1、广东省阳东一中、广雅中学2015届高三第一次联考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】全面覆盖“双基”的同时，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出至于实践能力和创新意识方面也在努力体现，其中，函数与方程的数学思想方法、数形结合的数学思想方法、化归与转化的数学思想方法体现得较为突出有必要增加实际应用和创新意识的题目，以提升试卷的“灵气和亮点”. 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)【题文】1.函数的定义域是( )A. B. C. D. 【知识点】函数的表示方法 B1【答案解析】C解析：解：所以C为正确选项.【思路点拨】由解析式成立的条件可列出条件
2、，进而求出定义域.【题文】2.若复数z满足方程，则( )A. B. C. D. 【知识点】复数的概念 L4【答案解析】D 解析：解：,所以D为正确选项.【思路点拨】根据复数的概念求出z，再求出.【题文】3已知a、b是实数，则“a1，b2”是“a+b3且ab2”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条【知识点】充分必要条件 A2【答案解析】A 解析：解：当a1，b2有a+b3且ab2，而，同样有，所以，是的充分而不必要条件，所以A正确.【思路点拨】根据条件可知题的充分必要性.【题文】4中，角所对的边，若，则( )A B C D【知识点】正弦定理 C8
3、【答案解析】C 解析：解：根据正弦定理可知，所以正确选项为C.【思路点拨】根据三角函数值可直接用正弦定理求值.【题文】5在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则()A(2,4) B(3,5) C(1，1) D(1，1)【知识点】向量的加减运算 F1【答案解析】C 解析：解：【思路点拨】根据题意可直接进行向量的运算.【题文】6.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的最小值是( )ABCD【知识点】线性规划 E5【答案解析】C 解析：解：由图可知可行域为三角形ABC上及内部的点，所以目标函数的最小值在A点取到，A点的坐标为代入目标函数可得.【思路点拨】根据题意可求出
4、可行域，再由图找到最小值点.【题文】7已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A B C D【知识点】抛物线的概念 H7【答案解析】B 解析：解：由题意可知抛物线的焦点坐标为，由抛物线的概念可知点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值即为M点到焦点的距离，所以【思路点拨】根据抛物线的概念可知到准线的距离与到焦点的距离相等.【题文】8对于非空集合，定义运算：，已知，其中满足，则( )A B. C. D.【知识点】集合的运算 A1【答案解析】C 解析：解：由新定义的概念可知当，时，再由题意可知，根据选项可知应为C.【思路点拨】根据新定义的集合运
5、算可直接求解.二、填空题：(本大题共7小题，考生作答6小题,每小题5分，满分30分)（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答【题文】9.某校高中部有三个年级，其中高三有学生人，现采用分层抽样法抽取一个容量为的样本，已知在高一年级抽取了人，高二年级抽取了人，则高中部共有学生_人.【知识点】分层抽样 I1【答案解析】3700 解析：解：由分层抽样的概念可知，样本是按比例分配的，所以应在高三抽取50人，按比例可知，高一有学生1500人，高二有学生1200人，所以高中部共有学生1500+1200+1000=3700人【思路点拨】由分层抽样的定义可知每一部分应该有学生
6、多少人.【题文】开始是输出结束否图310 【知识点】积分的运算 B13【答案解析】 解析：解：因为的导数为，【思路点拨】根据函数的积分运算.【题文】11执行如图3所示的程序框图，输出的 【知识点】程序框图 L1【答案解析】3 解析：解：由算法程序可知第一次循环后，需进行第二次循环，第二次循环后输出i这时i=3【思路点拨】由程序运行法则可知结果.【题文】12下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是_； 【知识点】三视图 G2【答案解析】B 解析：解：由三视图可知几何体为组合体，是由直径为3的球与底面直径为3高为4的圆柱组成，所以它的表面积为球的表面积，圆柱的表面积为，所以几何
7、体的表面积为【思路点拨】根据三视图与原图的关系可求出表面积.【题文】13观察下列等式 , , , , 由以上等式推测 对于,若,则 .【知识点】数列求和 D4【答案解析】 解析：解：根据系数的规律可知的系数在每个式子中分别为1，3，6，10 设【思路点拨】根据系数的特点可找出与数列的关系，再根据数列进行求和求出系数（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分【题文】14（坐标系与参数方程选做题）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则 【知识点】切割线定理 N1【答案解析】解析：解：由切割线定理可知设则【思路点拨】由切割线定理可直接求出
8、结果.【题文】15（坐标系与参数方程选做题）曲线对称的曲线的极坐标方程为 。【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化 N3【答案解析】B 解析：解：将原极坐标方程=4cos，化为：2=4cos，化成直角坐标方程为：x2+y24x=0，它关于直线y=x（即=）对称的圆的方程是x2+y24y=0，其极坐标方程为：=4sin故答案为：=4sin【思路点拨】先将原极坐标方程=4cos两边同乘以后化成直角坐标方程，再结合曲线关于直线的对称性，利用直角坐标方程解决问题三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】16（本小题满分
9、12分）在中，分别是角所对的边，满足，（1）求角的大小；（2）设，求的最小值【知识点】余弦定理；向量的运算.C8,F2【答案解析】(1) (2)-5 解析：解：在中，由余弦定理，又(2) 又当时，取最小值 12分【思路点拨】由已知条件根据余弦定理可直接求出角B，再由向量的运算求出最小值.【题文】17（本小题满分12分）某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计本年级900名学生中，
