1、第33讲 平面向量的概念及其线性运算 第33讲 平面向量的概念及其线性运算 知识梳理 第33讲 知识梳理 大小方向大小长度|a|A B|长度相同 长度相反a 1 1 00 说明：零向量的方向是_ _，规定：零向量与任一向量_ 2向量的线性运算 第33讲 知识梳理 不确定的、任意的平行的 和三角形平行四边形ba a(bc)第33讲 知识梳理 相反向量三角形a(b)向量数乘a|a|相同相反0ab1a2a第33讲 知识梳理 ba3.向量的共线定理 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使_ 要点探究 探究点1 向量的有关概念的应用第33讲 要点探究 1 给出下列命题：若|a|b|，则 ab
2、；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab；若 ab，bc，则 ac.其中正确的序号是_ 第33讲 要点探究 思路 向量概念的关键词是大小和方向，正确理解向量的有关概念是解决这类问题的关键；要注意特殊情况，否定命题只要举出一个反例即可 答案 第33讲 要点探究 解析 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确A BD C，|A B|D C|且 A BD C.又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则 A B
3、D C且|A B|D C|，因此 A BD C.正确ab，a，b 的长度相等且方向相同；又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c 的长度相等且方向相同，故 ac.不正确当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件 不正确考虑 b0 这种特殊情况 综上所述，正确命题的序号是.第33讲 要点探究 点评 大小和方向是向量的两个基本要素，判断两个向量之间的关系时，一定要抓住这两个要素，要分清、理解各概念的实质，注意区分平行向量、同向向量等概念，注意零向量与任何向量共线下面变式题主要从向量的模与方向，复习巩固向量与单位向
4、量的概念、向量的共线与平行第33讲 要点探究 设 a0为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行，则 a|a|a0；若a 与 a0平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题个数是()A0 B1 C2 D3 思路 从相等向量与共线向量的定义出发，注意从模和方向两方面进行考虑 答案 D第33讲 要点探究 解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故、也是假命题综上所述，答案选 D.探究点2 向量的线性运算 第33讲 要
5、点探究 2 2010湖北卷 已知ABC 和点 M 满足MAMBMC0，若存在实数 m 使得ABACmAM成立，则 m()A2 B3 C4 D5 思路 向量的线性运算集中体现在三角形中，可充分利用向量加减法的三角形法则求解 第33讲 要点探究 答案 B 解析 如图所示，取 BC 的中点 D，则 M BM C2M D，M A2M D，即 A M23A D.又 A BA C2A D，得 2A DmAM，m3，故选 B.第33讲 要点探究 点评 在向量化简及运算时，要充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系达到目的；另外，注意特殊点的应用，如本题 D 是 BC 的中点，则 A D12(A BA C)
6、下面变式题从另一个角度说明如何用已知的向量来表示两向量的差 第33讲 要点探究 2010福州质检 如图 331，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量 ab 可表示为()A3e2e1 B2e14e2 Ce13e2 D3e1e2 图331 第33讲 要点探究 思路 如图，向量a、b的终点是正方形网格的交点，向量ab可转化为向量e1，e2的和差 答案 C解析 如图，应用向量的减法法则，得abe13e2，故选C.探究点3 共线向量定理的应用第33讲 要点探究 3 2010合肥调研 若 a，b 是两个不共线的非零向量，a 与 b 起点相同，则当 t 为何值时，a，tb，13(ab)三向量的终点在同一条直
7、线上？思路 由 a，tb，13(ab)三向量的终点共线，得 m n 这样一种形式，由平面向量的基本定理得方程组，解方程组得 t 的值 第33讲 要点探究 解答 设 O Aa，O Btb，O C13(ab)，A CO CO A23a13b，A BO BO Atba.要使 A、B、C 三点共线，只需 A C AB(R)，即23a13b(tba)因为 a，b 是两个不共线的非零向量，则由平面向量的基本定理，得 23，13 t，解得 23，t12.当 t12时，三向量的终点在同一条直线上 第33讲 要点探究 点评 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共
8、线且有公共点时，才能得出三点共线；解决此类问题的关键是利用共线向量定理得出m n，即要证明 A、B、C 三点共线，只需证明 A C AB，再利用对应系数相等，列出方程组，解出系数下面变式题让学生体会已知三点共线，则由这三点构成的向量也共线 第33讲 要点探究 已知 A、B、C、P 为平面内四点，求证：A、B、C 三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使PCmPAnPB，且 mn1.思路 题设条件中向量表达式未涉及AC、AB，可以利用PCPAAC来转化 第33讲 要点探究 解答 充分性：由PCmPAnPB，mn1，得 PAACmPAn(PAAB)(mn)PAnABPAnAB.ACnAB
9、.A、B、C 三点共线 必要性：由 A、B、C 三点共线知，存在常数 ，使得AC AB，即APPC(APPB)，PC(1)AP PB(1)PA PB，取 m1，n，则 mn1，PCmPAnPB.探究点4 向量线性运算的综合问题第33讲 要点探究 4 在ABC 所在的平面内有一点 P，满足PAPBPCAB，则PBC 与ABC 的面积之比是()A.13 B.12 C.23 D.34 思路 本题中的已知向量都集中体现在三角形中，为此，可考虑利用向量加减法的三角形法则求解 答案 C第33讲 要点探究 解析 由PAPBPCAB，得PAPBBAPC0，即PC2AP，所以点 P 是 CA 边上的第二个三等分
10、点，如图所示故SPBCSABC12BCPC12BCAC23.第33讲 要点探究 点评 本题是线性运算及其几何意义的问题，解决此类问题的关键是熟练应用向量加法的三角形法则：当三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量；当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行，但要注意向量的方向，如ABBA.第33讲 要点探究 如图 332 所示，在OAB 中，点 P 是线段 OB 及 AB 的延长线所围成的阴影区域内(含边界)的任意一点，且OPxOAyOB，则在直角坐标平面内，实数对(x，y)所表示的区域在直线 y4 的下侧部分的面积是_ 图332 第33讲 要点探究 思路 本题
11、是向量线性运算及其几何意义与可行域综合的问题，解决此类问题的切入点是利用向量的线性运算找到x，y所满足的线性约束条件 答案 92 第33讲 要点探究 解析 连接 BP，则 OPOBBPOBmOBnAB，其中 m0，n0，即OP(m1)OBn(OBOA)nOA(mn1)OB，则 xn，ymn1，因此，有 x0，ymx1，即 x0，xy10，实数对(x，y)满足的约束条件为 x0，y4xy10，第33讲 要点探究 画出约束条件表示的平面区域，得所求平面区域的面积是123392.规律总结 第33讲 规律总结 1大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征，因此借助向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将几何问题转化为代数问题，故向量能给数形结合起到桥梁作用 2一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用 第33讲 规律总结 3两个几何结论的向量表示(1)若 D 为线段 AB 的中点，O 为平面内一点，则OD12(O AO B)(如图 323)(2)P G13(P AP BP C)G 为ABC 的重心，特别地，P AP BP C0P 为ABC 的重心 第33讲 规律总结 图333 第33讲 规律总结 4向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题记住常用结论：A、B、C、三点共线存在实数 ，对任意一点O，O A O B OC(1)
