1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第3课时 圆的方程第3页返回导航 数学 1圆的定义及方程定义平面内到的距离等于的点的轨迹叫做圆圆心 C：标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)半径：圆心：D2，E2一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)半径：r D2E24F2定点定长(a，b)r第4页返回导航 数学 2点与圆的位置关系(1)理论依据：与的距离与半径的大小关系(2)三种情况圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0)，(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外；(x0a)2(y
2、0b)2r2点在圆内点圆心第5页返回导航 数学 3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 AC0，B0，D2E24F0.()(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x20y20Dx0Ey0F0.()第6页返回导航 数学(5)已知圆的方程为 x2y22y0，过点 A(1,2)作该圆的切线只有一条()(6)方程(xa)2(yb)2t2(tR
3、)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆()(7)方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆心为a2，a，半径为123a24a4的圆()(8)过不共线的三点一定有唯一的一个圆()(9)方程 x2y22x2y20 表示圆心为(1,1)的圆()(10)圆 x24xy22y10 上的点到(2,1)的最长距离为 4.()第7页返回导航 数学 考点一 求圆的方程命题点1.直接法求圆的方程2.待定系数法求圆的标准方程3.待定系数法求圆的一般方程第8页返回导航 数学 例 1 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过点 A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线 2xy30 上；(2)经过 P(2,4)、Q(
4、3，1)两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于6；(3)圆心在直线 y4x 上，且与直线 l：xy10 相切于点 P(3，2)第9页返回导航 数学 解：(1)法一：由题意知 kAB2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为 C(a，b)，则AB 的垂直平分线为 y12(x4)，由y12x42xy30得x2y1 即 C(2,1)为圆心r|CA|522212 10，所求圆的方程为(x2)2(y1)210.第10页返回导航 数学 法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则2ab30，5a22b2r2，3a22b2r2，解得a2，b1，r 10，故圆的方程为(x2)2(y1)210.第11页返回导航 数
5、学 法三：设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则2545D2EF0，943D2EF0，2D2 E230，解得D4，E2，F5，所求圆的方程为 x2y24x2y50.第12页返回导航 数学(2)设圆的方程为 x2y2DxEyF0，将 P、Q 两点的坐标分别代入得2D4EF20，3DEF10.又令 y0，得 x2DxF0.设 x1，x2 是方程的两根，由|x1x2|6 有 D24F36，由、解得 D2，E4，F8，或 D6，E8，F0.故所求圆的方程为 x2y22x4y80，或 x2y26x8y0.第13页返回导航 数学(3)法一：如图，设圆心(x0，4x0)，依题意得4x023
6、x0 1，x01，即圆心坐标为(1，4)，半径 r2 2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：设所求圆的方程为(xx0)2(yy0)2r2，根据已知条件得y04x0，3x022y02r2，|x0y01|2r，第14页返回导航 数学 解得 x01，y04，r2 2.因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.第15页返回导航 数学 方法引航 1方程选择原则,求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程.2求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤如下：根据题意，选择标准方
7、程或一般方程；根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程.第16页返回导航 数学 1圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程是()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21第17页返回导航 数学 解析：选 A.设圆心为(0，a)，则 1022a21，解得 a2，故圆的方程为 x2(y2)21.第18页返回导航 数学 2若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 yx 对称，则圆C 的标准方程为_第19页返回导航 数学 解析：根据题意得点(1,0)关于直线 yx
8、 对称的点(0,1)为圆心，又半径 r1，所以圆 C 的标准方程为 x2(y1)21.答案：x2(y1)21第20页返回导航 数学 3圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截x 轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为_第21页返回导航 数学 解析：设圆 C 的圆心为(a，b)(b0)，由题意得 a2b0，且 a2(3)2b2，解得 a2，b1.所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.答案：(x2)2(y1)24第22页返回导航 数学 考点二 与圆有关的最值、范围问题命题点1.斜率型 mybxa的最值2.截距型 taxby 的最值3.距离型 m(xa)2(y
9、b)2 的最值第23页返回导航 数学 例 2 已知实数 x、y 满足方程 x2y24x10.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)yx 的最小值；(3)x2y2 的最大值和最小值第24页返回导航 数学 解：(1)如图，方程 x2y24x10 表示以点(2,0)为圆心，以 3为半径的圆设yxk，即 ykx，则圆心(2,0)到直线 ykx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值由|2k0|k21 3，解得 k23，第25页返回导航 数学 kmax 3，kmin 3.(也可由平面几何知识，得 OC2，CP 3，POC60，直线OP 的倾斜角为 60，直线 OP的倾斜角为 120)(2)设
10、yxb，则 yxb，当且仅当直线 yxb 与圆切于第四象限时，截距 b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|20b|2 3，即 b2 6，故(yx)min2 6.第26页返回导航 数学(3)x2y2 是圆上点与原点的距离的平方，故连接 OC，与圆交于 B 点，并延长交圆于 C，则(x2y2)max|OC|2(2 3)274 3，(x2y2)min|OB|2(2 3)274 3.第27页返回导航 数学 方法引航 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，要注意熟记：1形如 mybxa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；2形如 taxby 的最值问
