1、专题二函数的图象与性质(见学生用书P7)(见学生用书P7)1函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数2函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2a，b，(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)00f(x)在a，b上是减函数(2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)g(x)也是增函数；根据同增异减判断复合函数yfg(x)的单调性3函数
2、的奇偶性(1)f(x)为奇函数f(x)f(x)f(x)f(x)0；f(x)为偶函数f(x)f(x)f(|x|)f(x)f(x)0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性(2)f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性(4)若f(xa)为奇函数f(x)的图象关于点(a，0)中心对称；若f(xa)为偶函数f(x)的图象关于直线xa对称(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上，奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇4函数的周期性(1)若yf(x)在xR时，f(x
3、a)f(xa)恒成立，则函数f(x)的周期为2|a|.(2)若yf(x)在xR时，恒有f(xa)f(x)或f(xa)，则函数yf(x)的周期为2|a|.5函数的图象重点结论：(1)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于直线xa对称(2)若f(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线x对称(3)若函数yf(x)满足f(x)2bf(2ax)，则该函数的图象关于点(a，b)成中心对称(见学生用书P8)考点一函数及其表示考点精析1构成函数概念的三要素(1)三要素是指定义域、对应法则、值域(2)三要素中只要有一个不同，两个函数就是不同的函
4、数(3)三要素都相同的两个函数是一个函数2当函数是由解析式给出时，则其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合也就是：(1)分式的分母不得为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；(5)三角函数中的正切函数y tan x，xR且xk，kZ.例 11(2015湖北卷)函数f(x)lg的定义域为()A(2，3) B(2，4C(2，3)(3，4 D(1，3)(3，6考点：函数定义域的求法分析：可以根据选项，用排除法，也可以直接列出使函数解析式有意义的x的不等式组，解不等式组即可解析：(方法1)当x3和当x5时，函数均没
5、有意义，故可排除选项B、D；当x4时，函数有意义，可排除选项A.故选C.(方法2)要使函数有意义，则解得2x4且x3，所以定义域为(2，3)(3，4答案：C点评：本题主要考查函数定义域的求法，根据题目及选项特点，可用直接法，也可用排除法，属基础题例 12已知函数f(x)的定义域为(3，0)，则函数f(2x1)的定义域为_考点：函数的定义域及其求法分析：根据题目给出的函数f(x)的定义域，由2x1在函数f(x)的定义域内求解x的范围得函数f(2x1)的定义域解析：函数f(x)的定义域为(3，0)，则由32x10，解得1x0，故函数tx2xm在区间1，2上为增函数，故函数f(x)lg(x2xm)在
6、区间1，2上是增函数再由函数f(x)lg(x2xm)在区间1，2上有意义，可得当x1时，t0，即12m0，解得m0，由此可排除B，故选D.答案：D【22】 (2014太原一模)已知方程k在(0，)上有两个不同的解，(0且k0，画出两个函数的图象，如图所示函数y|sin x|和函数ykx在(0，)上有一个交点A(，sin )，在(，2)上有一个切点B(，sin )时满足题意，是方程的根当x(，2)时，f(x)|sin x|sin x，f(x)cos x，在B处的切线为ysin f()(x)，将x0，y0代入方程，得sin cos ，cos .O，A，B三点共线，cos ，sin cos .答案：