10、成绩属于第三组的人数；（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为，求的分布列和期望【知识点】频率分布直方图;离散型随机变量的分布列与数学期望.I2,K6【答案解析】(1)3(2)342(3) 的分布列为P1231/31/21/6 11分 解析：解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06，人数为：500.06=3所以该样本中成绩优秀的人数为3 3分（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，人数为：9
11、000.38=342 所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342。 7分（3）第五组共有500.008=4人,其中1男,3女,则的可能取值为1，2，3； 8分 9分 10分的分布列为P1231/31/21/6 11分12分【思路点拨】由直方图可直接求出数据列出分布列，再利用公式计算数学期望.【题文】18.（本小题满分14分）B1C1A1BCD如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，AA1=3， D为AC的中点.(1)求证：AB1/面BDC1；(2）求二面角C1BDC的余弦值；(3）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP面BDC1？并证明你的结论
12、.【知识点】直线与平面平行；二面角；直线与平面垂直.G4,G5,G11【答案解析】略 解析：解：（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD BCC1B1是矩形，O是B1C的中点.又D是AC的中点，OD/AB1.2分AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1.4分 （II）解：如图，建立空间直角坐标系，则 C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）5分 设=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则即.6分易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.8分二面角C1BDC的余弦值为.9分（III）假设侧棱AA1上存在一点P（
13、2，y，0）（0y3），使得CP面BDC1.则方程组无解.假设不成立. 侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC1.14分【思路点拨】由条件可证明直线与平面平行，再建立空间坐标系利用向量求出二面角的余弦值，最利用向量进行说明.【题文】19.（本小题满分14分）已知、是方程的两根，数列是递增的等差数列，数列的前项和为，且（）(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前项和【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性 D2,D3【答案解析】(1) (2) 略 解析：解：（1）由题意得a2=3，a5=9公差 所以an=a2+（n2）d=2n1由得 当当n2时 得 所以(2)9分 11分两式相减
14、得：13分，所以14分【思路点拨】（1）通过解二次方程求出方程的两个根，据数列an为递增数列为递增数列，求出a2，a5，利用等差数列的通项公式求出数列an的公差，利用等差数列推广的通项公式求出其通项，利用数列bn的前n项和与通项的关系求出数列bn的通项（2）求出数列cn的通项，求出cn+1cn的差，判断出差的符号，得证【题文】20.（本小题满分14分）如图，已知椭圆的上顶点为,离心率为，若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题 H8【答案解析】（1） （2）略 解析：解：（1）解：椭圆C：+y2
15、=1（a1）的上顶点为A，离心率为，=，解得a2=3，椭圆C的方程为（2）解：由=0，知APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A（0，1），直线AP的斜率为1，得直线AP的方程为y=x+1，直线AQ的方程为y=x+1，将y=x+1代入椭圆C的方程，并整理得：4x2+6x=0，解得x=0或x=，因此P的坐标为（，），同理，得Q（，） 直线l的方程为y=代入椭圆的方程并整理得 , 设直线与椭圆相交于、两点，则是上述关于的方程两个不相等的实数解，从而 7分 由得， 整理得： 由知. 此时, 因此直线过定点. 14分【思路点拨】（1）由已知得=，由此能求出椭圆C的方程（2）直线AP的方程为y=x+1
16、，直线AQ的方程为y=x+1，将y=x+1代入椭圆C的方程，得P（，），同理，得Q（，） 由此能求出直线l的方程【题文】21.（本小题满分14分）已知函数是奇函数，且图像在点处的切线斜率为3（为自然对数的底数）（1）求实数、的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 B11,B12【答案解析】(1) (2) kmax=3；解析：解：（1）解：由f（x）=ax+xln|x+b|=x（a+ln|x+b|）是奇函数，则y=a+ln|x+b|为偶函数，b=0又x0时，f（x）=ax+xlnx，f（x）=a+1+lnx，f（e）=3
17、，a=1；（2）解：当x1时，令，令ln（x）=x2lnx，y=h（x）在（1，+）上是增函数，h（1）=10，h（3）=1ln30，h（4）=2ln40，存在x0（3，4），使得h（x0）=0，则x（1，x0），h（x）0，g（x）0，y=g（x）为减函数x（x0，+），h（x）0，g（x）0，y=g（x）为增函数kx0，又x0（3，4），kZ，kmax=3；【思路点拨】（1）由ax+xln|x+b|是奇函数，得到y=a+ln|x+b|为偶函数，从而求得b的值，代入原函数，由函数在x=e处的斜率等于3求得a的值；（2）把f（x）的解析式代入且k，构造辅助函数，求导得其最小值，从而求得k的最大值；