1、第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理考情展望1.考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用.2.多以选择题、填空题形式考查两个计数原理1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有()A50个B45个C36个D35个【解析】根据题意，十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6
2、,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136(个)【答案】C2在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A10 B11 C12 D15【解析】若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C；若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C.由分类计数原理知满足条件的信息个数为1CC11.【答案】B3某班新年联欢会原定的
3、6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A504 B210 C336 D120【解析】分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法故共有789504种不同的插法【答案】A4甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A6种 B12种 C24种 D30种【解析】分步完成首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共
4、有43224(种)，故选C.【答案】C5(2013山东高考)用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D279【解析】0,1,2，9共能组成91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)，有重复数字的三位数有900648252(个)【答案】B6(2013浙江高考)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)【解析】按C的位置分类计算当C在第一或第六位时，有A120(种)排法；当C在第二或第五位时，有AA72(种)排法；当C在第三或第四位时，有AAAA48(种)排法所以
5、共有2(1207248)480(种)排法【答案】480考向一 172分类加法计数原理第十章计数原理、概率、随机变量及其分布集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ，把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A9B14C15D21【思路点拨】由PQ可知：xy或x2，故可按分类加法计数原理求解【尝试解答】PQ，xy或x2.当x2时，y3,4，9，共有7种选法当xy时，y3,4，9，共有7种选法共有满足条件的点7714(个)【答案】B规律方法1分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置.首先根据题目特
6、点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法.对点训练图1011如图1011所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个)第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)由分类加法计数原理知，共有32840(个)【答案】40考向二 173分步乘法计数原理(2012大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种B18种C
7、24种D36种【思路点拨】先排第一列三个位置，再排第二列第一行上的元素，则其余位置上元素就可以确定【尝试解答】先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A种不同排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法因此共有AA112(种)不同的排列方法【答案】A规律方法21.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且也要确定分步的标准，分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.2.分步必须满足两个条件：(1)步骤互相独立，互不干扰.(2)步与步确保连续，逐步完成.对点训练
8、已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM，则(1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数；(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数【解】(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示566180个不同的二次函数(2)yax2bxc的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况因此yax2bxc可以表示26672个图象开口向上的二次函数考向三 174两个计数原理的综合应用在1,2,3,4,5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有()A16个B18个C19个D21个【思路点拨】
9、先确定出三个数字(可以有相同的)之和为9的有几类，然后对每类体别用分步列式计算【尝试解答】三个数字和为9的有以下五类：135，234，225，144，333.其中第、类的个数相同，例如用1、3、5排成一个三位数，百位有3种排法，十位有2种排法，个位有1种排法，共有3216个第、类的个数相同，例如用1、4、4排成三位数有3个，百位是1，其他两位是4；十位是1，其他两位是4；个位是1，其他两位是4.第类只有一个数333.总之，各个数字之和为9的共有6633119(个)【答案】C规律方法3用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行
10、计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.对点训练(2012北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24B18C12D6【解析】根据所选偶数为0和2分类讨论求解当选0时，先从1,3,5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，剩余1个数字排在首位，共有CC6(种)方法；当选2时，先从1,3,5中选2个数字有C种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C种方法，其余2个数字全排列，共有CCA12(种)
11、方法依分类加法计数原理知共有61218(个)奇数【答案】B思想方法之二十二分类讨论思想在计数原理中的妙用分类加法计数原理体现了分类讨论思想在计数原理中的应用解决此类问题的关键是确定分类标准，做到不重复、不遗漏1个示范例1个对点练图1012编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图1012所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？【解】根据A球所在位置分三类：(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3216种不同的放法；(2)若A球放在5号盒子内
12、，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E，则根据分步乘法计数原理得，3216种不同的放法；(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、D、E有A6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，332118种不同方法综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有661830种如图1013，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有_图1013【解析】按区域1与3是否同色分类：(1)区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A种方法区域1与3涂同色，共有4A24种方法(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法这时共有A21372种方法，故由分类计数原理，不同的涂色种数为247296.【答案】96
