1、 06 三角恒等变换与解三角形 1.已知 (-)=,则 tan+=().A.-B.-8 C.D.8 解析 因为 (-)=-=-(cos+sin)=,所以 sin cos=,而 tan+=+=8,故选 D.答案 D 2.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,其中 ba 且2asin(A+B)=c,则角 A 等于().A.B.或 C.D.或 解析 由诱导公式可得 sin(A+B)=sin(-C)=sin C,利用正弦定理可得 2sin Asin C=sin C,解得 sin A=,即 A=或 A=,又 ba,所以 A=,故选 A.答案 A 3.在ABC 中,a,b,c 分别是
2、角 A,B,C 的对边,若 a,b,c 成等比数列,且 a2-ab=c2-ac,则 cos C 的值为().A.B.-C.D.-解析 由 a,b,c 成等比数列得 b2=ac,代入 a2-ab=c2-ac,得 a2+b2-c2=ab,则 cos C=-=,故选 A.答案 A 4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的 A 处测得水柱顶端的仰角为 45,沿 A 向北偏东 30方向前进 100 m 后到达 B 处,在 B 处测得水柱顶端的仰角为 30,则水柱的高度为 .解析 如图所示,DC平面 ABC,AB=100 m,DBC=30,DAC=45,
3、CAB=60.设 CD=h m,则 AC=h m,同理可得 BC=h m.在ABC 中,BC2=AC2+AB2-2ACABcos 60,则(h)2=h2+1002-2h100 ,化为 h2+50h-5000=0,解得 h=50,因此水柱的高度是 50 m.答案 50 m 能力 1 能熟练进行三角恒等变换和求值 【例 1】(1)设(,),(,),且 tan=,则().A.3-=B.3+=C.2-=D.2+=(2)已知 cos()=,(,),cos=,(0,),则cos(-2)的值为 .解析(1)由 tan=,得 =,即 sin cos=cos+sin cos,所以 sin(-)=cos.又 co
4、s=sin(-),所以 sin(-)=sin(-).因为(,),(,),所以-,0 -.所以-=-,所以 2-=.(2)因为(,),所以+(,).因为 cos()=,所以 sin()=,所以 sin=sin()-=sin()cos -cos()sin =-=,所以 cos=.因为 cos=,(0,),所以 sin=,所以 sin 2=,cos 2=-,所以 cos(-2)=cos cos 2+sin sin 2=(-)+=-.答案(1)C(2)-三角恒等变换中的“四大策略”:(1)常值代换:特别是“1”的代换,如 1=sin2+cos2=tan 45.(2)项的分拆与角的配凑:sin2+2co
5、s2=(sin2+cos2)+cos2,=(-)+等.(3)降幂与升幂:正用和逆用二倍角公式.(4)弦、切互化:切化弦,弦化切,减少函数种类.已知(,),且 sin=.(1)求 sin 2 的值;(2)若 sin(+)=-,(,),求 sin 的值.解析(1)(,),且 sin=,cos=-,故 sin 2=2sin cos=-.(2)(,),(,),+(,).由 sin(+)=-得 cos(+)=-,故 sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin =(-)(-)-(-)=.能力 2 正弦定理、余弦定理的简单应用 【例 2】已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,
6、b,c,且 =tan A+tan B.(1)求角 A 的大小;(2)设 D 为 AC 边上的一点,且 BD=5,DC=3,a=7,求 c 的值.解析(1)在ABC 中,=tan A+tan B,=+,即 =,=,则 tan A=,A=.(2)BD=5,DC=3,a=7,由余弦定理可得 cosBDC=-=-,BDC=,又 A=,ABD 为等边三角形,c=5.在解三角形中,利用已知条件进行化简变形,常用的方法是借助正弦定理和余弦定理进行边角互化,减少变量的数量,在边化角的运算中注意切化弦思想及三角恒等变换的应用.已知ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 =1-.(1)求角
7、C 的大小;(2)若 SABC=2,a+b=6,求边 c.解析(1)=1-=-.由正弦定理得 =-,化简得 a2+b2-c2=ab,由余弦定理得 cos C=-=.C(0,),C=.(2)由(1)知 C=,又 SABC=absin C=ab =2,ab=8.由余弦定理得 c2=a2+b2-2ab =(a+b)2-3ab=12,c=2.能力 3 会解三角形与三角函数的综合问题 【例 3】在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,ABC 的面积为 S,且 4S=(a2+b2-c2).(1)求角 C 的大小;(2)若 f(x)=4sin xcos()+1,且当 x=A 时,f(x)取得
8、最大值b,试求 S 的值.解析(1)由已知得 4 absin C=(a2+b2-c2)=2 abcos C,即 tan C=.因为 C(0,),所以 C=.(2)f(x)=4sin x(-)+1 =2 sin xcos x-2sin2x+1=sin 2x+cos 2x=2sin().当 2x+=2k+(kZ),即 x=k+(kZ)时,f(x)max=2.因为 A(0,),所以 A=,b=2,故 B=-A-C=,a=bsin A=1,c=bsin C=,所以 S=acsin B=.求解有关解三角形与三角函数的综合问题,要注意三角形内角的范围,一般是先定角,再定范围,最后利用三角函数的单调性和倍角
