1、数学答案第 1页（共 6页）青岛市 2020 年高三自主检测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。B A B CA C B D二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。9ABC10BD11AC12ABD三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13102m；1401x；15（1）1721；（2）1617(1 2)；162 33；四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 10 分）解：（1）由题知：在直角梯形12AO O C 中，2221212(
2、)20ACAOCOO O 1 分所以在三棱锥OABC中，222ACAOOC所以 AOOC 2 分又因为 AOOB，COOBO，所以 AO 平面 BOC 4 分又因为 AO 平面 AOB所以，平面 AOB 平面 BOC 5 分（2）由（1）知：AOOC，AOOB，又 BOOC；以O 为坐标原点，以OC，OB，OA的方向分别作为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系Oxyz，6 分所以(0,0,4),(0,2,0),(2,0,0)ABC，(2,0,0)OC 7 分设(,)nx y z为平面 ABC 的法向量，(0,2,4)AB，(2,2,0)BC 由00n ABn BC 可得：2
3、40220yzxy，令2x 得：(2,2,1)n 9 分设直线OC 与平面 ABC 所成角为，所以|2sin=3|OC nOCn，所以直线OC 与平面 ABC 所成角的正弦值为 23 10 分zyxOABC数学答案第 2页（共 6页）18（本小题满分 12 分）解：（1）若选择条件12a，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列na都不存在 1 分若选择条件11a ，则放在第一行第二列，结合条件可知12314,7aaa，2 分则*32,Nnann4 分若选择条件13a，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列na都不存在综上可知：32nan5 分（2）由（1）知，12(1)(32)nnbn
4、 所以当 n 为偶数时，123nnTbbbb22222212341nnaaaaaa1212343411()()()()()nnnnaaaaaaaaaaaa（1233()naaaa(1 32)32nn 29322nn 9 分当 n 为奇数时，1nnnTTb2293(1)(1)(32)22nnn 293222nn11 分2293,22932,22nnnnTnnn 为偶数为奇数12 分数学答案第 3页（共 6页）19（本小题满分 12 分）解：因为 sinsinsincoscoscosABCABC所以sincossincoscossincossinABACABAC即sincoscossinsinco
5、scossinABABCACA所以sin()sin()ABCA2 分因为,(0,)A B C，所以 ABCA，即 2ABC，所以3A 4 分（1）ABC还同时满足条件5 分理由如下：若 ABC同时满足条件则由正弦定理得sin5 3sin17bABa，这不可能 7 分所以 ABC不能同时满足条件，所以 ABC同时满足条件所以 ABC的面积113sin810 3222SbcAb 所以5b 与矛盾所以 ABC还同时满足条件 8 分（2）在 ABC中，由正弦定理得：2 3sinsinsinbcaBCA因为23CB，所以2 3sinbB，22 3sin()3cB所以22 3sinsin()33LabcB
6、B316(sincos)322BB6sin()36B 11 分因为2(0,)3B，所以5(,)666B，1sin()(,162B所以 ABC周长 L 的取值范围为 6,9（12 分数学答案第 4页（共 6页）20（本小题满分 12 分）解：（1）由题知3.25 (0,2283.83132.24 (228,3484.7435 (348,)xxyxxxx3 分（2）由题知10户家庭中年用气量超过 228 立方米而不超过348 立方米的用户有3 户，设取到年用气量超过 228 立方米而不超过348 立方米的用户数为，则 可取0,1,2,3373107(0)24CPC 217331021(1)40C
7、CPC 12733107(2)40C CPC 333101(3)120CPC 故 的分布列是0123P724214074011207 分所以721719()012324404012010E 8 分（3）由题知101032()()()55kkkP kC(0,1,2,3,10)k 10 分由11101010101101011110103232()()()()55553232()()()()5555kkkkkkkkkkkkCCCC ，解得 283355k，*Nk 所以当6k 时，概率()P k 最大，所以6k 12 分数学答案第 5页（共 6页）21（本小题满分 12 分）解：（1）因为()lnxf
8、 xaex，所以1()(ln)xfxaexx(0,)x 1 分令1()lnk xxx，则21()xk xx当(0,1)x时，()0k x，函数()k x 单调递减；当(1,)x 时，()0k x，函数()k x 单调递增所以()(1)10k xk，4 分又因为0a，0 xe 所以()0fx，()f x 在定义域(0,)上单调递增5 分（2）由()0h x 得()()0g xf x，即2lnlnxaexxxa所以 lnlnln()xxxxxaaexaeae，即 ln()lnxxaexaex对任意(0,1)x恒成立，7 分设ln()xH xx，则21 ln()xH xx所以，当(0,1)x时，()
9、0H x，函数()H x 单调递增，且当(1,)x 时，()0H x，当(0,1)x时，()0H x，若1xaex，则()0()xH aeH x，若01xae，因为()()xH aeH x，且()H x 在(0,1)上单调递增，所以xaex，综上可知，xaex对任意(0,1)x恒成立，即xxae对任意(0,1)x恒成立 10 分设()xxG xe，(0,1)x，则1()0 xxG xe，所以()G x 在(0,1)单调递增，所以1()(1)G xGae，即 a 的取值范围为 1,)e 12 分22（本小题满分 12 分）解：（1）设(,)M x y，由题意得，MOAO，所以222|MOOAMA
10、 1 分因为圆 M 的半径为|2|ryMA，|2AO 所以2224(2)xyy，2 分化简得 M 的轨迹C 的方程为24xy3 分（2）（）由（1）知：曲线C 为：24xy，设2()4xf x，则()2xfx设圆W 与曲线C 的公共点为2(,)4tT t(0)t，则曲线C 在T 的切线l 斜率()2tkf t由题意，直线l 与圆W 相切于T 点，设圆W 的标准方程为：22()2xay(0)a，数学答案第 6页（共 6页）则直线WT 的斜率2244()WTttktata，因为lWT，所以212 4()ttta，即38()0tta4 分又因为222()()24tta，所以3222()()284tt
11、，所以6441280tt5 分令2t，则3241280，所以322(4)(8128)0即2(4)(832)0，所以4 所以2,3ta，6 分从而圆W 的标准方程为：22(3)2xy 7 分（）设1122(,),(,)E x yF xy，直线 2:lyxm 由24yxmxy 得：2440 xxm，所以124xx ，124x xm 所以212122()44 2(1)EFxxx xm8 分又因为22|3|2 2()212102mPQmm 9 分所以224 2(1)146521210EFmmPQmmmm10 分由于 2l 与曲线C、圆W 均有两个不同的交点，16 160|3|22mm，解得15m令1(2,6)mu，则21442612812()8EFuPQuuuu（当且仅当12uu，即2 3u，亦2 31m 时取等号）当2 31m 时，EFPQ的最小值为26，此时直线 2l 的方程为：2 31yx 12 分
