值域，利用正弦函数的图象和性质，即可得出+的取值范围，由此求出的取值范围【解答】解：x，时，函数f（x）=sin（x+）的值域是，1，x+，+；由正弦函数的图象和性质知+，解得故答案为：，15如图ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点， =+m，向量的终点M在ACD的内部（不含边界），则实数m的取值范围是（，）【考点】向量数乘的运算及其几何意义【分析】根据向量加法的平行四边形法则得出M的轨迹，根据条件得出m的最大值和最小值即可【解答】解：在AB上取点D，使得，过D作DEAB，交BC于E，交AD于F，
19、的终点M落在直线DE上过F作FMAC于M，过E作ENAC于N，若向量的终点M在ACD的内部（不含边界），则M必定在线段EF上（不含端点）ABC是等腰直角三角形，AB=AC=4，AM=1，AN=3，故答案为：（，）三、解答题（本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16已知函数f（x）=2sin（2x），xR（1）在给定的平面直角坐标系中，画函数f（x）=2sin（2x），x0，的简图；（2）求f（x）=2sin（2x），x，0的单调增区间；（3）函数g（x）=2cos2x的图象只经过怎样的平移变换就可得到f（x）=2sin（2x），xR的图象？【考点】函数y=Asi
20、n（x+）的图象变换；正弦函数的图象【分析】（1）利用五点法做函数y=Asin（x+）的在一个周期0，上的图象（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）在x，0的单调增区间（3）利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：（1）对于 函数f（x）=2sin（2x），xR，由x0，可得2x，列表如下： 2x 0 x 0 f（x） 0 2 02作图：（2）令2k2x2k+，求得kxk+，可得函数的增区间为k，k+，kZ，再结合x，0，可得求f（x）=2sin（2x），x，0的单调增区间为（3）把函数g（x）=2cos2x=2sin（2x+）=2sin2（x+） 的图象向右平移个单位
21、，就可得到f（x）=2sin2（x）=2sin（2x）的图象17已知圆C：x2+（y1）2=5，直线l：mxy+1m=0，且直线l与圆C交于A、B两点（1）若|AB|=，求直线l的倾斜角；（2）若点P（1，1），满足2=，求直线l的方程【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）求出弦心距、利用点到直线的距离公式可得直线的斜率，即可求直线l的倾斜角；（2）设点A（x1，mx1m+1），点B（x2，mx2m+1 ），由题意2=，可得2x1+x2=3 再把直线方程 y1=m（x1）代入圆C，化简可得x1+x2=，由解得点A的坐标，把点A的坐标代入圆C的方程求得m的值，从而求得直线L的方程【解答】解：
22、（1）由于半径r=，|AB|=，弦心距d=，再由点到直线的距离公式可得d=，解得m=故直线的斜率等于，故直线的倾斜角等于或（2）设点A（x1，mx1m+1），点B（x2，mx2m+1 ），由题意2=，可得 2（1x1，mx1+m ）=（x21，mx2m ），22x1=x21，即2x1+x2=3 再把直线方程 y1=m（x1）代入圆C：x2+（y1）2=5，化简可得 （1+m2）x22m2x+m25=0，由根与系数的关系可得x1+x2=由解得x1=，故点A的坐标为（，）把点A的坐标代入圆C的方程可得m2=1，故m=1，故直线L的方程为xy=0，或x+y2=018平面内有一个ABC和一点O（如图）
23、，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设=， =， =（1）试用，表示向量，；（2）证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分【考点】向量的三角形法则【分析】（1）根据向量的加法、数乘的几何意义，以及向量加法的平行四边形法则，并进行向量的数乘运算便可得到，从而同理可以用分别表示出；（2）可连接EN，NL，LG，GE，根据三角形中位线的性质及平行四边形的定义便可得到四边形NLGE为平行四边形，从而对角线EL，GN交于一点且互相平分，而同理可证明EL，FM相交于一点且互相平分，从而便得出线段EL，FM，GN交于一点且互相平分【解答】解：（1）=；同
24、理，；（2）证明：如图，连接EN，NL，LG，GE，根据条件，则：NEBO，且，LGBO，且；NELG，且NE=LG；四边形NLGE为平行四边形；线段El，GN交于一点且互相平分；同理，线段EL，FM交于一点且互相平分；线段EL，FM，GN交于一点且互相平分19已知：以点C（t，）（tR，t0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点（）当t=2时，求圆C的方程；（）求证：OAB的面积为定值；（）设直线y=2x+4与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（）当t=2时，圆心为C（2，1），即可得出圆C的方程；（）求出半径，
25、写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可；（）设MN的中点为H，则CHMN，根据C、H、O三点共线，KMN=2，由直线OC的斜率k=，求得t的值，可得所求的圆C的方程【解答】（）解：当t=2时，圆心为C（2，1），圆C的方程为（x2）2+（y1）2=5；（）证明：由题设知，圆C的方程为（xt）2+（y）2=t2+，化简得x22tx+y2y=0当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或，则B（0，），SAOB=OAOB=|2t|=4为定值 （）解：OM=ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CHMN，C、H、O三点共线，KMN=2，则直线OC的斜率k=
26、，t=2或t=2圆心为C（2，1）或C（2，1），圆C的方程为（x2）2+（y1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y4=0到圆心的距离dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去，所求的圆C的方程为（x2）2+（y1）2=520已知f（x）=sin2（2x）2tsin（2x）+t26t+1（x，）其最小值为g（t）（1）求g（t）的表达式；（2）当t1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值【分析】（1）利用x的范围确定sin（2x），对函数解析式化简整理，对t进行分类讨论，利用抛物线的性质求得每种情况的g（t）的解析式，最后综合（2）根据（1）中获得当时g（t）的解析式，令h（t）=g（t）kt，要使g（t）=kt有一个实根需h（）和h（1）异号即可【解答】解：（1）x，sin（2x），1，f（x）=sin（2xt26t+1，当t时，则当sinx=时，f（x）min=；当t1时，当sinx=t时，f（x）min=6t+1；当t1时，当sinx=1时，f（x）min=t28t+2；g（t）=（2）当时，g（t）=6t+1令h（t）=g（t）kt欲使g（t）=kt有一个实根，则只需使或即可解得k8或k52016年7月23日
