1、佛山四中2021届高三上学期开学考试数学全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.设集合，集合，则（ ）.A.B.C.D.2.复数
2、z满足，其中i为虚数单位，则复数（ ）.A.B.C.iD.3.已知，则（ ）.A.B.C.D.4.已知向量，向量，若，则实数（ ）.A.12B.C.D.5.已知正方体的棱长为1，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D.6.已知双曲线（，）的一条渐近线平行于直线：，则双曲线的离心率为（ ）.A.B.C.D.7.张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加（ ）尺.A.B.C.D.8.函数的部分图象的大致
3、形状是（ ）.A.B.C.D.9.根据中央关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等共4位专家对3个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）A.B.C.D.10.对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”.若为定义域上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ）.A.B.C.D.二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多相符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.11.下列选项中正确的是（ ）A.不等式恒成立B.存在实数a，使得不等式成立C.若a、b为正实数，则
4、D.若正实数x，y满足，则12.在空间中，已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）A.若，且，则B.若，且，则C.若a与b相交，且，则与相交D.若，且，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分.13.函数在点的切线方程为_.14.二项式的展开式中的系数是_.15.若地物线上的点M到焦点的距离为10，则M点到y轴的距离是_.16.已知，点D为延长线上一点，连接，则的面积是_，_.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等差数列的公差，若，且，成等比数列.（1）求数列的
5、通项公式；（2）设，求数列的前n项和.18.（本小题满分12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角B的值；（2）若，的面积为，求的周长.19.（本小题满分12分）如图，是边长为3的正方形，平面，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；20.（本小题满分12分）已知椭圆：（）的一个点为，且该椭圆经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，试问在x轴上是否存在定点Q使得直线与直线恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，
6、需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：逐一化验；平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.（）采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望；（）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），求不同分组方法所需化验次数的数学期望.你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若，求的极值；（2）若，求正实
7、数m的取值范围.数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分.题号12345678910答案ACABCDBDAB1.【解析】由题意可得，所以，故选A.2.【解析】，故选C.3.【解析】，故选A.4.【解析】由已知得，故选B.5.【解析】连按，则，可知是正三角形，故选C.6.【解析】由题知双曲线的一条渐近线方程为，则，故选D.7.【解析】由题意可知该女子每日织布数呈等差数列，设为，首项，可得，解之得，故选B.8.【解析】由，所以为奇函数，排除A，C；因为的大于0的零点中，最小值为；又因为，故选D.9.【解析】先从4个专家中选2个出来，看成1个专家有种选法，再将捆
8、绑后的专家分别派到3个县区，共有种分法，故总共有种派法.其中甲、乙两位专家派遣至同一县区有种，其概率为.故选A.10.【解析】由“局部奇函数”可得：，整理可得：，考虑到，从而可将视为整体，方程转化为：，利用换元设，则问题转化为只需让方程存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论.设.（1）若方程有一个解，则有相切（切点大于等于2）或相交（其中交点在两侧），即或，解得：或.（2）若方程有两解，则，解得，综上所述：，答案B.二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.11题选项