9、公式进行转化.设函数 f(x)=sin()+sin2x-cos2x.(1)求 f(x)的单调递增区间;(2)若角 A 满足 f(A)=1,a=,ABC 的面积为 ,求 b+c 的值.解析(1)f(x)=sin 2x+cos 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin(-).令-+2k2x-+2k,kZ,得-+kx +k,kZ.f(x)的单调递增区间为-,kZ.(2)由题意知 f(A)=sin(-)=1,0A,-2A-,2A-=,解得 A=.S=bcsin A=,bc=2.又 b2+c2-2bccos =3,化简得(b+c)2-3bc=3,则(b+c)2=9,b+c=3.能力 4 熟
10、练解决三角形中的几何计算问题 【例 4】如图,在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 c=4,b=2,sin 2C=sin B,D,E 均为线段 BC 上的点,且BD=CD,BAE=CAE.(1)求线段 AD 的长;(2)求ADE 的面积.解析(1)由 sin 2C=sin B 得 cos C=.因为 c=4,b=2,所以 cos C=.由余弦定理得 cos C=-=-=,所以 a=4,即 BC=4.在ACD 中,CD=2,AC=2,所以 AD2=AC2+CD2-2ACCDcos C=6,所以 AD=.(2)因为 AE 是BAC 的平分线,所以 =2.又 =,所以 =2
11、,所以 EC=BC=,DE=2-=.因为 cos C=,所以 sin C=-=,所以 SADE=SACD-SACE=22 -2 =.求三角形的中线或角平分线长度,常借助中线与角平分线把一个三角形分为两个三角形,分析两个三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理求解,此外利用平面向量法也可以求解.在锐角ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b(1+2cos C)=2acos C+ccos A.(1)证明:a=2b.(2)若ABC 的面积 S=4sin C,D 为线段 AB 的中点,|=,求 c.解析(1)因为 b(1+2cos C)=2acos C+ccos A,所以 si
12、n B(1+2cos C)=2sin Acos C+sin Ccos A,所以 sin(A+C)+2sin Bcos C=2sin Acos C+cos Asin C,所以 2sin Bcos C=sin Acos C.又 0C0,0,0)的部分图象如图所示,且 f()=1,(,),则 cos()=().A.B.C.D.-解析 由图象可得 A=3,T=4(-)=,解得=2,故 f(x)=3sin(2x+),代入点(,-)可得 3sin()=-3,sin()=-1,即有 +=-+2k(kZ),=2k-(kZ),又0,=,故 f(x)=3sin().又f()=3sin()=1,sin()=.(,)
13、,2+(,),cos()=-()=-,故选 D.答案 D 二、填空题 9.若(,),且3cos 2=sin(-),则sin 2的值为 .解析 因为 3cos 2=sin(-),所以 3cos 2=cos-sin,两边平方得 9cos22=(1-sin 2),即 18(1-sin22)=1-sin 2,整理得(17+18sin 2)(1-sin 2)=0,又(,),所以 sin 2=-或 sin 2=1(舍去).答案-10.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,ABC 的面积为 S,若 bcos A+acos B=2 b,且 a2sin A=b2sin A+2 S,则 A=.
14、解析 bcos A+acos B=2 b,sin Bcos A+sin Acos B=2 sin B,sin(A+B)=2 sin B,即 sin C=2 sin B,则 c=2 b.a2sin A=b2sin A+2 S,a2sin A=b2sin A+bcsin A,则 a2=b2+bc,即 a2=b2+6b2=7b2,cos A=-=-=,A=30.答案 30 三、解答题 11.ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 absin C=20sin B,a2+c2=41,且 8cos B=1.(1)求 b 的值.(2)证明:ABC 的三个内角中必有一个角的大小是另一个角
15、的两倍.解析(1)absin C=20sin B,abc=20b,即 ac=20,则 b=-=-=6.(2)ac=20,a2+c2=41,a=4,c=5 或 a=5,c=4.若 a=4,c=5,则 cos A=-=,cos B=,2()-1=2cos2A-1=cos 2A,B=2A;若 a=5,c=4,同理可得 B=2C.故ABC 的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.12.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 -=.(1)求 的值;(2)若角 A 是钝角,且 c=3,求 b 的取值范围.解析(1)由题意及正弦定理得 sin Ccos B-2sin Ccos A
16、=2sin Acos C-sin Bcos C,sin Ccos B+sin Bcos C=2(sin Ccos A+sin Acos C).sin(B+C)=2sin(A+C).A+B+C=,sin A=2sin B,=2.(2)由余弦定理得 cos A=-=-=-.b+ca,即 b+32b,b3.由得 b 的取值范围是(,3).13.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 -=.(1)求角 A 的正弦值;(2)若 a=2,求ABC 面积的最大值.解析(1)-=,(-)cos A=acos B.由正弦定理得(-)cos A=sin Acos B,整理得 2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B,2sin Ccos A=sin Acos B+sin Bcos A=sin C.在ABC 中,sin C0,cos A=,sin A=.(2)由余弦定理得 cos A=-=,a=2.b2+c2-20=bc2bc-20,bc20,当且仅当 b=c 时,取等号.ABC 的面积 S=bcsin A5,ABC 面积的最大值为 5.
