1、云南省德宏州2020届高三数学上学期期末考试教学质量检测试题 理（含解析）注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2. 回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在
2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式得集合，再利用集合并集运算即可得到答案.【详解】又所以故选：B.2. 若为虚数单位，且，则复数的模等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据复数相等得到，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C3. 我国古代著名的数学著作中，周髀算经、九章算术、孙子算经、五曹算经、夏侯阳算经、孙丘建算经、海岛算经、五经算术、缀术和缉古算经，称为“算经十书”.某校数学兴趣小组为了解本校学生对周髀算经、九章算术、孙子算经阅读的情况，随机调查了100
3、名学生，阅读情况统计如下表，书籍周髀算经九章算术周髀算经且九章算术周髀算经或九章算术阅读人数70？6090则该100名学生中阅读过九章算术的人数为（ ）A. 60B. 70C. 80D. 90【答案】C【解析】【分析】根据统计表分析可得结果.【详解】根据统计表可知，只阅读过周髀算经没阅读过九章算术的人数为人，所以只阅读过九章算术没阅读过周髀算经的人数为人，所以阅读过九章算术的人数为人.故选：C【点睛】关键点点睛：理解并运用统计表给出的信息是解题关键.4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式得,再利用二倍角公式化简，然后代值求解即可.【详解】，利用诱导公
4、式可得，故选：B.5. 展开式的系数为（ ）A. -10B. 10C. -30D. 30【答案】A【解析】【分析】先求得的通项公式，然后再由求解.【详解】的通项公式为，因为。所以含的项为：，展开式的系数为-10，故选：A6. 如下图所示，在正方体中，是平面的中心，、分别是、的中点，则下列说法正确的是（ ）A. ，且与平行B. ，且与平行C. ，且与异面D. ，且与异面【答案】D【解析】【分析】设正方体的棱长为2，利用正方体性质可求得，知，再利用三角形中位线性质知，从而，又与相交，可知与异面，即可选出答案.【详解】设正方体的棱长为2，则作点在平面的投影点，即平面，连接，在直角中，则，所以，故排除
5、A、C连接，由是平面的中心，得又分别是、的中点，所以又，所以，又，所以与异面故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查正方体中的线面关系，线线平行的关系，及判断异面直线，解题的关键是熟记正方体的性质，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.7. 执行如图所示的程序框图，若输入，的值分别是288，123，则输出的结果是（ ）A. 42B. 39C. 13D. 3【答案】D【解析】【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的值，当时，满足条件，输出的值.【详解】执行程序框图，由，知由，知由，知由，知，即，输出，结束循环故选：D.8. 设ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则B=（ ）A. B.
6、C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得.【详解】由正弦定理可得：，.故选：D【点睛】此题考查根据正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换化简求解角的大小.9. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 的图象的一条对称轴为B. 在上单调递增C. 在上的最大值为1D. 的一个零点为【答案】B【解析】【分析】对选项A，即可判断A错误；对选项B，求出的单调区间即可判断B正确；对选项C，求出在的最大值即可判断C错误；对选项D，根据，即可判断D错误.【详解】，.对选项A，因为，故A错误；对选项B，因为，.解得，.当时，函数的增区间为
7、，所以在上单调递增，故B正确；对选项C，因为，所以，所以，故错误；对选项D，故D错误.故选：B10. 设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点.若，则点到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图，设，由双曲线定义知，平方得：，在中利用余弦定理可得：，即可得到，再利用等面积法即可求得【详解】由题意，双曲线中，如图，设，由双曲线定义知两边平方得：在中，由余弦定理可得：，即两式相减得：，即利用等面积法可知：，即解得故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设，分别为
8、椭圆的左，右焦点，点为椭圆上的一点，且，则椭圆焦点三角形面积（2）设，分别为双曲线的左，右焦点，点为双曲线上的一点，且，则双曲线焦点三角形面积11. 函数是定义在上的奇函数，对任意两个正数，都有，记，则大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，则函数单调递减，且，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可.详解】构造函数，则函数单调递减，.故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性及其应用，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 对于正数，定义函数：.若对函数，有恒成立，则（ ）A. 的最大值为B. 的最小值为C. 的最大