9、12题选项可得分数全部正确BCDAC5分部分正确B、C、D、BC、BD、CDA、C3分11.【解析】不等式恒成立的条件是，故A不正确；当a为负数时，不等式成立.故B正确；由基本不等式可知C正确；对于，当且仅当，即，时取等号，故D正确.故选；BCD.12.【解析】若，且，即两平面的法向量平行，则成立，故A正确；若，且，则a与b互相平行或相交或异面，故B错误；若a，b相交，且，即两平面的法向量相交，则，相交成立，故C正确；若，且，则与平行或相交，故D错误；故选：AC.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空3分，第二个空2分.）13. 14.280 15.9 16.，【注
10、：14题结果写成不扣分】13.【解析】，因此切线方程为.14.【解析】展开式的第项为，故令，即，所以的系数为.15.【解析】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为10，可知M到准线的距离也为10，故到M到的距离是9.16.【解析】法1：依题意作出图形，如图所示，则，由题意知，则，所以，因为，所以，由余弦定理，得.答案：；法2：如图，作垂直，作垂直，由勾股及相似比可得面积.由二倍角公式可得目标角度的余弦值.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.（本小题满分10分）【解析】（1）法1：，成等比数列，化简得，又因为且由可得，.【注：只要算出即可给分】数
11、列的通项公式是法2：，成等比数列，化简得，又因为得.数列的通项公式是（2）由（1）得所以.18.（本小题满分12分）【解析】（1）法1：由已知，及正弦定理可得：，因为，所以，因为，所以.因为，所以.法2：由已知，及余弦定理可得：化简得余弦定理可得因为，所以.因为，所以.（2）由得，所以.又由余弦定理：，得，故的周长为.【注：第二问也可过A作边上的高，然后通过勾股定理求得边长，此过程按踩分点给分即可】19.（本小题满分12分）【解析】（1）证明：因为平面，面所以.因为是正方形，所以又，面，面故平面.（2）法1：【向量法】因为，两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示.因为平面，且与平面所成角为60，
12、即，所以.由已知，可得，.则，所以，.设平面的法向量为，则，即.令，则.因为平面，所以为平面的法向量，.所以.因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.法2：【几何法】如图，G、P分别为线段、的三等分点，M、N分别为线段、的中点，连结，且，所以，且所以面，过F作垂足为Q，连结由三垂线定理知，为二面角的平面角.由已知可得，所以因为平面，且与平面所成角为，即，为直角三角形，所以，由勾股定理得，得，所以.所以二面角的余弦值为.20.（本小题满分12分）【解析】（1）法1：【待定系数法】由题意可得，又因为点在椭圆上得联立解得，.所以椭圆C的方程为法2：【定义法】设另一个焦点为，则为直角三角形，由勾股定理
13、得，所以，即，由得所以椭圆C的方程为（2）当直线l为非x轴时，可设直线l的方程为，与椭圆C联立，整理得.由设，定点（且，）则由韦达定理可得，.直线与直线恰关于x轴对称，等价于，的斜率互为相反数.所以，即得.又，得，.所以，整理得.从而可得，即，所以当，即时，直线与直线恰关于x轴对称成立.特别地，当直线l为x轴时，也符合题意.综上，存在x轴上的定点，满足直线与直线恰关于x轴对称.21.（本小题满分12分）【解析】（1）6名密切接触者中随机抽取3名共有种方法，抽取3名中有感染者的抽法共有种方法，所以抽到感染者的概率.（2）（）按逐一化验法，的可能取值是1，2，3，4，5，【表示第5次化验呈阳性或前
14、5次化验都呈阴性（即不检验可确定第6个样本为阳性）】分布列如下：12345【注：无列表不给分】所以（）平均分组混合化验，6个样本可按平均分成2组，或者按分成3组.如果按分2组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，分布列如下：23.如果按分3组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，分布列如下：23【参考回答1】：因为，所以我认为平均分组混合化验法较好，按或分组进行化验均可.【参考回答2】：因为，按分2组比按分3组所需硬件资源及操作程序更少，所以我认为平均分组混合化验法且按分2组更好.22.（本小题满分12分）【解析】（1）因为，则函数定义域为，若，则，在单调递减；若，则，在单调递增，0极小【注：无列表不得分】所以当时，的极小值为，无极大值；（2）法1：，则，由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，所以，所以，令，令，恒成立，所以所以恒成立，所以；则所以，当且仅当时等号成立.所以，正实数m的取值范围为.法2：由（1）知，当时，在单调递减，在单调递增，所以，所以，因为，所以，所以，（*），令，则因为，所以，若，则，当时，则，所以在单调递增，当时，则，所以在单调递减，所以，又因为，且和都在处取得最值，所以当，解得，所以，若，则，当时，在单调递减；当时，在单调递增；当时，在单调递减，所以，与（*）矛盾，不符合题意，舍去.综上，正实数m的取值范围为.