7、B考点三分段函数考点精析对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数，而不是几个函数，其特征在于“分段”，即对应关系在不同的定义区间内各不相同在解决有关分段函数问题时既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，且分别注明各部分的自变量的取值情况例31(2015全国卷)已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)()A BC D考点：分段函数的正向求值与逆向求值问题分析：分类讨论处理条件f(a)3，解得a，再代入函数解析式计算f(6a)解析：当a1时，则2a123，2a11，a无解当a1时
8、，f(a)log2(a1)3，a18，a7.从而f(6a)f(1)2112，故选A.答案：A点评：分段函数的求值问题应根据自变量的值所属区间选定相应的解析式代入求解，即对号入座例 32设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_考点：函数的周期性，分段函数的解析式求法及其图象的作法分析：由于f(x)是定义在R上且周期为2的函数，由f(x)的表达式可得ff1af；再由f(1)f(1)得2ab0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案解析：f(x)是定义在R上且周期为2的函数，f(x)ff1a，f，又ff，1a.又f(1)f(1
9、)，f(1)，f(1)1a，1a，即2ab0.由解得a2，b4.a3b10.答案：10点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到关于a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题规律总结新课程标准和考试大纲对分段函数提出了明确的具体要求(原来的考试大纲未明确提出要求)：了解简单的分段函数，并能简单的应用因此分段函数问题是近几年高考命题的热点之一变式训练【31】 已知函数f(x)数列an满足anf(n)(nN)，且数列an是单调递增数列，则实数a的取值范围是_解析：由题意知：数列an的通项公式为an由于数列是递增数列，40，即aa6，a2283a，解得a4
10、或a7.故a的取值范围是4a8或a7.答案：(4，8)或(，7)【32】 (2014南充一模)已知函数f(x)函数g(x)acos2a(a0，函数f(x)在上为增函数，f(x).当x时，函数f(x)为减函数，f(x).在0，1上f(x)0，1又g(x)acos 2a，当x0，1时，cos 0，1，g(x)2a，a.若存在x1、x20，1，使得f(x1)g(x2)成立，说明函数g(x)的最大值与最小值中至少有一个在0，1中，02a1或0a1，解得a，或a，又a0，实数a的取值范围是a|af(x1)，则正实数a的取值范围是_考点：考查函数图象的读图及函数求值问题，考查恒成立问题等知识分析：通过分析
11、题意，把问题转化为x轴上区间的长度问题，寻找满足条件的临界值解析：(方法1)由题中图象知f(x)为奇函数，当x2a或x2a时，f(x)为增函数，要使xR，f(x)f(x1)成立，因为f(4a)f(2a)a，故只需4a(2a)1，即af(x1)”等价于“函数yf(x)的图象恒在函数yf(x1)的图象的上方”，函数yf(x1)的图象是由函数yf(x)的图象向右平移一个单位得到的，如图所示因为a0，由图知6af(2x1)成立的x的取值范围是()A. B.(1，)C. D.解析：易判断f(x)是偶函数，当x0时，f(x)ln(1x).f(x)0，f(x)在(0，)是增函数，不等式可化为f(|x|)f(
12、|2x1|)，即|x|2x1|，即3x24x10，解得x1.答案：A(见学生用书P11)例定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x3，4时，f(x)x2，则()AffCf(sin 1)f考场错解：由f(x)f(x2)知T2为f(x)的一个周期设x1，0，则x43，4，f(x)f(x4)x42x2，f(x)在1，0上是增函数又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，x0，1时，f(x)x2，即f(x)在0，1上也是增函数又sincosff.故选A项专家把脉：上面解答错在由f(x)f(x)得f(x)x2这一步上，导致错误的原因主要是对偶函数图象不熟悉对症下药：由f(x)f(x2)知T2为
13、f(x)的一个周期，设x1，0，则x43，4，f(x)f(x4)x42x2.f(x)在1，0上是增函数又f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称f(x)在0，1上是减函数A：sinf；B：sincosfcos 1f(sin 1)cos f1且x1.函数f(x)的定义域是(1，1)(1，)答案：C2(2015湖北卷)设xR，定义符号函数sgn x则()A|x|x|sgn x| B|x|xsgn |x|C|x|x|sgn x D|x|xsgn x解析：由已知可知xsgn x而|x|所以|x|xsgn x，故选D.答案：D3(2014雅礼二模)已知f(x)(a0)，定义域为D，任意m，nD，点P