9、值为D. 的最小值为【答案】B【解析】【分析】利用导数求出函数最大值，由函数的定义结合恒成立可知，由此可得出的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】对于正数，定义函数：，且恒成立，则.函数的定义域为，且.当时，此时，函数单调递增；当时，此时，函数单调递减.所以，.因此，的最小值为.故选：B.【点睛】解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式恒成立，从而将问题转化为求函数的最大值.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个考生都必须做答.第22题第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，
10、共20分.13. 已知，则_.【答案】5【解析】【分析】由向量坐标运算先写出向量的坐标，再求模即可.【详解】 , , 故答案为：5.14. 已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，则抛物线的方程为：_.【答案】【解析】【分析】如图作，由抛物线定义知是等边三角形，再过焦点作，知为的中点，所以，即焦点到准线的距离是，即可求得抛物线方程.【详解】抛物线：，焦点，准线如图，由抛物线定义知，故是等边三角形，过焦点作，交于，则为的中点，所以，即焦点到准线的距离是故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查球抛物线的方程，解题的关键是要熟悉抛物线的定义，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等
11、，即可知，再利用知是等边三角形，再利用等边三角形性质求解，考查学生的逻辑推导能力，属于中档题.15. 设点在曲线上，在直线上，则的最小值_.【答案】【解析】【分析】当曲线在点处的切线与直线平行时，最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离，先根据导数的几何意义求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式进行求值.【详解】函数的定义域为，求导得，当曲线在点处的切线与直线平行时，最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离.设，由导数的几何意义，可得，解得（舍去），故切点为，点到直线的距离所以的最小值为故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查利用导数的几何意义研究曲线上某点的切线方程，
12、需要注意：（1）已知切点求斜率，即求该点处的导数值：；（2）已知斜率，求切点，即解方程；（3）已知过某点(不是切点)的切线斜率为时，常需设出切点，利用求解.16. 如下图所示，三棱锥外接球的半径为1，且过球心，围绕棱旋转后恰好与重合.若，则三棱锥的体积为_.【答案】【解析】【分析】作于，可证得平面，得，得等边三角形，利用是球的直径，得，然后计算出，再应用棱锥体积公式计算体积【详解】围绕棱旋转后恰好与重合，作于，连接，则，又过球心，而，同理，由，得平面，故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作于，利用旋转重合，得平面，这样只要计算出的面积，即可得体积，这样作图可以得出，为旋
13、转所形成的二面角的平面角，这里容易出错在误认为旋转，即为旋转是旋转形成的二面角为应用作出二面角的平面角三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 2018年年初，中共中央、国务院发布关于开展扫黑除恶专项斗争的通知，在全国范围部署开展扫黑除恶专项斗争.为了解这次的“扫黑除恶”专项斗争与2000年、2006年两次在全国范围内持续开展了十多年的“打黑除恶”专项斗争是否相同，某高校一个社团在2018年末随机调查了100位该校在读大学生，就“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同进行了一次调查，得到部分数据如下表：不相同相同合计男50女15合计100已知在100名学生中随机抽取1人认为“扫黑除
14、恶”与“打黑除恶”不相同的概率为0.75.（1）完成上表；（2）根据如上的列联表，有没有的把握认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关？附：（）.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246635【答案】（1）表格见解析；（2）有把握认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关.【解析】【分析】（1）由的概率计算出认为不相同的总人数，则可完成列联表；（2）计算后比较可得结论【详解】解：（1）不相同相同合计男501060女251540合计7525100（2）.所以有的把握认为“扫黑除恶”与
15、“打黑除恶”是否相同与性别有关.18. 设数列的前项和为，且.（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）若数列中，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）当时，由，可得，两式相减，可化为，结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由题知数列是等差数列，则，再利用分组求和法求数列的前项和.【详解】（1）证明：当时，当时， 由得：， ，即，故数列是以2为公比，首项为的等比数列，得.（2）由题得：，故是以2为公差，2为首项的等差数列，.【点睛】方法点睛：本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（
