1、吉林省长春市“BEST合作体”2020-2021学年高一数学下学期期中试题本试卷分客观题题和主观题两部分共22题，共150分，共2页。考试时间为120分钟。考试结束后，只交答题卡。第卷 客观题一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设，则复数的实部和虚部之和为A3BC1D2已知平面向量，若，则实数的值为ABCD3若，则ABCD4的内角,，所对的边分别是，若，则等于A1BCD25已知向量、满足，向量，的夹角为，则的值为A4B3C2D6在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为，则角A等于ABCD7正方体中，的中点为，的中点
2、为，则异面直线与所成角的大小为ABCD8如图，是单位圆的直径，且满足，则A1BCD9在长方体中，为上任意一点，则一定有（ ）A与异面B与垂直C与平面相交D与平面平行10蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.年月日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点、，满足为正三棱锥，是的中点，且，侧棱，则该蹴鞠的表面积为（ ）ABCD二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选
3、对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.11已知直线平面，直线平面，则直线可能（ ）A平行B异面C相交D垂直12某人向正东方向走了x km后向右转了150，然后沿新方向走了3，结果离出发点恰好，则x的值为（ ）AB2C2D3第卷 主观题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.双空题只填对一个得3分，全对得5分.13已知是虚数单位，复数，则_14在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，则的面积为_.15圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为_，球的表面积与圆柱的侧面积之比为_16黄金分割比是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与
4、这部分之比，其比值是由于按此比例设计的造型十分美观，因此称为黄金分割比例如中国人民解放军军徽，为镶有金色黄边的五角红星如图，已知正五角星内接于圆，点为线段的黄金分割点，则_，若圆的半径为2，为圆的一条弦，以为底边向圆外作等腰三角形，且，则的最大值为_ 四、解答题：本题共6题，共70分.其中17题10分，其余题目均12分.17已知向量， .（1）若，求；（2）若，求向量与的夹角.18设复数（是虚数单位，），且 （）求复数；（）在复平面内，若复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围19已知如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、A1C的中点.（1）求证：EF平面ADD1A1
5、；（2）求证：EF平面A1DC20在中，内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.21如图，圆柱的轴截面是正方形，点是底面圆周上异于的一点，是垂足.（1）证明：；（2）若，当三棱锥体积最大时，求点到平面的距离.22.（1）叙述并证明余弦定理； （2）在中，内角所对的边分别为，证明：.“BEST合作体”2020-2021学年度下学期期中考试高一数学试题答案 2021年5月一、二、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1到10题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 11、12题全选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.题号12345678910111
6、2答案BCADCBDBDBABCDAB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.双空题填对一个得3分，全对得5分.13. 14. 15. 2:3 1:1 16. 四、解答题：本题共6题，共70分.其中17题10分，其余题目均12分.17 【解析】（1）， 5分（2）设所求夹角为，. 10分18【解析】（），|， 即，解得， 又， ， 4分（），则，又复数（）对应的点在第四象限， 得5m1 12分19 证明：（1）如图，连接AD1，设AD1A1DO，连接OF，则由正方体ABCD-A1B1C1D1可得：点O是A1D的中点，因为点F是A1C的中点，所以/且.又E是AB的中点，所以/且所以/且则
7、四边形AEFO是平行四边形，所以EFAO，而AO平面ADD1A1，EF平面ADD1A1，所以EF平面ADD1A1. 6分（2）由正方体ABCD-A1B1C1D1可得：DC平面ADD1A1，而AD1平面ADD1A1，所以DCAD1，又AD1A1D，且A1DDCD，DC平面A1DC，A1D平面A1DC，所以AD1平面A1DC.再由（1）可知：EFAD1，所以EF平面A1DC. 12分20（1）；（2）.【详解】（1），所以，所以，即因为，所以，所以，即. 6分（2）因为，所以.由余弦定理可得，因为，所以，解得.故的面积为. 12分21 （1）由圆柱性质可知，平面，平面，是圆柱底面的直径，点在圆周上，又，平面，平面，又，且，平面，平面， ； 6分（2），当最大时，即最大，即是等腰直角三角形时，并且点到平面的距离就是点到直线的距离,设点到平面的距离为，则，解得： 12分22 （1）解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍. 2分在ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，求证：，. 4分证明 ：如图，即同理， 8分（2） 12分