14、(m，f(n)组成的图形为正方形，则实数a的值为()A1 B2 C3 D4解析：要使函数有意义，则a(x1)(x3)0.a0，(x1)(x3)0，即1x3，定义域D1，3任意m，nD，点P(m，f(n)组成的图形为正方形，正方形的边长为2.f(1)f(3)0，函数的最大值为2，即a(x1)(x3)的最大值为4.设g(x)a(x1)(x3)ax24ax3a，当x2时，g(x)有最大值g(2)a4，即a4.答案：D4(2015河北唐山上学期期末)已知f(x)的值域为R，那么a的取值范围是()A(，1 B.C. D.解析：要使函数f(x)的值域为R，需使 1a.故选C.答案：C5(2014福建卷)现
15、有四个函数：yxsin x；yxcos x；yx|cos x|；yx2x的图象(部分)如下，则按照图象顺序对函数序号排序正确的一组是() A BC D解析：分析函数的解析式，可得：yxsin x为偶函数；yxcos x为奇函数；yx|cos x|为奇函数；yx2x为非奇非偶函数且当x0时，yx|cos x|0恒成立；则从左到右图象对应的函数序号应为：.答案：C6(2015湖北武汉模拟)若不等式x2a|x|10对x恒成立，则实数a的取值范围是()A2，) B2，2C(，2 D.解析：不等式x2a|x|10对x恒成立等价于|x|2a|x|10对x恒成立，即a.令t|x|，t，g(t)t.g(t)在
16、单调递减g(t)2，故的最大值为，所求实数a的取值范围是.答案：D7(2014兰州、张掖联考)设f(x)的定义域为D，若f(x)满足下面两个条件则称f(x)为闭函数：f(x)是D上的单调函数；存在a，bD，使f(x)在a，b上的值域为a，b现已知f(x)k为闭函数，则k的取值范围是()A1kBk1C.k1解析：函数f(x)的定义域为x，显然在定义域上函数f(x)单调递增依题可知在x上，方程xk有两个不同的解，结合图象易得实数k的取值范围为1k.答案：A8(2014岳阳二模)定义在R上的函数yf(x)在(，a)上是增函数，且函数yf(xa)是偶函数，当x1a，且|x1a|f(x2) Bf(x1)
17、f(x2)Cf(x1)f(x2) Df(x1)f(x2)解析：yf(xa)是偶函数，f(xa)f(xa)，f(x)关于xa对称偶函数在(，a)上是增函数，在(a，)上是减函数x1a，|x1a|x2a|，去掉绝对值得ax1x2a，即2ax1a，x2a.由(a，)上是减函数知f(2ax1)f(x2)f(x)关于xa对称，f(2ax1)f(x1)，f(x1)f(x2)答案：A二、填空题9设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.解析：f(x)1.令g(x)，则g(x)为奇函数，对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即g(x)maxg(x)min0，而f(x)max1g(x)max，f
18、(x)min1g(x)min，所以f(x)maxf(x)min2.故Mm2.答案：210设定义域为R的函数f(x)若关于x的方程f(x)2bf(x)c0有3个不同的整数解x1，x2，x3，则xxx等于_解析：函数f(x)其图象如图所示由图易得函数的值域为(0，)令tf(x)，则方程f(x)2bf(x)c0，可化为t2btc0.若此方程无正根，则方程f(x)2bf(x)c0无根；若此方程有一个非1的正根，则方程f(x)2bf(x)c0有两根；若此方程有一个等于1的正根，则方程f(x)2bf(x)c0有三根；此时tf(x)1，x10，x21，x32，xxx5；若此方程有两个非1的正根，则方程f(x
19、)2bf(x)c0有四根；若此方程有一个非1，一个等于1的正根，则方程f(x)2bf(x)c0有五根综上xxx5.答案：511函数f(x)若f(1)f(a)2，则a_解析：由于f(1)e111，再根据f(1)f(a)2f(a)1.当a0时，f(a)ea11a1；当1a0时，f(a)sin(a2)1a2a，由于1a0，若f(x)m22am5对所有x1，1、a1，1恒成立，则实数m的取值范围是_解析：f(x)是定义在1，1上的奇函数，当x1、x21，1，且x1x20时，有0等价为0，函数f(x)在1，1上单调递增f(1)2，f(x)的最小值为f(1)f(1)2.要使f(x)m22am5对所有x1，1、a1，1恒成立，即2m22am5对所有a1，1恒成立，m22am30.设g(a)m22am3，则满足即1m1.即实数m的取值范围是1，1答案：1，1