16、3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.19. 如图，是由正三角形和正方形组成的平面图形，其中；将其沿折起，使得，如图所示.（1）证明：图中平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在点满足题意要求，.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，利用等腰三角形三线合一可得出，利用勾股定理可得出，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出关于的方程，求出的值，即可得出结论.【详解】（1）取
17、的中点，连接、，为正三角形且，且，因为四边形为正方形，且，则，又，平面.平面，平面平面；（2）平面，且四边形是正方形，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、，平面，所以，面的一个法向量为，在线段上，设，设平面的法向量为，由，得，令，则，设二面角的平面角为，二面角的余弦值为，整理得，解得，综上，存在点满足题意要求，此时.【点睛】体几何开放性问题求解方法有以下两种：（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点
18、或线，否则不存在20. 已知函数，.（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（2）设.若，在上的最小值为，求在上取得最大值时，对应的值.【答案】（1）；（2）最大值点为.【解析】【分析】（1）根据在上存在单调递增区间，由在上有解求解.（2）由得，根据，易得，则在上的最大值点为，最小值为或，然后由，分，确定最小值进而求得a即可【详解】（1）在上存在单调递增区间，在上有解，即在上成立，而的最大值为，解得：.（2），由得：，则在，上单调递减，在上单调递增，又当时，在上的最大值点为，最小值为或，而， 当，即时，得，此时，最大值点； 当，即时，得（舍）.综上在上的最大值点为.【点睛】方法点睛
19、：(1)求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数21. 在平面直角坐标系中，已知，直线：，点为平面内的动点，过点做直线的垂线，垂足为点，且，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设，过且与轴不重合的直线与曲线相交于不同的两点，.则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线的方程为，的内切圆的面积最大值为.【解析】【分析】（1）设点，根据得到
20、模长关系，由此得到关于的等式即为轨迹方程；（2）利用内切圆的半径分析出的面积最大时，对应的内切圆半径最大从而内切圆面积最大，再根弦长公式以及点到直线的距离表示出，并利用导数计算出的最大值，从而内切圆半径最大值可求，则的内切圆的面积最大值可求.【详解】解：（1）设动点，则，由，则，化简得：.所求曲线的方程为.（2）设，不妨令，设的内切圆半径为，则的周长为，由此可知，当的面积最大时，的内切圆面积最大，可设直线的方程为，联立，得：，则，令，则，令，则，当时，恒成立，则在上单调递增，即的最小值为4.，即当时，的面积最大为3，此时，的内切圆的最大半径为，所以，的内切圆的面积取得最大值为.故直线的方程为，
21、的内切圆的面积最大值为.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的思路：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合底高，表示出三角形的面积；（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为或；（3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为（为内切圆半径）.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.选修44：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，圆的圆心坐标为且过原点，椭圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）
22、若曲线与圆相交于异于原点的点，是椭圆上的动点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出圆的普通方程，再利用普通方程与极坐标方程之间的转化关系可得出圆的极坐标方程，根据极坐标方程与普通方程之间的转换关系可求得曲线的普通方程；（2）求出的值，设点，求出点到直线的最大距离，由三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】（1）依题意：圆的半径，所以，圆的标准方程为：，得，由，得的极坐标方程为，由，得的普通方程为；（2）由（1）知的极坐标方程为，的普通方程为，将代入得，.设，则到的距离（其中）,，当时，等号成立，.【点睛】在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如
23、果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决选修45：不等式选讲23. 已知函数的最大值为2.（1）求的值；（2）若，均为正数，且.求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，利用绝对值三角不等式，求得函数最大值为，计算即可求解；（2）由（1）知，再利用“1”的代换，利用不等式求得最值，即可得结论.【详解】（1）由，得函数的最大值为，解得或，又，.（2）由（1）知：，由，得，当且仅当时，等号成立，.【点睛】方法点睛：常见的应用不等式求最值题型：“1”的代换：适用于已知两项的和为定值，求两项积的最小值：二维不等式：，当且仅当时，等号成立；一般不等式：，当且仅当时，等号成立.
