1、第二节用样本估计总体考情展望1.考查样本的频率分布(分布表、直方图、茎叶图)中的有关计算，样本特征数(众数、中位数、平均数、标准差)的计算.2.考查以样本的分布估计总体的分布(以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数)3.题型以选择题和填空题为主，属于中、低档题一、作频率分布直方图的步骤1求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)2决定组距与组数3将数据分组4列频率分布表5画频率分布直方图频率分布直方图的特点(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率组距.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因此在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形
2、高的比也就是频率比(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观二、频率分布折线图和总体密度曲线1频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图2总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线三、茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数用茎叶图表示数据的两个优点一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记
3、录与表示四、标准差和方差1标准差是样本数据到平均数的一种平均距离2标准差：s .3方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2(xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)平均数、方差的公式推广若数据x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均数是ma.数据x1，x2，xn的方差为s2.()数据x1a，x2a，xna的方差也为s2；()数据ax1，ax2，axn的方差为a2s2.1若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图921所示，则这组数据的中位数图921和平均数分别是()A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5 D92和92【解析】这组数据由小
4、到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96.中位数是91.5.平均数91.5.【答案】A2有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5,15.5)215.5,19.5)419.5,23.5)923.5,27.5)1827.5,31.5)1131.5,35.5)1235.5,39.5)739.5,43.5)3根据样本的频率分布估计，数据落在31.5,43.5)的概率约是()A. B.C. D.【解析】由已知，样本容量为66，而落在31.5,43.5)内的样本数为127322，故所求概率为.【答案】B3某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”
5、，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图922中可以看出被处罚的汽车大约有()A30辆 B40辆C60辆 D80辆图922【解析】由题图可知，车速大于或等于70 km/h的汽车的频率为0.02100.2，则将被处罚的汽车大约有2000.240(辆)【答案】B4某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2_.【解析】平均数7.s2(107)2(67)2(87)2(57)2(67)2(91141)3.2.【答案】3.25(2013辽宁高考)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图923，数
6、据的分组依次为：20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()图923A45 B50C55 D60【解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.0050.01)200.3，所以该班的学生人数是50.【答案】B6(2013湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_【解析】利用平均值和标准差公式求解(1)7.(2)s2(77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(107)2(77)2(47)
7、24，s2.【答案】(1)7(2)2考向一 166频率分布直方图及其应用下图924是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在1 000, 1 500)图924(1)求样本中月收入在2 500,3 500)的人数；(2)为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在1 500,2 000)的这段应抽多少人？(3)试估计样本数据的中位数【思路点拨】(1)先根据第一组求出样
8、本容量，再利用各小长方形的面积和为1求出在2 500,3 500的频率，进而求出人数值(2)利用分层抽样求解(3)根据中位数的概念结合直方图特点求解【尝试解答】(1)月收入在1 000,1 500)的概率为0000 85000.4，且有4 000人，样本的容量n10 000；月收入在1 500,2 000)的频率为0.000 45000.2；月收入在2 000,2 500)的频率为0.000 35000.15；月收入在3 500,4 000)的频率为0.000 15000.05.月收入在2 500,3 500)的频率为1(0.40.20.150.05)0.2.样本中月收入在2 500,3 50
9、0)的人数为0.210 0002 000.(2)月收入在1 500,2 000)的人数为0.210 0002 000，再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在1 500,2 000)的这段应抽取10020(人)(3)由(1)知月收入在1 000,2 000)的频率为0.40.20.60.5，样本数据的中位数为1 5001 5002501 750(元)规律方法1(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积之和为1.(2)对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据.对点训练某校从参加高一年级期中考试
10、的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如图925所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：图925(1)求分数在70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分【解】(1)设分数在70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，有(0.0100.01520.0250.005)10x1，可得x0.3，所以频率分布直方图如图所示(2)平均分为：x450.1550.15650.15750.3850.25950.0571(分)考向二 167茎叶
11、图的绘制及应用某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图926表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数甲、乙和中位数y甲、y乙进行比较，下面结论正确的是()图926A.甲乙，y甲y乙B.甲乙，y甲y乙C.甲乙，y甲y乙 D.甲乙，y甲y乙【思路点拨】按照茎叶图的特点对照数据结合平均数、中位数的概念解决【尝试解答】从茎叶图可知，甲的数据集中在20到30之间，乙的数据集中在30到40之间，所以甲乙，甲的中位数为27，而乙的中位数为35.5，所以y甲y乙，选B.【答案】B规律方法2由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出
12、的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断.对点训练(2013课标全国卷)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：061.22.71.52.81.82.22.33.2352.52.61.22.71.52.93.03.1232.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：321.71.90.80.92.41.22.61.3141.60.51.80.62.11
13、.12.51.2270.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【解】(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得(0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.03.13.23.5)2.3，(0.50.50.60.80.91.11.21.21.31.41.61.71.81.92.12.42.52.62.73.2)1.6.由以上计算结果可得，因此可看出A药的疗效更好(2)由观测结果可绘制茎叶图如图：从以上茎叶图可以看出，A药疗
14、效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好考向三 168数字特征的总体估计甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图937.图937(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价【思路点拨】(1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩；(2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价【尝试解答】(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分甲13，乙13，s
15、(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由ss可知乙的成绩较稳定从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高规律方法31.平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体一种简明的阐述，平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据的稳定程度.进行均值与方差的计算，关键是正确运用公式.2.平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意义，一般可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种可以做出评
16、价或选择.对点训练(2013江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_【解析】由表中数据计算可得甲90，乙90，且s(8790)2(9190)2(9090)2(8990)2(9390)24，s(8990)2(9090)2(9190)2(8890)2(9290)22.由于ss，故乙的成绩较为稳定，其方差为2.【答案】2规范解答之十九图表信息题的求解策略1个示范例1个规范练(12分)图928(2013湖南高考)某人在如图928所示的直
17、角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率【规范解答】(1)所种作物的总株数为1234515，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4
18、的作物有3株，列表如下：Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为4分46.7分(2)由(1)知，P(Y51)，P(Y48).9分故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y48)P(Y51)P(Y48).12分【名师寄语】1.根据所给图形找出Y对应的频数是解决本题的关键.2.对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中发现有用的信息和数据，结合统计知识解题.(2012广东高考)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图929所示，其中成绩分组区间是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100图929(1)求
19、图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数.分数段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445【解】(1)由频率分布直方图知(2a0.020.030.04)101，解得a0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073(分)(3)由频率分布直方图知语文成绩在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)各分数段的人数依次为0.005101005,0.041010040,0.031010030,0.021010020.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,4020,3040,2025.故数学成绩在50,90)之外的人数为100(5204025)10.