11、题，可转化为动直线截距的最值问题；3形如 mxa2yb2 的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.第28页返回导航 数学 1在本例条件下，求y2x 的取值范围第29页返回导航 数学 解：设 y2kx，kxy20，|2k2|1k2 3，k28k10.4 15k4 15y2x 的范围为4 15，4 15第30页返回导航 数学 2在本例中，P 是直线 xy20 上的点，过 P 作圆的切线，求切线长的最小值第31页返回导航 数学 解：因切线长为 PC2r2当|PC|取最小值时，其切线长最小|PC|的最小值是点 C 到直线xy20 的距离 d.d222228.切线长的最小值为 83 5.第32页
12、返回导航 数学 考点三 与圆有关的轨迹问题命题点1.定义法求轨迹2.直接法求轨迹3.代入法求轨迹第33页返回导航 数学 例 3 已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程第34页返回导航 数学 解：(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2,2y)因为 P 点在圆 x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24.故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)在 RtPBQ 中，|PN|BN|
13、.设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2(y1)24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10.第35页返回导航 数学 方法引航 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：1直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；2定义法：根据圆、直线等定义列方程；3几何法：利用圆与圆的几何性质列方程；4代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.第36页返回导航 数学 如图所示，已知 P(4,0)是圆 x2y236 内的一点，A，B 是圆上两动点，且满足APB90，求矩形 APBQ
14、的顶点 Q 的轨迹方程第37页返回导航 数学 解：设 AB 的中点为 R，坐标为(x，y)，连接 OR，PR，则在 RtABP 中，|AR|PR|.又 R 是弦 AB 的中点，所以在 RtOAR 中，|AR|2|AO|2|OR|236(x2y2)又|AR|PR|x42y2，所以有(x4)2y236(x2y2)，即 x2y24x100.因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，点 Q 即在所求的轨迹上运动第38页返回导航 数学 设 Q(x，y)，R(x1，y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1x42，y1y02，代入方程 x2y24x100，得x422y224x42 100，整理
15、得 x2y256，此即为所求顶点 Q 的轨迹方程第39页返回导航 数学 思想方法转化思想、数形结合思想解决圆的方程的应用典例(2017天津四校联考)已知实数 x，y 满足 x2y24x6y120，则|2xy2|的最小值是()A5 5 B4 5C.51 D5 5第40页返回导航 数学 思路点拨 解答本题的关键是将|2xy2|转化为与圆上的点到直线 2xy20 的距离有关的最值问题求解第41页返回导航 数学 解析 将 x2y24x6y120 化为(x2)2(y3)21，|2xy2|5|2xy2|5，从几何意义上讲，上式表示在圆(x2)2(y3)21 上的点到直线 2xy20 的距离的 5倍，要使其
16、值最小，只需|2xy2|5最小即可由直线和圆的位置关系可知|2xy2|5min|2232|51 51，所以|2xy2|的最小值为 5(51)5 5.答案 A第42页返回导航 数学 回顾反思 本类型题目转化的重点(1)实数 x，y 满足关系可转化为圆(x2)2(y3)21 上的动点(x，y)(2)所求表达式的几何意义(代数变形后)，(x，y)到直线2xy20 的距离(3)数形结合求最小值第43页返回导航 数学 高考真题体验1(2015高考课标全国卷)已知三点 A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为()A.53 B.213C.2 53D.43第44页返回导航
17、 数学 解析：选 B.法一：设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，1DF0，3 3EF0，72D 3EF0，D2，E4 33，F1，第45页返回导航 数学 ABC 外接圆的圆心为1，2 33，故ABC 外接圆的圆心到原点的距离为12 332 213.第46页返回导航 数学 法二：A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，|AB|BC|AC|2，ABC 为等边三角形，故ABC 的外接圆圆心是ABC 的中心，易知ABC 的中心为1，2 33，故ABC 外接圆的圆心到原点的距离为12 332 213.第47页返回导航 数学 2(2015高考课标全国卷)过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7
18、)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|()A2 6B8C4 6D10第48页返回导航 数学 解析：选 C.设过 A，B，C 三点的圆的方程为 x2y2DxEyF0，则D3EF1004D2EF200D7EF500，解得 D2，E4，F20，所求圆的方程为 x2y22x4y200，令 x0，得 y24y200，设 M(0，y1)，N(0，y2)，则 y1y24，y1y220，所以|MN|y1y2|y1y224y1y24 6.故选 C.第49页返回导航 数学 3(2016高考天津卷)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，5)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 55，
19、则圆 C 的方程为_第50页返回导航 数学 解析：设圆心为(a,0)(a0)，则圆心到直线 2xy0 的距离 d|2a0|414 55，得 a2，半径 r a020 523，所以圆C 的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y29第51页返回导航 数学 4(2013高考课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P在 x 轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为 2 3.(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 yx 的距离为 22，求圆 P 的方程第52页返回导航 数学 解：(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r.由题设 y22r2，x23r2，从而 y22x23.故 P 点的轨迹方程为 y2x21.(2)设 P(x0，y0)由已知得|x0y0|2 22.又 P 点在双曲线 y2x21 上，从而得|x0y0|1，y20 x201.第53页返回导航 数学 由x0y01，y20 x201，得x00，y01.此时，圆 P 的半径 r 3.由x0y01，y20 x201得x00，y01，此时，圆 P 的半径 r 3.故圆 P 的方程为 x2(y1)23 或 x2(y1)23.第54页返回导航 数学 课时规范训练
